Тіла обертання.
Площа поверхні кулі.
Дев'ятнадцяте грудня.
Класна робота.
Циліндром називається тіло, утворене обертанням прямокутника навколо його сторони.
Циліндр - тіло обертання, яке складається з двох кругів, які не лежать в одній площині і суміщаються паралельним перенесенням, і всіх відрізків, що з'єднують відповідні точки цих кругів.
A
B
C
D
Сторони AD і BC описують рівні круги – основи циліндра.
Пряма AB – вісь циліндра.
Відрізок AB – висота циліндра.
Радіуси AD і BC кругів – радіуси циліндра.
основа
основа
радіус
радіус
висота
вісь
бічна поверхня
твірна
твірна
Відрізок CD – твірна циліндра.
Елементи циліндра
О
О1
В
А
R
H
АВ – твірна циліндра
ОB, О1А – радіуси циліндра
ОО1АВ – прямокутник
Сторони ОВ і О1А описують рівні круги, які лежать у паралельних площинах і їх називають основами циліндра.
Радіуси цих кругів є також і радіусами циліндра.
Сторона АВ описує поверхню, яка називається бічною поверхнею циліндра.
Відрізки бічної поверхні, які паралельні між собою і дорівнюють АВ, називаються твірними циліндра.
Всі твірні паралельні і рівні.
О1О, АВ – висоти циліндра
Висотою циліндра називається відрізок, перпендикулярний до основ циліндра, кінці якого належать основам.
!!! Будь-яка твірна циліндра є також його висотою.
Віссю циліндра називається пряма, що проходить через центри його основ.
ОО1 – вісь циліндра
О
О1
В
А
R
H
АА1В1В – прямокутник
АВ, А1В1 – діаметри основ
Переріз циліндра площиною, що проходить через його вісь, називається осьовим перерізом.
Осьовий переріз циліндра – прямокутник зі сторонами, що дорівнюють висоті циліндра і діаметру його основи.
О
О1
А
А1
В
В1
Будь-який переріз циліндра площиною, паралельною осі циліндра є прямокутник, а переріз площиною, паралельною основам циліндра є круг, що рівний основам.
Розгорткою циліндра на площину.
Основні формули для циліндра
Площа бічної поверхні:
Площа повної поверхні:
Об’єм:
За площу бічної поверхні циліндра приймають площу розгортки його бічної поверхні.
Прямим круговим конусом називається тіло, утворене обертанням прямокутного трикутника навколо одного із його катетів
l
Конус може бути утвореним в результаті обертання рівнобедреного трикутника навколо його висоти, проведеної до основи.
A
O
S
l
S
В
А
A
O
S
AO – радіус конуса
S – вершина конуса
SА – твірна конуса
SО – висота і вісь конуса
Висотою конуса називається перпендикуляр, опущений з його вершини на площину основи.
R
H
l
B
O
A
S
B
O
A
S
B
O
A
S
Перерізи конуса
Осьовий
переріз
Переріз площиною, що проходить через вершину і хорду основи конуса
Переріз площиною, паралельною основі конуса
Рівнобедрений трикутник
Круг
Розгорткою конуса на площину.
Основні формули для конуса
Площа бічної поверхні:
Площа повної поверхні:
Об’єм:
О
О1
А
А1
В
В1
A
O
S
R
H
l
Сфера - це поверхня, �що складається зі всіх точок простору
О
R
R
R
розташованих на даній відстані (R)
від даної точки (О).
Центр сфери (О)
Радіус сфери(R)
Діаметр сфери (d=2R)
Куля – тіло, обмежене сферою.
Центр кулі (О)
О
Радіус кулі (R)
Діаметр кулі (d=2R)
R
R
R
Відрізок, що сполучає дві точки сфери, називають хордою сфери ( кулі).
Хорду, яка проходить через центр сфери, називають діаметром сфери ( кулі).
Кінці діаметра називають діаметрально протилежними точками.
Діаметр дорівнює двом радіусам кулі: d =2 r
Взаємне розміщення сфери та площини
Нехай радіус даної сфери дорівнює R, а відстань від центра O сфери до даної площини 𝛼 дорівнює d.
2 в и п а д о к Нехай d < R. 𝛼 – січна площина, переріз – малий круг |
I в и п а д о к Нехай d >R . |
4 випадок, d = R 𝛼 – дотична площина А –точка дотику |
3 випадок, d = 0 𝛼 – січна площина, діаметральний переріз – великий круг |
Площина, яка проходить через центр кулі (сфери), називається діаметральною площиною.
Переріз кулі (сфери) діаметральною площиною називається великим кругом (великим колом);
Будь-яка діаметральна площина кулі є її площиною симетрії. Центр кулі є її центром симетрії.
Взаємне розміщення кулі (сфери ) і площини:
О
α
R
l
1) Якщо l > R, то площина і куля (сфера) не мають спільних точок
l – відстань від центра кулі (сфери) до площини
R – радіус кулі (сфери)
2) Якщо l < R, то площина і куля (сфера) перетинаються по кругу (колу) радіуса
O
l
R
3) Якщо l = R, то площина і куля (сфера) мають тільки одну спільну точку
О
R
l
A
Площина, яка проходить через точку А кульової поверхні і перпендикулярна до радіуса, проведеного у точку А, називається дотичною площиною. Точка А називається точкою дотику.
Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку — точку дотику.
α
А
О
a
Пряма, яка належить дотичній до кулі площині і проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці.
Перерізи кулі
Будь-який переріз кулі площиною є круг.
Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.
Чим менша відстань від центра кулі до січної площини, тим більшим буде радіус перерізу.
Якщо вершини многокутника лежать на поверхні кулі, то коло перерізу є описаним навколо цього многокутника.
Якщо куля дотикається до сторін многокутника, то коло перерізу є вписаним у цей многокутник.
Площа сфери або площа поверхні кулі у 4 рази більша за площу великого круга, тобто:
Об’єм кулі:
О
О1
А
А1
В
В1
12.12.2025
Сьогодні
Контрольна робота