Стереометрия

Тела вращения

Определение

Тело вращения – это пространственная фигура полученная вращением плоской ограниченной области вместе со своей границей вокруг оси, лежащей в той же плоскости.

​

Тела вращения

Цилиндр

• Цилиндр — это геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя плоскостями (основаниями цилиндра).
• Цилиндр получается при вращении прямоугольника вокруг одной из сторон
• Цилиндр называется прямым, если его образующая перпендикулярна основаниям.

​

Конус

• Конус — это геометрическое тело, которое образовано совокупностью всех лучей, исходящих из точки и пересекающих любую плоскую поверхность. В месте пересечения образуется основание конуса.
• При вращении прямоугольного треугольника вокруг своего катета на 360 ° образуется прямой круговой конус. Гипотенуза является образующей.
• Прямой конус - это конус у которого ось перпендикулярна основе.

Шар, сфера

• Сфера − это геометрическое место точек в пространстве, равноудаленных от некоторой заданной точки (центра сферы). Расстояние между любой точкой сферы и ее центром называется радиусом. Геометрическое тело, ограниченное  сферой, называется шаром.
• Сферу можно получить вращением окружности вокруг диаметра
• Шар можно получить вращением круга вокруг

диаметра

Формулы шара, сферы

• Объем шара

​

• Площадь поверхности сферы

Пример 1

• Даны два шара с радиусами 5 и 1. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

Найдите длину полярного круга Земли (радиус Земли принять за 6400 км)

1)Из справочника: длина дуги от экватора до полярного круга 66°.

Этой же мере соответствует центральный угол АОВ = 66°

2)Дуга от Северного полюса до экватора равна 90°. Значит, �∠СОВ = 90°.

Тогда, ∠СОА = 90° - 66° = 24°.

3)Используя синус угла СОА в прямоугольном ΔАСО найдем СА:

CA= AO· sin(∠COA)= 6400 · sin 24° = 6400 · 0,4067= 2602,88 (км)

4) СА есть радиус окружности полярного круга, найдем длину этой окружности:

2π·CA =2· 3,14· 2602,88 = 16 346, 0864 км

Ответ: длина полярного круга ≈ 16 тыс. км

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

66°

С

А

О

В

экватор

полярный круг

Северный полюс

Пример 5

Тела вращения

Параболоид Гиперболоид Тор Эллипсоид

​

Шар. Сфера. Выполнить задания

1. Задание. Площадь большого круга шара равна 3. Найдите площадь поверхности шара.

2. Задание. Во сколько раз увеличится площадь поверхности шара, если радиус шара увеличить в 2 раза?

3. Задание. Во сколько раз увеличится объем шара, если его радиус увеличить в три раза?

4. Задание. Объем одного шара в 27 раз больше объема второго. Во сколько раз площадь поверхности первого шара больше площади поверхности второго?

5. Задание. Однородный шар диаметром 3 см имеет массу 162 грамма. Чему равна масса шара, изготовленного из того же материала, с диаметром 2 см? Ответ дайте в граммах.

​

​