2.2 РАСТЯЖЕНИЕ – СЖАТИЕ

ПРЯМОЛИНЕЙНОГО БРУСА

Растяжением или сжатием называют вид нагружения бруса, в поперечном сечении которого возникает только продольная сила N.

​

Иногда говорят – центральное (простое или осевое) растяжение.

​

В реальных конструкциях кроме продольной силы в сечениях бруса действуют и другие силовые факторы.

Растяжение (сжатие) встречается:

– в различных элементах строительных конструкций (мачты, колонны, опоры, трубы, стержни ферм);

– в элементах механизмов и машин (шток поршня, трос) и т.д.

2.2.1. Определение нормальных напряжений в поперечных сечениях бруса

Рассмотрим стержень постоянного поперечного сечения A, к концам которого вдоль его оси приложены равные и противоположно направленные силы F.

В произвольном сечении возникает продольная сила

N = F.

Покажем произвольное поперечное сечение стержня. В этом сечении выделим элементарную площадку dA.

Анализ показывает, что на достаточном удалении от мест приложения внешней силы (гипотеза Сен-Венана) сечения после нагружения остаются плоскими, а только перемещаются параллельно самим себе (гипотеза Бернулли – плоских сечений).

Следовательно, по всему сечению действуют нормальные напряжения одинаковой величины: σ=const.

Продольная сила в сечении площадью A определяется интегралом

Нормальная сила равна

откуда

​

Под действием продольной силы стержень изменяет свою длину – деформируется (удлиняется или укорачивается).

Абсолютная линейная деформация Δl – приращение длины стержня.

​

Рассмотрим участок стержня элементарной длины dz.

Видим, что после приложения нагрузки – продольной силы

данный участок получит абсолютную линейную деформацию Δdz.

2.2.2 Продольные и поперечные деформации

Знаем, что относительная продольная деформация определяется отношением

С учетом принципа Сен-Венана и выводов о том, что нормальные напряжения при растяжении-сжатии постоянны следует постоянство продольной деформации по высоте и ширине сечения ε = const – справедлива гипотеза плоских сечений.

Суммируя абсолютные удлинения малых элементов Δdz = εdz по всей длине стержня, получим:

[м, см, мм]

Относительная продольная деформация

стержня при простом растяжении:

[%]

Легко видеть, что и в направлении осей X и Y поперечное сечение стержня также деформируется – поперечные размеры сечения уменьшаются при его растяжении и увеличиваются при сжатии.

Это есть поперечная деформация:

абсолютная: Δh, Δb;

Они записаны со знаком минус, т.к. продольная и поперечная деформации имеют обратные знаки.

Отметим, что для изотропных материалов

относительная:

Опытами установлено, что отношение относительной поперечной к относительной продольной деформации для каждого материала есть величина постоянная.

Это отношение, взятое по абсолютной величине называется коэффициентом поперечной деформации

(коэффициентом Пуассона):

Коэффициент Пуассона µ – всегда положительная и безразмерная величина.

Определяется опытным путем для каждого материала и условий испытаний и не может быть больше 0,5.

Эту величину впервые теоретически получил француз Пуассон: он считал, что для всех материалов – 0,25.

2.2.3. Упругие постоянные материала

В упругой стадии работы для большинства конструкционных материалов напряжения и деформации (например, при растяжении) связаны прямой пропорциональной зависимостью (участок ОА диаграммы):

Коэффициент пропорциональности

Е – модуль продольной упругости

(модуль упругости при растяжении или модуль упругости I рода или модуль Юнга).

Из диаграммы и формулы следует, что модуль Е определяется углом наклона α прямой на участке ОА

Модуль упругости I рода есть упругая постоянная материала и характеризует способность материала сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия.

​

Определяется опытным путем – испытанием образца, изготовленного из исследуемого материала.

​

Имеет размерность напряжений (Па).

​

Впервые идею об этом модуле высказал в 1800 г. англичанин Томас Юнг, а современное толкование модуля дал в 1826 г. француз Луи Навье.

В таблице приводятся значения упругих постоянных для некоторых конструкционных и строительных материалов при нормальных условиях испытаний.

Этот закон впервые был сформулирован англичанином Робертом Гуком в 1676 г.

«Ut tension, sic vis– Каково удлинение, такова и сила».

Установлен опытным путем:

при растяжении стержня силой F он получит абсолютную деформацию Δl.

При пропорциональном увеличении силы в такой же пропорции увеличится и деформация.

Нормальные напряжения прямо пропорциональны относительным линейным деформациям.

2.2.4. Закон Гука

Закон Гука описывается формулой, справедливой в пределах упругих деформаций материала:

Известно, что

а

После подстановки в формулу закона Гука

Данная формула – еще одна форма записи закона Гука.

Абсолютное удлинение или укорочение стержня Δl прямо пропорционально нормальной силе N и первоначальной длине стержня l и обратно пропорционально площади поперечного сечения F и модулю продольной упругости E.

В предыдущей теме 4 был рассмотрен метод расчета по допускаемым напряжениям.

Исходя из него, условие прочности может быть записано (соответственно для нормальных или касательных напряжений) в виде:

2.2.5. Расчет на прочность

или:

Для проведения расчета необходимо:

​

– определить вид нагружения (путем построения эпюр внутренних силовых факторов);

– на основании анализа эпюр определить опасное сечение бруса (сечение, в котором приложен экстремальный по величине внутренний силовой фактор);

– для выявленного вида нагружения и для его опасного сечения записать условие прочности (в одних случаях – по нормальным напряжениям, в других – по касательным, а при сложных видах нагружения условие прочности имеет более сложный вид).

– для бруса постоянного сечения (A=const):

– для бруса ступенчатого сечения

(размеры или форма сечения изменяются):

Условие прочности при растяжении-сжатии записывается в виде:

– для бруса материал которого неодинаково сопротивляется растяжению и сжатию

(материал имеет разные значения допускаемых напряжение при растяжении и сжатии):

В таблице приведены значения допускаемых напряжений для различных материалов.

2.2.6. Типы расчетов

С использованием условия прочности при растяжении-сжатии решают три типа задач.

По записанным выше формулам ведется расчет экстремальных напряжений, которые сравнивают со значением допускаемых напряжений.

Если неравенство соблюдается, то прочность обеспечена. При этом следует стремиться к тому, чтобы напряжения были по возможности близки по величине.

Если величина экстремальных напряжений намного меньше допускаемых, то прочность будет обеспечена, но материал будет расходоваться нерационально.

Допускается превышение над допускаемыми напряжениями (перенапряжение), но не более, чем на 5%).

2.2.6.1. Проверка прочности

2.2.6.2. Проектировочный расчет

2.2.6.3. Определение допускаемой нагрузки

Используя условие прочности, решают задачу по определению площади сечения, при которой будет обеспечена прочность бруса:

Используя условие прочности, решают также задачу по определению нагрузки, при достижении которой брус будет оставаться прочным. Иначе говоря определяют максимальную грузоподъемность бруса:

Осевые перемещения сечений бруса определяются абсолютной линейной деформацией его отдельных участков. При этом используется закон Гука в виде

Методику определения осевых перемещений рассмотрим на примерах.

2.2.7. Определение продольных деформаций стержня. Эпюры абсолютных перемещений

2.2.7.1. Определить, без учета собственного веса материала, осевое перемещение δ_1-1 заданного сечения бруса 1-1, растянутого силой F. Модуль Е = const.

Пользуясь принципом независимости действия сил, рассмотрим отдельные участки бруса, где будет выполняться это условие:

Искомое перемещение будет определяться абсолютной линейной деформацией части бруса be, расположенной между заделкой и сечением I-I:

В соответствии с законом Гука, необходимо рассматривать участки бруса, на которых все параметры, входящие в формулу, не меняются в пределах участка.

.

Построим эпюру N.

Из эпюры следует:

Окончательно получаем

Аналогичным образом определяются перемещения любых других сечений бруса.

По результатам расчетов строят также и эпюры абсолютных перемещений. На рисунке показана такая эпюра.

2.2.7.2. Определить абсолютное линейное перемещение произвольного сечения бруса от действия собственного веса его материала.

Собственный вес вертикально расположенного бруса является равномерно распределенной нагрузкой, приложенной вдоль его оси.

где γ – удельный вес материала бруса, A – площадь поперечного сечения бруса.

Интенсивность нагрузки

Построим эпюру продольных сил.

В соответствии с законом Гука, полное удлинение определим как интеграл по длине бруса:

​

.

Продольная сила в произвольном сечении с координатой z определим по формуле

Умножив числитель и знаменатель в полученной зависимости на A с учетом, что γ A l = G – вес бруса в целом, получим формулу для определения абсолютной линейной деформации (перемещения свободного конца) бруса от его собственного веса:

Абсолютное удлинение от собственного веса равно удлинению, которое получит брус, если его вес приложить в центре тяжести.

Построение эпюр абсолютных перемещений

Абсолютное перемещение произвольного сечения z от действия собственного веса определяется нагрузкой, приложенной выше рассматриваемого сечения.

Следовательно:

смотри полное удлинение

Эпюры продольных сил и осевых перемещений от действия собственного веса

По аналогии с условием прочности можно записать условие жесткости, т.е. ограничить перемещения сечений бруса.

Для центрального растяжения сжатия, в соответствии с законом Гука условие жесткости:

Значение допускаемой абсолютной деформации задают в зависимости от требований, предъявляемых к жесткости бруса.

По этой формуле проверяем жесткость.

2.2.8. Жесткость поперечного сечения при растяжении-сжатии. Условие жесткости

Проектировочный расчет проводим, решая неравенство относительно площади:

Допускаемая нагрузка (грузоподъемность), при которой обеспечивается заданная жесткость:

2.2.9. Статически определимые и статически неопределимые системы при растяжении-сжатии.

Цель расчета бруса и стержневой системы (состоящей из отдельных брусьев – стержней), как и любой конструкции:

​

определение размеров поперечных сечений стержней, при которых обеспечивается прочность или жесткость, или и то и другое.

​

Исходя из условий прочности и жесткости при центральном растяжении-сжатии, видим, что в первую очередь необходимо знать экстремальное значение продольной силы.

Под статически определимыми стержневыми системами понимают такие, в которых усилия в стержнях и на опорах (опорные реакции) определяются из уравнений статики.

Опасное сечение (где действуют экстремальные продольные силы) легко определяется из эпюры N и, далее задача решается с применением соответствующих условий – прочности и жесткости.

2.2.9.1 Расчет статически определимых систем

Расчет сводится к определению усилий N₁ и N₂ в стержнях АВ и АС. Эти усилия направлены вдоль стержней, в связи с шарнирным их соединением.

Рассмотрим расчет статически определимой стержневой системы

Эта система представляет собой два симметрично расположенных стержня, соединенных в точках А, В, С посредством шарниров.

По известным усилиям определяются опасные сечения стержней и проводится расчет в соответствии с поставленной задачей.

Для определения осевых усилий запишем уравнения равновесия. Учтем симметрию стержневой системы.

Статически неопределимыми называют системы, в элементах (стержнях) которых усилия не могут быть определены с помощью уравнений статики.

​

Говорят, что система имеет дополнительные («лишние») связи.

2.2.9.2 Расчет статически неопределимых систем

1. Стержень опирается на две жесткие опоры.

Возникают две реакции N₁ и N₂, величина и направление которых неизвестны, т.к. можно составить только одно уравнение равновесия.

В уравнении – два неизвестных осевых усилия:

Задача один раз статически неопределима.

Одна связь (одна из опор) – «лишняя».

2. Стержневая система, составленная из трех стержней, соединенных шарнирно.

В стержнях действуют три усилия, направленные вдоль этих стержней.

Задача один раз статически неопределима, одна связь (один из стержней) – «лишняя».

Можно составить только два уравнения равновесия:

«Лишними» такие связи называют потому, что они не являются необходимыми для обеспечения равновесия конструкции и ее геометрической неизменяемости (деформация стержней и соответствующие ей перемещения отдельных точек системы могут возникать только от действия внешних сил).

Наличие этих связей обусловлено требованиями к прочности и жесткости конструкции или условиями ее работы.

Число лишних неизвестных или степень статической неопределимости системы устанавливается разностью между числом неизвестных усилий и числом уравнений статики.

Для решения задачи по определению неизвестных усилий (говорят – для раскрытия статической неопределимости) необходимо составить дополнительные уравнения. Их количество равно степени статической неопределимости.

Дополнительные уравнения составляются на основе общего принципа: условий совместности деформаций.

​

Так как стержни соединяются между собой определенным образом – шарнирно, жестко или в соединении имеются некоторые зазоры, стержни этой системы деформируются совместно.

Примем, что площадь поперечного сечения боковых стержней одинакова А₁=А₂=А, а средний стержень имеет площадь nА.

Методику раскрытия статической неопределимости рассмотрим на примерах.

Пример 1

Составляют уравнения равновесия (в данном случае – два). Они нами составлены ранее. Имеем три неизвестных усилия и два уравнения статики. Система один раз статически неопределима.

1. Силовая сторона задачи.

Рассмотрим перемещения стержней, сходящихся в точке А. Под действием внешней силы исследуемая точка переместится в положение А₁.

2. Геометрическая сторона задачи.

Концы стержней АВ, АD, АС соединены шарнирно в точке А, поэтому они получат соответствующие удлинения. Причем эти стержни деформируются совместно, в соответствии с геометрией системы.

Мысленно рассоединим стержни в ненагруженном состоянии (в т. А) и соединим их в положении после нагружения (в т. А₁). Концы крайних стержней переместятся по дуге из т. А соответственно в т. К и т. М и, удлинившись, соединятся в т. А₁. Вертикальное перемещение точки А весьма мало; угол АА₁М равен углу АА₁К; дуги можно заменить прямыми, поэтому углы АКА₁ и АМА₁ – прямые.

Ввиду симметрии системы, абсолютные удлинения крайних стержней будут равны между собой:

Геометрически эти деформации определяются отрезками КА₁=МА₁. Средний стержень удлинится на величину отрезка АА₁ и его абсолютное удлинение равно:

Рассматривая прямоугольные треугольники АКА₁ и АМА₁ можем записать соотношение сторон:

Это уравнение и есть уравнение совместности деформаций рассматриваемой системы.

В уравнении совместности деформаций выразим абсолютную деформацию через продольные силы по закону Гука:

Ввиду малости перемещений длина стержней меняется мало, поэтому

После преобразований получим зависимость

3. Физическая сторона задачи.

4. Решение системы уравнений (синтез).

После преобразований получим зависимости, с помощью которых определяются искомые усилия в стержнях:

Решаем систему уравнений

Напомним, что коэффициентом n учитывается соотношение площадей поперечных сечений стержней: А₁=А₂=А; А₃=n∙A.

Видим, что с увеличением площади среднего стержня (с увеличением коэффициента n), усилие в нем уменьшится; усилия в крайних стержнях также изменятся. В этом отличительная особенность статически неопределимых систем от статически определимых:

повышение жесткости (ЕА) одних элементов приводит к увеличению в них усилий и, обычно, к снижению усилий в других элементах.

В статически определимых системах усилия в элементах не зависят от их жесткости.

Далее задача решается в соответствии с ее условием.

​

По известным усилиям, записав условие прочности или условие жесткости, решаем задачу по проверке прочности или жесткости, проводим проектировочный расчет или определяем допускаемое значение нагрузки.

Стержень имеет площадь поперечного сечения А и изготовлен из материала с модулем упругости I рода Е.

Неизвестны два усилия – N₁ и N₂.

Их величина будет зависеть от положения точки приложения заданной силы F .

Уравнение равновесия составлено нами ранее.

Пример 2

Рассмотрим геометрическую сторону задачи и составим уравнение совместности деформаций для опорных сечений, в которых перемещения равны нулю.

С другой стороны, рассматриваемое опорное сечение – неподвижно, следовательно, перемещение его должно быть равно нулю.

Отбросим мысленно нижнюю опору. Это опорное сечение станет свободным и переместится вниз за счет абсолютной линейной деформации Δ ℓ_F участка длиной b под действием силы F.

Это условие будет выполняться, если реакция на опоре N₂ будет по величине и направлению такой, что абсолютная линейная деформация от ее действия Δl_N окажется равной по величине и противоположной по направлению деформации Δl_F.

Δℓ_F = Δℓ_N.

Условие совместности деформаций запишется в виде:

По закону Гука:

Таким образом,

Статическая неопределимость раскрыта.

5.9.3 Расчеты в связи с наличием натягов при сборке конструкций

На практике встречаются и задачи, связанные, например, с неточностью изготовления элементов (стержней).

Неточность изготовления (даже с незначительными погрешностями) требует приложения дополнительных усилий для сборки узла, при этом возникают натяги и соответствующие монтажные напряжения.

Средний стержень изготовлен короче проектного размера на малую величину Δ.

Пример 1

Для сборки стержней в узле А необходимо средний стержень растянуть, а крайние стержни сжать.

Уравнения равновесия:

Неизвестны два усилия. Задача 1 раз статически неопределима.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи.

Крайние стержни укоротятся на величину Δ₁=Δ₂=АА₁cosα.

Средний стержень удлинится на величину Δ₃=D₁A₁.

Тогда уравнение совместности деформаций запишется в виде:

Ход дальнейшего решения аналогичен порядку решения в предыдущих примерах.

Видим, что средний стержень, еще до нагружения внешней силой будет растянут некоторой нагрузкой, т.е. напряжения от натяга будут суммироваться с напряжениями от эксплуатационных нагрузок, что не учитывается в обычных расчетах и может привести к потере прочности.

Стержень, имеющий жесткость ЕА, изготовлен короче заданной длины на величину Δ. Вид расчетной схемы и порядок решения будут зависеть от величины перемещения нижнего сечения стержня (определяемого величиной и положением по длине силы F, а также жесткостью стержня).

Пример 2

а) величина перемещения нижнего сечения меньше величины зазора – абсолютная линейная деформация стержня Δl_F<Δ. Задача статически определима.

б) величина перемещения нижнего сечения больше или равна величине зазора – абсолютная линейная деформация стержня Δl_F ≥ Δ. Задача статически неопределима.

Возможно два варианта:

Таким образом, в первую очередь, необходимо определить величину перемещения нижнего сечения, которое будет определяться деформацией участка бруса длиной b от действия силы F:

Следовательно, решение для случая Δl_F<Δ традиционно для решения статически определимых задач.

В случае, если Δl_F ≥ Δ, необходимо раскрыть статическую неопределимость.

На опорах возникнут две реакции, величины которых неизвестны. Уравнение равновесия:

Уравнение совместности деформаций получим, рассматривая схему

.

В соответствии с законом Гука

С учетом уравнения равновесия

Статическая неопределимость раскрыта.

получаем:

Напряжения в сечении стержня также будут возникать даже при отсутствии внешних нагрузок.

Рассмотрим стержень длиной l и площадью А, изготовленный из материала с модулем упругости Е.

Оба конца стержня жестко защемлены. Начальная температура стержня t₁. Определить напряжения, которые возникнут в сечениях стержня, если он нагревается до температуры t₂.

Градиент температуры будет положительным:

Δt=t₂–t₁>0.

5.9.4 Расчеты в связи с изменением температуры

Как известно, при нагреве материалы расширяются, т.е. стержень будет стремиться удлиниться и распирать опорные сечения, но из-за наличия этих жестких опор, в них возникнут реакции N₁ и N₂.

Уравнение равновесия:

Стержень один раз статически неопределим.

В связи с жестким опиранием, длина стержня l изменяться не будет. Т.е. перемещения опорных сечений равны нулю, следовательно, температурная линейная деформация Δt=0.

В отсутствие одной из опор, например правой, стержень удлинится на величину Δt. Это удлинение должно компенсироваться абсолютной линейной деформацией от действия реакции Δl_N.

Уравнение совместности деформаций: Δ_t=Δℓ_N.

По известной из курса физики формуле определим температурную деформацию стержня:

Δ_t = α ℓ Δt,

где α – коэффициент линейного температурного расширения материала стержня, град^-1.

По закону Гука

Сила сжимает стержень! Приравняв полученные зависимости, определим значение реакции на опоре и соответствующие температурные напряжения:

Отметим, что температурные (при нагреве стержня) напряжения по знаку – сжимающие. Следовательно, в случае охлаждения такого стержня (Δt=t₂–t₁<0), нормальные напряжения будут растягивающими. Кроме того, видим, что на величину напряжений не влияет длина стержня. Эти обстоятельства следует учитывать в случае использования хрупких материалов, а также, если стержень подвергается действию изменяющихся по величине и знаку температур.

Отметим, что на практике встречаются достаточно сложные схемы стержневых систем, и в каждом конкретном случае задача сводится к геометрическому анализу деформаций и составлению соответствующих уравнений совместности деформаций. Для примера рассмотрим задачу.

Задача. Абсолютно жесткий брус на стержнях, прикрепленных шарнирами, и нагружен силой F. Площадь стержней, соответственно, равна 2А и А (А=10 см²). Длина стержней 2l и l.

Определить значение допускаемой силы [F] из расчета по допускаемым напряжениям и из расчета по разрушающим (предельным) нагрузкам. Материал стержней – сталь Ст.3 ([σ]=160 МПа, σ_Т=240 МПа, Е=2×105 МПа).

Для силовой схемы можно составить два уравнения равновесия. Т.к. стержни соединены с жестким брусом посредством шарниров, то усилия в стержнях будут направлены вдоль осей этих стержней:

ΣY=0; N₁ + N₂ – F + R_A=0; Σm_A=0; 3N₁ – 5F + 6N₂=0.

Первое из этих уравнений включает и неизвестную реакцию, т.е. имеем три неизвестных.

Во втором уравнении неизвестных два – усилия N в стержнях.

Следовательно, в решении удобнее использовать второе уравнение равновесия.

Рассмотрим геометрическую сторону задачи. Под действием внешней силы F брус, оставаясь прямым (абсолютно жесткий брус – не деформирующийся), повернется вокруг шарнира А на некоторый угол. Стержни в местах крепления удлинятся, т.е. точки В и С переместятся вертикально в положения В₁ и С₁.

Отрезки ВВ₁ и СС₁ – абсолютные линейные деформации стержней.

Из подобия треугольников АВВ₁ и АСС₁ имеем:

.

Получили уравнение совместности деформаций.

Подставляем в полученное уравнение усилия в соответствии с формулой закона Гука (физическая сторона задачи).

​

.

​

.

Получаем значения усилий в стержнях в долях силы F :

3N₁ – 5F + 6N₂=0

N₁ = 0,5 N₂

Решаем систему уравнений:

3∙0,5 N₂ –5P+6N₂=0.

А) Расчет по допускаемым напряжениям

Из условия прочности

С учетом, что максимальные нормальные напряжения возникают во втором стержне, имеем:

Решаем уравнение относительно силы F:

.

Материал стержней – сталь, т.е. пластичный материал. Следовательно, после достижения напряжением во втором стержне (как в более нагруженном) значения предела текучести, этот стержень нагружаться не будет (напряжения не растут, увеличиваются деформации – см. диаграмму растяжения на площадке текучести). Нагрузку будет воспринимать первый стержень.

Таким образом:

N₂ = σ_Т А; N₁ = σ_Т 2А .

​

Уравнение примет вид:

​

3 σ_Т 2А – 5F + 6 σ_ТA = 0.

Б) Расчет по разрушающей нагрузке

Откуда получаем значение силы, при котором в обоих стержнях напряжения достигнут предела текучести – предельная грузоподъемность системы:

Разделим предельное значение силы на коэффициент запаса n_Т=1,5 и получим допускаемое значение силы:

[F_Т] = 576 : 1,5 = 384 кН.

Видим, что при расчете во втором случае допускаемая нагрузка выше, чем в первом на величину 384:238,8=1,61, т.е. расчет по разрушающим нагрузкам дает возможность в большей степени использовать свойства материала и особенности стержневой системы.