Розв’язування рівнянь, систем рівнянь

За навчальною програмою 2018 року

Урок 15

10

Запитання

Розділ 2 § 2.6

1. Що називається розв'язком (коренем) рівняння?

2. Що називається розв'язком системи рівнянь?

3. Що називається графіком рівняння?

10

Розв'язування рівнянь і�систем рівнянь

Розділ 2 § 2.6

Розв'язування багатьох різноманітних задач приводить до потреби розв'язати рівняння і/або систему рівнянь. Ви розв'язували такі задачі під час вивчення:

математики

фізики

хімії

10

Розв'язування рівнянь і�систем рівнянь

Розділ 2 § 2.6

На уроках математики вас учили розв'язувати рівняння і системи рівнянь деяких видів:

лінійні

квадратні

такі, що зводяться до лінійних або квадратних

деякі інші

Але для більшості практичних задач ці методи розв'язування потребують досить громіздких і непростих обчислень з дробовими числами, що займає багато часу.

10

Розв'язування рівнянь і�систем рівнянь

Розділ 2 § 2.6

Крім того, для розв'язування багатьох практичних задач потрібно розв'язати такі рівняння і системи рівнянь, для яких не існує методів знаходження точних значень їх розв'язків.

Для таких рівнянь і систем рівнянь існують різні математичні методи знаходження наближених значень розв'язків.

10

Розв'язування рівнянь і�систем рівнянь

Розділ 2 § 2.6

Застосування цих методів також громіздке і займає багато часу. Автоматизувати обчислення у цих методах можна, використовуючи:

табличний процесор

математичні процесори

прикладні математичні пакети

спеціальні прикладні програми для розв'язування математичних задач

деякі прикладні комп'ютерні програми

10

Розв'язування рівнянь і�систем рівнянь

Розділ 2 § 2.6

Такими прикладними математичними пакетами є, наприклад, вільно розповсюджувані:

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

Розглянемо використання математичного процесора GRAN1 (англ. GRaphic ANalysis — графічний аналіз) для розв'язування рівнянь, систем рівнянь і деяких інших задач.

Використовуючи програму GRAN1, можна побудувати графіки функцій та рівнянь і, використовуючи ці графіки, знайти наближені значення розв'язків рівнянь і систем рівнянь.

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

GRAN1 — вільно розповсюджуваний математичний процесор. Його можна скачати, наприклад, з веб-сторінки з адресою:

ktoi.npu.edu.ua/uk/zavantazhyty/category/1-gran1

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

Запуск програми здійснюється використавши значок на Робочому столі.

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

Після цього відкривається головне вікно програми і три підлеглих вікна.

Вікно Графік

Вікно

Список об'єктів

Вікно Відповіді

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

Графіки функцій, рівнянь, нерівностей тощо будуються у вікні Графік, у якому розташовано координатну площину. Під час переміщення вказівника по координатній площині у лівому верхньому куті вікна відображуються поточні координати вказівника.

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

У лівому верхньому і лівому нижньому кутах цього вікна вказуються найменші й найбільші значення х та y, які встановлено в даний момент. За замовчуванням ці значення дорівнюють —5 і 5.

Змінити ці значення можна на вкладці Масштаб вікна Властивості вікна «Графік», виконавши

Графік ⇒

Параметри вікна «Графік»

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

Вікно Список об'єктів містить спадний список, у якому вибирають тип об'єкта, графік якого потрібно побудувати:

• функція, задана формулою�(Явна: Y = Y(X));

• рівняння (Неявна: 0 = G(X,Y));

• функція, задана таблицею (Таблична: Хі, Y(Xi));

• ламана (Ламана);

• коло (Коло) та ін.

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

У нижній частині вікна Список об'єктів знаходяться відомості про виділений у списку об'єктів об'єкт: залежність, що його задає, відрізок, на якому вона розглядається, мінімальне і максимальне значення функції та ін.

У центральній частині цього вікна знаходиться список усіх уведених об'єктів.

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

Щоб помістити у вікно Список об'єктів новий об'єкт, потрібно виконати Об'єкт ⇒ Створити і у вікні Введення виразу залежності

Задати залежність відповідно до типу об'єкта, відрізки на осі х (А і В) та на осі у (A_y і B_y), на яких потрібно будувати графік цього об'єкта', колір лінії графіка та ін.

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

У вікні Відповіді виводяться результати виконання операцій програми у програмі GRAN1.

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

Зліва у головному вікні програми GRAN1 знаходиться Панель інструментів, яка містить інструменти для виконання таких команд:

Панель інструментів вікна GRAN1

10

Математичний процесор Gran1

Розділ 2 § 2.6

У програмі є Довідка, яку можна відкрити натисненням клавіші F1 або вибором команди Допомога з меню.

10

Чи знаєте ви, що...

Розділ 2 § 2.6

Створення математичного процесора GRAN розпочалося у 1989 році групою викладачів, аспірантів і студентів Національного педагогічного університету (м. Київ) під керівництвом Жалдака Мирослава Івановича (нар. 1937 p.), доктора педагогічних наук, професора, академіка НАПН України, заслуженого діяча науки і техніки України.

Жалдак Мирослав Іванович

10

Чи знаєте ви, що...

Розділ 2 § 2.6

На сьогодні програмно-методичний комплекс GRAN включає програми:

Що можуть використовуватися для розв'язування різноманітних задач з математики, фізики, хімії тощо.

10

Розв'язування рівнянь і систем рівнянь з використанням програми Gran1

Розділ 2 § 2.6

Щоб знайти наближені значення коренів рівняння, використовуючи програму GRAN1, потрібно:

1. Подати рівняння у вигляді Y = Y(X).

2. Занести відповідний об'єкт до вікна Список об'єктів.

3. Побудувати графік функції Y(X), виконавши Графік ⇒ Побудувати або вибравши на Панелі інструментів кнопку Побудувати графік.

4. Установити послідовно вказівник у всі точки перетину графіка з віссю Ох і записати наближені значення коренів рівняння.

10

Розв'язування рівнянь і систем рівнянь з використанням програми Gran1

Розділ 2 § 2.6

Графік рівняння: x³ – 9x² + 6 = 0

10

Розв'язування рівнянь і систем рівнянь з використанням програми Gran1

Розділ 2 § 2.6

Звертаємо вашу увагу:

Виконавши вищенаведений алгоритм, буде знайдено всі корені рівняння на заданому під час створення об'єкта проміжку.

Але можливо, що дане рівняння має ще й інші корені. Тому потрібно проаналізувати, чи може дане рівняння мати корені на інших проміжках, і якщо так, то змінити проміжок побудови по осі Ох, побудувати графік на новому проміжку і знайти інші корені рівняння.

10

Розв'язування рівнянь і систем рівнянь з використанням програми Gran1

Розділ 2 § 2.6

Щоб знайти наближені значення розв'язків системи рівнянь, використовуючи програму GRAN1, потрібно:

1. Подати кожне рівняння системи у вигляді 0 = G(X,Y).

2. Занести відповідні об'єкти до вікна Список об'єктів.

3. Побудувати графіки кожного рівняння, виконавши Графік ⇒ Побудувати або вибравши на Панелі інструментів кнопку Побудувати графік.

4. Установити послідовно вказівник у всі точки перетину цих графіків і записати наближені значення розв'язків системи рівнянь.

10

Розв'язування рівнянь і систем рівнянь з використанням програми Gran1

Розділ 2 § 2.6

Звертаємо вашу увагу:

виконавши вище наведений алгоритм, ви знайдете всі розв'язки системи рівнянь на заданих під час створення об'єктів проміжках по осі Ох і по осі Оу. Але можливо, що дана система рівнянь має й інші розв'язки.

Тому потрібно проаналізувати, чи може дана система рівнянь мати розв'язки на інших проміжках, і якщо так, то змінити проміжки побудови по осі Ох і по осі Оу, побудувати графіки рівнянь на нових проміжках і знайти інші розв'язки системи рівнянь.

10

Дайте відповіді на запитання

Розділ 2 § 2.6

1. Чому потрібно використовувати комп'ютерні програми для розв'язування рівнянь і систем рівнянь?

2. Які основні вікна програми GRAN1 і яке їх призначення?

3. Як очистити вікно Графік?

4. Як побудувати графік функції в програмі GRAN1?

5. Як визначити нулі функції, використовуючи її графік?

10

Домашнє завдання

Проаналізувати

§ 2.6, ст. 69-74

Розділ 2 § 2.6

10

Працюємо за комп’ютером

Розділ 2 § 2.6

Сторінка

72-74

10

Дякую за увагу!

За навчальною програмою 2018 року

Урок 15

10