Physique 3 �Vibrations linéaires et ondes mécaniques

Leçon n°8 :

Systèmes soumis à une force quelconque

Plan du cours :�Systèmes soumis à une force quelconque�

• Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque , développement en série de Fourier
• Réponse à une impulsion FΔt=1
• Réponse à une force F(t) quelconque
• Réponse d’un système avec excitation de la base
• Spectre de réponse

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Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque

• Une force périodique quelconque peut être développée en séries de Fourier :

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• L’équation du mouvement s’écrit :

Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque (suite)

• En utilisant le principe de superposition, la solution particulière est la somme des solutions particulières des trois équations suivantes :

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dont les solutions sont respectivement :

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​

​

avec

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Réponse d’un système soumis à une force périodique quelconque (suite)

• La solution complète s’écrit :

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• Quand n augmente, les amplitudes deviennent plus petites, quelques premiers termes sont suffisants pour obtenir une solution exacte.
• Quand nω=ω_nat, l’amplitude de l’harmonique correspondante est grande.
• La partie transitoire de la solution qui dépend des conditions initiales peut être additionnée pour donner la solution complète du problème.

Pour étudier les vibrations des valves utilisées dans les systèmes de contrôle hydrauliques, la valve et son joint élastique sont assimilés à un système amorti masse-ressort, comme le montre la figure. En plus de la force de rappel du ressort et de la force d’amortissement il existe une force de pression du fluide sur la valve qui change suivant la grandeur d’ouverture ou de fermeture de la valve.

Trouver la réponse du régime permanent de la valve quand la pression dans la chambre varie comme l’indique la figure. On supposera que k=2500N/m, α=10N.s/m et m=0,25kg.

Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (1)

Vibrations périodiques d’une valve hydraulique

• La force est égale à

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où A est la surface transversale de la chambre :

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• F(t) peut être exprimée par une série de fourrier comme :

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• La fonction F(t) est donnée par :

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Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (2)

• Le calcul des coefficients de Fourier donne

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Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (3)

En considérant seulement les trois premières harmoniques, on peut approximer la fonction force par :

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Le régime permanent de la réponse peut être exprimé par :

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Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (4)

• Nous avons :

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• Les angles de phase φ₁ et φ₃ s’écrivent :

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• La solution s’écrit :

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Exemple 1: Oscillations d’une valve hydraulique (5)

Trouver la réponse totale d’un système à un degré de liberté avec amortissement visqueux soumis à une excitation harmonique de la base avec les données suivantes :

​

Solution :

• L’ équation du mouvement du système est donnée par :

​

• Cette équation est similaire à un développement en série de Fourier avec a₀=0, a₁=αωY, b₁=kY et a_i=b_i=0 (i=2,3,…). La solution du système est :

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• Pour les données de l’énoncé :

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Exemple 2: Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base (1)

Solution : de l’équation homogène :

X₀ et φ₀ dépendent des conditions initiales.

• La solution totale :

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​

• ⇒

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​

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Exemple 2: Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base (2)

Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base où on voit la solution homogène au début qui disparaît à cause du facteur e^-t et la solution permanente qui prend le relai par la suite.

Exemple 2: Réponse totale d’un système soumis à une excitation harmonique de la base (3)

• Force connue seulement expérimentalement : vent, tremblement de terre, valves hydrauliques, variations de pressions dans les pipelines, …
• Il est possible de trouver les coefficients de Fourier en utilisant une procédure d’intégration numérique.
• Une fois les coefficients de Fourier calculés, on peut trouver la réponse d’un système conséquence de la force d’excitation.

Réponse sous une force périodique

de forme irrégulière

Exemple 3 : exercice effectué dans le premier chapitre au sujet des fluctuations périodiques de pression dans un pipeline qui après une analyse de Fourier ont donnés p(t). Supposer que sont ces fluctuations de pression que l’on retrouver pour la valve hydraulique, on écrit p(t) :

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​

​

On trouve :

​

​

Réponse sou une force périodique de forme irrégulière

Intégrale de convolution, réponse sous une force non-périodique, réponse à une impulsion

• La forme de force la plus simple est une force impulsive.
• Une impulsion est le produit d’une force de large amplitude avec un temps très court :

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​

• Une impulsion unité est définie par :

​

​

​

• Pour un système masse-ressort amorti soumis

à une impulsion unité à t=0, l’équation du mouvement est :

​

​

• On retrouve l’impulsion à travers les conditions initiales.

Intégrale de convolution, réponse à une impulsion (suite)

• La solution à ce système amorti

sans force extérieure est :

​

où

​

• Si la masse est au repos avant l’application de l’impulsion, on a pour t<0 ou à t=0^-, on obtient :

• Les conditions initiales de notre système sont donc :

​

​

• Le mouvement de notre système se réduit à :

​

• Si l’amplitude de notre impulsion est au lieu de l’unité, la vitesse initiale est et la réponse du système devient :

Intégrale de convolution, réponse à une impulsion (suite)

Système amorti, masse-ressort sous critique soumis à une impulsion unité à t=0

Intégrale de convolution, réponse à une impulsion unité

• Si l’impulsion est appliquée à un temps arbitraire τ, on remplace t par t-τ dans l’équation précédente. La réponse est :

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​

​

​

​

​

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• Imaginons que F(t) soit une force quelconque. Celle-ci peut être vue comme la superposition de forces d’impulsion F(τ).

Exemple 4 : réponse d’une structure à un choc

Dans le test de vibration d’une structure, un marteau d’impact et une cellule mesurant la charge de la force sont utilisés comme source d’excitation. En supposant m=5 kg, k= 2000N/m, α=10 N.s/m et trouver la réponse du système.

​

Solution :

A partir des données, on peut calculer :

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​

​

​

En supposant l’impact donné au temps t=0,

la réponse est :

Exemple 5 : Réponse d’une structure sous double impact

Dans de nombreux cas un deuxième impact prend place après le premier et la force appliquée s’écrit :

où δ(t) est la fonction de Driac et τ désigne le temps entre les deux impacts de magnitude

Pour une structure avec m=5kg, k = 2000N/m, α = 10N.s/m.

. Trouver la réponse de la structure. Nous avons :

​

​

On suppose les deux réponses :

Intégrale de convolution, réponse

à une force F(t) quelconque

• Nous pouvons décomposer n’importe quelle force F(t) en une somme d’impulsions de différentes amplitudes. La réponse totale du système peut être trouvée en additionnant toutes les réponses de toutes les impulsions élémentaires :

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• En prenant et en remplaçant la sommation

par une intégration, on trouve :

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Cette équation appelée intégrale de Duhamel ou intégrale de convolution donne la réponse d’un système sous-critique à un degré de liberté soumis à une force d’excitation arbitraire F(t).

Intégrale de convolution, réponse d’un système avec excitation de la base

• L’équation du mouvement dans ce cas s’écrit :

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​

• Cette équation est similaire à l’équation :

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​

• Ce qui revient à écrire :

​

Exemple 6: Fonction escalier d’une machine de compactage

Une machine de compactage, modélisée comme un système à un degré de liberté est montrée sur la figure suivante. La force agissant sur la masse m, qui inclus les masses du piston, de la plate-forme et du matériel à compacter, due à une application soudaine de la pression peut être idéalisée comme une fonction constante, comme le montre la figure. Déterminer la réponse du système.

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(a)

(b)

Exemple 6 : Fonction escalier d’une machine de compactage (suite)

Solution : l’intégrale de Duhamel avec F(t)=F₀ donne :

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​

​

​

​

avec

Exemple : Fonction escalier d’une machine

de compactage (suite)

• La réponse montre que la solution est un mouvement sous critique classique. Elle montre aussi que si le système est non amorti, ζ=0 et ω_a=ω_n, l’équation précédente se réduit à :

​

qui montre que le déplacement maximum est égal à deux fois l’élongation statique, x_max=2F₀/k

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Réponse d’une machine de compactage

Réponse lorsque le système

est non amorti

Exemple 7 : Force escalier retardée à t=t₀

• Si la fonction escalier est retardée, on substitue simplement t-t₀ pour t dans la solution de l’exemple précédent, ce qui donne :

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​

• Si le système est non amorti, nous avons :

Exemple 8 : Force de pulsation rectangulaire

Si nous avons affaire à une impulsion rectangulaire, la réponse est la différence entre les solutions des deux exercices précédents :

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​

​

avec

​

​

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(a)

(b)

Exemple 8 : Force de pulsation rectangulaire (suite)

Pour voir la réponse à une impulsion rectangulaire graphiquement, on prend un système non amorti , c’est-à-dire ζ=0 et ω_a= ω_n. On trouve la réponse suivante :

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​

Qui est différente suivant la durée de l’impulsion.

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Exemple 9 : Choc sur le cadre d’un building (1)

Un bâtiment est modélisé comme un système non-amorti à un degré de liberté comme le montre la figure. Trouver la réponse du cadre si celui-ci est soumis à une charge explosive représentée par la pulsation triangulaire de la figure (b).

Solution : La fonction force est donnée par :

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L’équation donnant la réponse d’un système à un degré de liberté, non amorti soumis à une force d’excitation arbitraire s’écrit :

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• Réponse pendant l’intervalle 0 : ≤ t ≤ t₀

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Exemple 9 : Choc sur le cadre d’un building (2)

• En notant que l’intégration par partie donne :

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on obtient :

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​

En simplifiant, on trouve :

​

Réponse pendant l’intervalle t > 0 : la limite supérieure de l’intégrale doit être t₀ puisque F(τ) pour τ > t₀ :

Exemple 11 : Spectre de réponse d’une pulsation sinusoïdale (2)

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​

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• On peut donc trouver

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• une demi sinusoïde est un cas simple. En général, on doit résoudre de manière numérique

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Spectre de réponse pour une excitation de la base

• Utilisé dans la conception de machine ou de structures pouvant subir des chocs au sol comme ceux causés par les tremblements de terre (constructions parasismiques). On utilise dans ce cas le spectre de réponse en vitesse. Les spectres de réponses en accélération ou en déplacement sont facilement déduit :

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​

• A partir du résultat trouvé du déplacement relatif d’un système sous critique soumis à une excitation de la base :

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​

on obtient :

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où la relation

Spectre de réponse pour une excitation de la base

• on peut donné à la forme

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où

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• Le spectre de réponse en vitesse s’écrit :

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On écrit aussi :

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Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (1)

• Soit un château d’eau, sujet à une accélération linéaire du sol due à un tremblement de terre. La masse du château d’eau est m, la raideur de la colonne est k, et l’amortissement est négligeable.

Trouver la réponse pour le déplacement relatif z=x-y du château d’eau.

(a)

(b)

Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (2)

Solution

• L’accélération de la base peut s’écrire :

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​

​

• Réponse pour 0≤ t ≤ 2t₀ : en substituant dans l’équation de la réponse due à une excitation de la base, on trouve :

Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (3)

Pour trouver la réponse maximale z, on écrit :

​

​

​

Pour trouver

​

​

​

et

Exemple 12 : Château d’eau sujet à une accélération de la base (4)

Réponse lorsque t > 2t₀ : puisqu’il n’y a pas d’excitation durant ce temps, on utilise l’équation trouvée pour les problèmes des vibrations libres :

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​

​

avec à partir de la solution trouvée pour 0≤ t ≤ 2t₀ :

​

​

Le maximum de z(t) peut être trouvé de la même manière, la solution est :

Accélérogramme et spectre de réponse d’un tremblement de terre

• Accélérogrammes imprimés par des instruments appelés accélérographes de mouvements forts.
• On obtient de l’accélérogramme : le maximum de l’accélération du sol, la durée et le fréquence du tremblement de terre.
• On intègre à partir de l’accélérogramme pour trouver la vitesse et le déplacement du sol en fonction du temps.
• Le spectre de réponse est utilisé pour donner la meilleure représentation descriptive de l’influence d’un tremblement de terre donné sur une structure ou une machine.
• Le spectre de réponse d’un accélérogramme particulier montre des intégralités dans le domaine des fréquences. On a développé les spectres de design (de conception) qui sont des spectres moyens correspondant à un ensemble d’accélérogramme pour concevoir des structures et des machines.

Spectre de réponse d’un tremblement de terre

Spectre de design d’un tremblement de terre

Exemple 13 : Réponse du cadre d’un bâti à un tremblement de terre (1)

Un bâti a une masse de 6800 kg et est formé de deux colonnes de raideur k, comme indiqué sur la figure. Le rapport d’amortissement de la bâtisse est de 0,05 et sa période naturelle est de une seconde. Utiliser le spectre de réponse donné comme exemple en cours pour trouver le déplacement relatif maximum de la dalle et la force maximale de cisaillement (kx) de la dalle. Celle-ci peut servir à trouver la force maximale de flexion des colonnes.

Exemple 13 : Réponse du cadre d’un bâti à un tremblement de terre (2)

Solution : On peut lire sur le spectre de réponse τ_n= 1 s et ζ = 0,05 :

S_v= 25 in/s = 25 × 2,54 = 63,5 cm/s = 0,635 m/s

S_d = 4,2 in = 10,668 cm et S_a = 0,42 g = 0,42 × 9,8 = 4,116 m/s²

Le déplacement maximum de la dalle est de 10,668 cm (ce qui est énorme).

La force maximale de cisaillement sur les deux colonnes est de :

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Ce qui peut mettre à rude épreuve la flexion des colonnes.

Exemple 14 : Trolley d’une grue électrique roulante

Le trolley d’une grue électrique roulante bouge sur une poutre métallique comme le montre la figure.

On suppose que le trolley est un une masse ponctuelle. L’ensemble du système peut être assimilé à un système à un degré de liberté avec une période de 2 secondes et un rapport d’amortissement de 2 %. Déterminer si le trolley déraille sous l’influence d’un tremblement de terre dont le spectre de design est donné par la figure exemple de cours.

Solution : pour τ_n=2s et ζ =0,02 la figure donne S_a=0,25g, ce qui est inférieur à g donc le trolley ne déraillera pas.