1

23.08.2024

YORULMA (fatigue)

(Ömür Hesapları ve Boyutlandırma)

Mukavemet Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12.

Tekrarlı yüklemeler sonucu oluşan hasarlar

(Video 12.a)

(Video 12.b)

(Video 12.c)

Örneklerle Ömür Hesapları

Örneklerle Boyutlandırma

Örnekler

2

23.08.2024

• Bir seferliğine kolayca kaldırabildiğimiz bir paketi art arda kaldırmak istersek, ancak belli bir tekrar sayısına kadar kaldırabiliriz. Çünkü bu tekrarlı işlem bizi yorar.
• İşte katı cisimler de tekrarlı yüklere karşı benzer bir davranış gösterir.
• Katı cisimler statik olarak uygulanan bir yüke dayanabilseler dahi, aynı yükü tekrarlı olarak (arka arkaya) uygularsak belli bir tekrara kadar dayanabilirler ve sonra hasara uğrarlar.
• İşte bu olaya yorulma denir.

Yorulma

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

12.2- Bu Konuda Amaçlarımız:

• İlk Amacımız tekrarlı yüklemelere maruz bir cismin herhangi bir noktasında zamana bağlı bir gerilme değişimi sözkonusu iken bu noktanın kaç tekrara kadar dayanabileceğini yani ömrünü hesaplamaktır.
• Veya başka bir ifade ile bu noktada ilk çatlak (hasar) oluşumu için tekrar sayısını hesaplamaktır.
• Ayrıca katı sistemlerde tasarım kriteri olarak alınan sonsuz ömür kavramının ne olduğu izah edilecektir.

12.3- Konunun Önemi:

Sanayide veya günlük hayatımızda kullandığımız birçok makineler, mekanizmalar ve bunların içerisindeki hareketli tüm katı parçalar, tekrarlı yüklere maruz kalmakta ve bazılarında zaman içerisinde hasarlar oluşmaktadır. Bu parçaların sadece statik durumda iken gerilme hesapları ve boyutlandırılmalarının yapılması yanıltıcı olabilir. Aynı zamanda ömür hesaplarının ve yorulma açısından emniyetli boyut tespitlerinin yapılması son derece önem arz etmektedir.

12.1- Yorulma Nedir?

Şekil 12.1.a

Şekil 12.1.b

Şekil 12.1.c

3

23.08.2024

12.4- Yorulma Hesaplarında kullanılan Önemli Tanımlamalar :

Yorulma hesaplarında normal gerilmeler S sembolü ile gösterilmiştir. Şekil 12.2.a daki gibi iki ucu mafsallı BC kirişinin orta noktasına zamanla değişken bir F(t) kuvveti uyguluyoruz. F kuvvetinin zamana göre değişimi şekil 12.2.b de gösterilmiştir. F kuvveti etkisi ile kirişte eğilme yüklemesi meydana gelecektir.

Şekil 12.3

(a)

(b)

(12.1)

Şekil 12.4

Şimdi ilk cevabını aradığımız soru şudur: Tekrarlı yüklemeye maruz bir noktada kaç tekrar sonucunda çatlak oluşur? Yani bu noktanın yorulma ömrü nedir?..>>

(12.4)

(12.2)

(12.3)

(12.5)

Maksimum gerilme:

Minimum gerilme:

Ortalama Gerilme :

(mean stress)

Gerilme Genliği :

(alternating stress)

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

5.1 nolu eğilme konusundan biliyoruz ki, kirişin herhangi bir D kesitindeki (herhangi bir anda) normal gerilme dağılımı Şekil 12.3.b deki gibi olur (Kiriş kesitini simetrik olarak düşünüyoruz ki, bu durumda basit eğilme oluşacaktır.) D kesitindeki bir d noktasındaki gerilme ise 12.1 denkleminden bulunur.

F(t) zamanla değiştiğinden S gerilmesi de zamanla değişken olacaktır. Yükleme tipine göre F-t ve S-t diyagramları benzer veya farklı formda olabilir.

Ayrıca kirişin farklı kesitlerinde ve farklı noktalarında şekil olarak aynı fakat sınır değerleri farklı S-t diyagramları oluşacağını fark ediniz.

Şekil 12.4 de S-t diyagramında farklı gerilme tanımlarını inceleyiniz. Bu diyagramın herhangi bir d noktası için çizildiğini unutmayınız.

Kirişte belli bir tekrardan sonra ilk çatlak oluşur ki, bu maksimum gerilmenin oluşacağı noktalarda (bu örnek için A kesitinin en dış noktalarında) meydana gelir.

12.1 nolu S(t) gerilme denklemi 1nci dereceden (doğrusal) bir denklem olduğundan bu örnek için S-t diyagramının, F – t diyagramına benzer olacağı açıktır.

4

23.08.2024

S_m

t (zaman)

S_m1

S_m2

S_m3

Sa_d =

Şu noktaları üstteki diyagramlardan anlamaya çalışınız:

• Aynı ortalama gerilme (S_m) değeri için gerilme genliği S_a artarsa malzeme yorulması daha az tekrar sayısında gerçekleşir.
• Aynı S_a değeri için S_m azalırsa malzeme daha fazla tekrar sayısında yorulur.
• N ekseninde değerler arasında çok fark olduğu için logoritmik skala kullanılır. Bu skaladaki aralıkların eşit olmadığına dikkat ediniz.
• Sonsuz Ömür Kavramı: S - N eğrisi 10⁶ çevrimden sonra genellikle yatay (apsis) eksene asimptotik bir durum gösterir, yani bu tekrar sayısında eğrinin yatay eksene paralel olduğu kabul edilebilir. Bu ise sonsuz ömür anlamına gelmektedir. Bu kavram bir sonraki sayfada daha detaylı izah edilmiştir.

Yorulma Deneyleri

12.5- Ömür hesabı için gerekli malzeme özellikleri

Bir noktada kaç tekrar sonucu çatlak oluşacağını hesaplayabilmek için malzemeye ait yorulma karekteristik eğrilerinin (S-N diyagramlarının) öncelikle bilinmesi gerekir. Bu eğriler ise deneysel olarak elde edilir. Şöyle ki: Aynı malzemeden imal edilen numuneler tekrarlı yüklemeye maruz bırakılır.

Şekil 12.5

Şekil 12.6

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

Herbir numunenin S_m ortalama gerilmesi veya S_a gerilme genliği farklıdır. Şekil 12.5 de 3 farklı tekrarlı yükleme testleri (b,c,d testleri) gösterilmiştir.

Bu testlerin her birisi numunede hasar (çatlak) oluşana kadar devam eder. Çatlak oluştuğunda erişilen tekrar sayıları (N ) herbir test için tespit edilir.

Logoritmik diyagramda yatay eksene N, düşey eksene S_a gerilme genlikleri koyulmak üzere herbir teste karşılık gelen noktalar işaretlenir ve aynı S_m ortalama gerilmesine sahip noktalar bir eğri ile birleştirilir. Bu eğrilerin tümüne S-N diyagramları denir. S-N diyagramlarının elde edilebilmesi için çok sayıda test yapılması gerektiği açıktır.

5

23.08.2024

12.6- Sonsuz Ömür Kavramı:

Mukavemet II - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

Şekil 12.7

6

23.08.2024

12.7-Yorulma Deney Düzenekleri

Yorulma deney düzenekleri farklı tasarımlarda olabilir. Herbir düzenekte önemli olan ise çatlağın ilk oluşacağı kritik noktada S_max - S_min gerilmelerinin tekrarlı olarak ortaya çıkması ve Şekil 12.4 deki gibi bir gerilme-zaman diyagramı elde edilmesidir. Amaç ise çatlağın kaç tekrar sonucunda oluşacağını ölçmektir ki, bu değerler teorik hesaplamalarda kullanılan (bir önceki sayfada anlatılmış) yorulma karekteristik eğrilierinin (S-N diyagramlarının) elde edilmesinde gereklidir. Aşağıda örnek olarak 4 farklı yorulma test düzeneği gösterilmiştir:

Mukavemet bilgilerinizle bu düzeneklerin her birisinde ilk önce çatlak oluşacak noktayı tahmin etmeye ve bu noktalarda S-t diyagramlarını taslak olarak çizmeye çalışın.

• Düzeneklerde değişken yükler impulsif yani darbeli tarzda (çekiçle vurur gibi) olmamalı, yavaşça uygulanmalıdır. Zira S_max –S_min gibi anlık gerilmeler anlık (o an sanki mekanizma duruyormuş gibi düşünülerek) statik yükleme durumları için hesaplanır.

• Düzeneklerde, en kritik noktanın gerilmesi Mukavemet formüllerinden hesaplanabilmelidir. Bu ise yükleme durumuna göre değişebilir. Örneğin basit eğilmeye maruz bir kiriş için gerilme 12.4 denkleminden hesaplanabilmektedir. Eğer düzenek çekme-basma tarzında olursa S=P/A formülü kullanılır.

Malzeme cinsine bağlı olarak bir tek numunenin yorulma testi bazen günler hatta haftalar sürebilir. Bir malzemenin yorulma karekteristik davranışlarını belirleyebilmek için ise fazla sayıda test yapılmalıdır. Bu sebeple bir malzeme cinsi için yorulma testleri oldukça uzun bir süreç gerektirebilir. Bu külfet altına girmek yerine öncelikle literatürde ve çeşitli kaynaklarda malzememiz için daha önceden deneysel olarak bulunmuş yorulma eğrilerini (referans göstererek) kullanmak çok daha pratik bir çözüm olabilir. Ayrıca sadece S_m=0 için yapılan deneylerden teorik yorulma mukavemeti eğrileri geliştirilmiştir ki bu konunun ilerisinde açıklanacaktır.

Şekil 12.8.a

Şekil 12.8.c

Şekil 12.8.d

Şekil 12.8.b

• Yorulma ömrü için bir noktada S_max-S_min normal gerilmeleri sırasıyla oluşmalıdır ki, bu eğilme veya çeki/bası yüklemelerinde gerçekleşir. Bu sebeple düzenekler bu yükleme tiplerinden birisine göre dizayn edilir. 12.8a-c düzenekleri eğilmeye, 12.8.d düzeneği ise çeki/basıya göre dizayn edilmiştir.

Mukavemet II - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

7

23.08.2024

• Önceki sayfadaki düzenek örnekleri malzeme karekteristik yorulma eğrilerini bulmaya yönelik olduğundan çubuk şeklinde deney numuneleri kullanılır.
• Bazı düzeneklerde ise doğrudan son ürünler test edilmekte, ürünün istenen ömüre sahip olup olmadığı doğrudan ölçülmektedir. İşletmeler açısından oldukça faydalı olan ürün yorulma testleri sayesinde ayrıca teorik hesaplamalara gerek kalmasa da, ar-ge faaliyetleri ve ürün geliştirme süreçleri için bilgisayar ortamında yorulma analizlerinin yapılmasının günümüz teknolojisinin vazgeçilmezi konumunda olduğu da unutulmamalıdır.
• Aşağıda ürün yorulma testlerine ait 2 örnek gösterilmiştir.

Şekil 12.9.a (Ayakkabı yorulma test düzeneği)

Şekil 12.9.b (Jant yorulma test düzeneği)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

8

23.08.2024

2- Püf Noktası: Ömür hesapları bir nokta için yapılabilir ve o noktada kaç tekrar (cycle) sonucu çatlak oluşacağını bize gösterir. Önemli olan ise incelenen o noktadaki gerilme- zaman değişimini doğru tespit etmektir.

1- Deney düzeneğinin tasarımı sebebiyle yükleme tipleri farklılık gösterebilir ve dolayısıyla dış yük – zaman; gerilme-zaman grafikleri de birbirlerine benzer veya farklı formda olabilir.

12.8 Ömür Hesaplarında Önemli Noktaları tekrar edelim:

4- Dış yük değişken, sistem sabit olduğunda yorulma ortaya çıkar. (Örnek: Yollardaki su tasfiye ızgarası)

6- Yorulma hesaplarından önce maksimum ve minimum yüklerin oluşturacağı, kritik noktadaki gerilmeler statik yükleme durumu için ayrı ayrı hesaplanmalıdır.

3- Bir cismin yorulma ömrü, en kritik noktasının yorulma ömrünü belirlemekle mümkündür. Çünkü ilk çatlak oluşumu bu noktada meydana gelir.

5- Ancak bazen dış yükler sabit, sistem hareketli olur, bir nokta sürekli konum değiştirir ve üzerindeki gerilmeler zamanla değişeceğinden yorulmaya maruz kalır. (Örnek: Jant)

Şekil 12.10

Şekil 12.11

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

9

23.08.2024

6cm x 5cm kesitinde, alt kısmından ankastre bir tahta bloğa P eksenel kuvveti 60kN ile -30kN arasında değişecek şekilde tekrarlı olarak uygulanıyor. Malzemenin S-N diyagramı yandaki gibi ise, tahta blok bu tekrarlı yüke kaç tekrara kadar dayanabilir? (yani yorulma ömrü nedir?)

Örnek 12.1

Yani bu blok bu tekrarlı yüke 400 tekrara kadar dayanabilir. (Yorulma ömrü 400 tekrardır denir.)

Maksimum gerilme:

, Minimum gerilme:

Ortalama gerilme:

(mean stress)

Gerilme genliği:

(alternating stress)

Çözüm:

Çeki veya bası yüklemesi olduğu için bloğun tüm noktalarında her t anında aynı şiddette gerilmeler ortaya çıkar, teorik olarak tüm noktaların hepsi kritik noktadır ve gerilmeler S=P/A formülüyle hesaplanır.

Yorulma çatlağı oluşana kadar tekrar sayısı

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

10

23.08.2024

Örnek 12.2

Topuklu bir bayan ayakkabısının dayanım kriteri şu şekilde belirlenmiştir:

«1 metreyi 2 adımda yürüyen 70kg lık bir bayan, 2 yıl boyunca günde ortalama 2km yürüdüğünde ayakkabının topuk kısmında herhangi bir hasar oluşmamalıdır»

Ayakkabının topuk kısmını, silindirik şekilde ve çapı d=7.5mm , yüksekliği

h = 5cm olarak kabul edebiliriz. Adım atarken dikkat edilirse vücut yükünün tümü tek ayakkabıya geldiği görülür ki, bu sırada diğer ayağın yerle teması kesilmiştir. Yürüme sırasında tüm vücud yükünün yarısını topuğun, diğer yarısını ayağın ön kısmının taşıdığı kabul edilebilir.

Ayakkabı malzemesinin basıdaki kırılma gerilmesi S_{bası-kırılma}= S_oc =-40MPa

ve S-N diyagramları yandaki şekildeki gibidir. Buna göre;

a-) özellikleri verilen tahta malzemenin topuk için kullanılması uygun mudur?

b-) Değilse ne gibi bir tedbir düşünürsünüz?

Ayakkabı malzemesi için S-N diyagramları

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

(g = 10kgm/s²)

11

23.08.2024

Çözüm:

Öncelikle bir ayakkabının 2 senede ne kadar tekrarlı yüke maruz kalacağını orantı kurarak hesaplayacağız:

1metrede

1 kere yere basıyor.

Bir ayakkabı

Günde 2000m

yürüdüğüne göre 2 senede

Bir adımda (bir tekrarda), yere tam basıldığında bir ayakkabıya tüm vücud ağırlığı gelir. Fakat tüm vücud ağırlığının yarısı topuk kısmına düşer (diğer yarısı ayakkabının ön kısmı tarafından taşınır)

Topuk için kuvvet – zaman diyagramı:

Topuktaki bir noktada gerilme-zaman diyagramı

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

12

23.08.2024

Statik halde (tek ayak üzerinde beklerken veya ilk adımda) hasar oluşur mu?

hasar oluşmaz.

Yürürken oluşan ortalama gerilme (mean stress):

Yürürken oluşan gerilme genliği (alternating stress):

S_m=-4MPa

Soruda S-N diyagramlarında S_m=-4MPa lık eğri verilmemiştir. Fakat mevcut eğrilerden faydalanarak bu eğri de ortalama olarak yandaki şekildeki gibi çizilir.

Yani ayakkabının topuğu 40000 tekrara kadar bu yüke dayanır.

Bu malzemenin bu boyutlarda topuk malzemesi olarak kullanılması uygun değildir.

Nasıl bir tedbirle aynı malzemeyi kullanabiliriz..>>

Yorulma çatlağı oluşana kadar tekrar sayısı

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

13

23.08.2024

b-) Tedbir 1 :

alırsak aynı hesaplama şekliyle

• S-N diyagramlarında S_m=-2.23MPa lık eğri verilmemiştir. Fakat mevcut eğrilerden faydalanarak bu eğri de ortalama olarak şekildeki gibi çizilmiştir.

• O halde topuk n = 1460000 tekrara da dayanacaktır.
• Bu sebeplerle Tedbir 1 doğrudur diyebiliriz.

Eğer S_m=-2.23MPa ve S_a<2.23MPa olsaydı teğetin alt bölgesinde kalacaktık. Bu durumda sonsuz ömür yine sağlanacaktı ve daha emniyetli durum söz konusu olacaktı.

• Bununla birlikte bu tedbirde ayakkabının orijinalliğini bozacak ve istenen estetikliğinin kaybolmasına sebep olacak şekilde d çapının çok fazla büyütülmemesi gerekliliği, ayrı bir sınırlama olarak karşımıza çıkmaktadır.

Soru 2: Ayakkabı topuğu için bir başka risk burkulmadır. Tedbir 1’e göre yeniden tasarlanmış topukta burkulma açısından bir problem oluşup oluşmayacağını hesaplarla belirleyiniz.

Soru 1: Ayakkabı topuğu için daha farklı tedbirler neler olabilir?

Düşününüz ve bu tedbirlerinde doğruluğunu sayısal hesaplarla ispatlayınız.

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

14

23.08.2024

Örnek 12.3

Sol ucu bir duvara ankastre olan r= 2mm yarıçaplı metalik bir tele diğer ucundan pense vasıtasıyla P=50N luk kuvvet yukarı-aşağı tekrarlı olarak uygulanıyor. Bu durumda kaç tekrar sonunda telde ilk çatlak oluşturulabilir. (Pensenin çenelerindeki ezilme ve kesme etkisi, telin duvardan çıkma olasılığı ihmal edilecektir. )

Tel malzemesinin özellikleri

(S_akma= 250MPa)

S-N diyagramları

Yorulma çatlağı oluşana kadar tekrar sayısı

Çözüm:

Tel eğilme yüklemesine maruz kalır. En kritik kesit ankastre kesit ve en kritik noktalar b ve c noktaları olup, bu noktalarda bir t anında gerilmeler eşit fakat zıt işaretli olur. Gerilme-zaman diyagramları simetriktir. b veya c’den birisini incelememiz yeterlidir. b ’yi incelersek:

x

M_z-max

S_m=0 eğrisinde, S_a = 79.6MPa lık genliğe karşılık gelen tekrar sayısının yaklaşık N= 2x10² =200 dür. Bunu kendiniz grafikten görmeye çalışınız. O halde 200 tekrar sonunda çatlak oluşur. Pense üst konumdayken bir tekrar sonra yine üst konuma gelir.

c

b

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

(ortalama gerilme –mean stress)

(gerilme genliği–alternating stress)

15

23.08.2024

• Zira yorulma testleri zaman zaman durdurulduğunda, düzgün deney parçalarında bir toparlanma görülmüş ve ara verilmeden yapılan testlere göre daha uzun ömürler elde edilmiştir.

12.9 Tekrarlı Yüklere Ara Verilmesinin Etkisi

• Biz, bir yığılı yükü kendi bedensel gücümüzle bir yerden başka bir yere taşırken, zaman zaman ara verip dinleniriz, kendimizi toparlarız ve sonra çalışmaya devam edebiliriz.

• Katı cisimler içinde böyle bir durumun söz konusu olduğunu söyleyebiliriz.

• Şunu da unutmamamız gerekir ki, tekrarlı yüke ara verilmesi bizim hesaplarımızdakinden daha güvenli durumların oluşmasına sebep olacak, dayanım açısından bizlere bir avantaj teşkil edecek ve hesaplarımızı riske etmeyecektir.

• Biz mühendisler ise hesaplamalarımızda daima en kritik durumu göze almamız gerekir.

• Bununla birlikte endüstriyel bir ürünün veya parçanın üzerindeki tekrarlı yüke ne zaman ve ne kadar süreyle ara verileceği genelde bir standarda bağlı değildir ve kullanıcıya göre değişebilmektedir.

• Dolayısıyla ara verilmeden sürekli testlerden elde edilmiş S-N diyagramlarının ve diğer yorulma verilerinin kullanılması en kritik durumu incelemek anlamına geleceğinden daha doğru bir yaklaşım olacaktır.

Şekil 12.12

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

16

23.08.2024

Bu bölümde Amacımız:

Tekrarlı yüklere maruz olan parçaların, sonsuz ömre sahip olabilmesi için gerekli minimum boyutlarının tespit edilmesidir.

Fakat öncelikle S-N diyagramlarının farklı şekilde yorumlanmasıyla geliştirilen yorulma mukavemet eğrileri ve farklı yorulma teorilerinin (kriterlerinin) iyice anlaşılması gerekir…>>

φ D_emn=?

12.10 Yorulma Kriterleri ve Boyutlandırma

Şekil 12.13

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

17

23.08.2024

12.10.1 Smith Diyagramı

Smith Diyagramı, yorulma deneylerinden elde ettiğimiz S-N diyagramlarının farklı şekilde yorumlanmış hali olup türetilmiş bir diyagramdır.

Smith diyagramı S-N diyagramları yardımıyla aşağıdaki adımlarla elde edilir:

c

d

e

S_m

S_max,min

45^o

Sa_0-1

Sa_0-1

S_m2

Sa_0-2

.

.

.

S_max0-1

S_max0-2

.

.

Sa_0-2

S_m1

S_min0-1

Smith Diyagramı

S_m1

f

g

S_kopma

S_e

-S_e

Şekil 12.14

Şekil 12.15

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

17

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

• Yatay eksen ortalama gerilmeyi (S_m’ i) , düşey eksen max ve minimum gerilmeleri gösterir. Düşey ve yatay eksen arasında 45⁰ eğimli bir doğru çizilir.

• Herhangi bir S_m1 değerinde düşey eksene paralel bir çizgi çizilir. Bu çizginin 45⁰ lik doğruyu kestiği e noktası belirlenir.

• e noktasından S_a0-1 genliği (sonsuz ömür için sınır genliği) kadar yukarı ve aşağı yönde gidilerek c ve d noktaları işaretlenir.

• e noktasının y koordinatı da (45⁰ den dolayı) S_m1 değerine eşittir.

• S_m1 için S_a0-1 genliğinde sonsuz ömür söz konusudur. Bu durumda maximum ve minimum gerilmeler, 12.2 ve 12.3 denklemlerinden (veya şeklin geometrisinden) hareketle, S_max0-1 = S_m1 + S_a0-1 ; S_min0-1 = S_m1- S_a0-1 şeklinde hesaplanabilir. (Bu değerler aynı zamanda c ve d noktalarının da düşey koordinatlarıdır. )
• Bir başka ifadeyle S_m1 için sonsuz ömür sınırları c ve d noktalarıdır diyebiliriz.

• Yukarıdaki aynı işlemler S_m2, S_m3 gibi farklı ortalama gerilmeler içinde yapılarak her birisi için sınır noktalar elde edilir. (Örneğin S_m2 için elde edilen sınır noktalarının f ve g olduğunu fark edin.)

• Tüm bu sınır noktaları birleştirildiği zaman Smith diyagramı elde edilmiş olur.
• Sonuç olarak bir malzemenin herhangi bir noktasında sonsuz ömür elde etmek için Smith diyagramının dışına çıkılmaması gerekir. Bu sebeple Smith diyagramı «yorulma mukavemeti sınır diyagramı» olarak da isimlendirilebilir.
• S_max değeri kopma gerilmesinin (başka bir ifadeyle çekme mukavemetinin) üstünde çıkamaz ( o zaman tek tekrarda çatlak söz konusu olur ki bunun üzerinde tekrarlı yükleme olamayacağı anlamına gelir.) Bu sebeple Smith diyagramının üst sınırı malzemenin kopma mukavemetidir.
• S_m=0 için gerilme genliği özel olarak S_e ile gösterilir ve yorulma mukavemet genliği (endurunce stress) veya kısaca yorulma sınırı (fatigue limit) olarak isimlendirilir.

.

18

23.08.2024

Alttaki Smith diyagramını ve yanındaki tekrarlı yük diyagramını iyice inceleyerek konuyu ve kavramları pekiştiriniz.

Smith diyagramı Negatif bölgeyi de kapsar.

Gevrek malzemelerin bası mukavemeti , çeki mukavemetinden şiddetçe daha büyük olduğundan diyagramın negatif kısmı daha büyük çıkar.

Şekil 12.17

Şekil 12.16.a

Şekil 12.16.b

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

19

23.08.2024

Orijinal Smith diyagramını çizmek için farklı S_m değerlerine ait S-N eğrilerinin luzumlu olduğunu anlattık. Bu S-N eğrilerini elde etmek için zaman , emek ve maliyet açısından oldukça külfetli bir deneysel çalışma içine girmemiz gerekebilir. Orijinal Smith diyagramı yerine sadece S_e ve S_akma değerleriyle çizilebilen Modifiye edilmiş Smith diyagramları mühendislik alanında sıklıkla kullanılmakta ve doğru çözümler vermektedir ki, bu durumda sadece S_m=0 için yorulma testleri yapmak yeterli olmaktadır.

12.10.2 Modifiye Smith Diyagramı ve emniyet katsayıs (n)

Modifiye Smith diyagramı şu adımlarla çizilir:

1-) S_m=0 için farklı S_a genliklerinde yorulma deneyleri yapılır ve

S-N eğrisi elde edilir. Yorulma sınırındaki S_a0 genliği eğri

üzerinden okunur ki bu S_e (endurence stress) değerine eşittir.

4-) S_e değerinden 40⁰ lik bir açıyla çizilen doğru ile S_akma dan

yataya paralel çizilen doğrunun kesim noktası c tespit edilir.

5-) c den çizilen yatay ve düşey çizgilerin 45⁰ lik doğruyu kestiği

d, e, f noktaları, ce = ef olacak şekilde tespit edilir.

6-) Sırasıyla, S_e ,c, d, f, -S_e noktaları doğrularla birleştirilerek

Modifiye Smith diyagramı elde edilmiş olur.

7-) Bir emniyet katsayısı (n) sözkonusu ise S_e/n ve S_akma/n noktaları kullanılarak benzer çizimle daha emniyetli içteki diyagram elde edilir.

Modifiye Smith Diyagramı (n=1)

Orijinal Smith Diyagramı

Daha emniyetli Modifiye Smith Diyagramı (n>1)

c

d

e

f

Şekil 12.18

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

40⁰

20

23.08.2024

12.10.3 Farklı Yorulma Kriterleri ve Sınır Diyagramları:

Yorulma mukavemet hesapları için farklı yorulma kriterleri de geliştirilmiştir. Bu kriterlere ait 1.tip yorulma mukavemet sınır diyagramlarının pozitif bölgeleri Şekil 12.19 da gösterilmiştir. Şekil 12.20 de gösterilen 2.tip sınır diyagramları ise 1.Tip diyagramlardan türetilmiştir. Orijinal Smith diyagramı için çok sayıda yorulma testi gerekirken, diğer diyagramlarda ise (S_e değerini belirlemek amacıyla) sadece S_m =0 için yorulma testlerinin yapılması yeterli olmaktadır. S_kopma (=S_B) ve S_akma değerleri ise literatürden alınır veya çeki/bası testleriyle bulunur. Bir kriterin diyagramına ait eğrinin (veya doğrunun) dışına taşılmaması, o kritere göre yorulma açısından emniyetli bölgede kalınması ve sonsuz ömüre sahip olunması anlamına gelir. Alltaki grafikleri dikkatlice inceleyerek, kriterleri ve tüm kavramları anlamaya çalışınız.

Şekil 12.20 –2.Tip- Sınır Diyagramları

(12.6)

(12.7.a)

(12.7.b)

(12.8.a)

(12.8.b)

Soderberg Kriteri

1.Tipte S_ed ve -S_ed doğrularından oluşturulur.

Goodman ve Modifiye Goodman Kriteleri

Goodman 1.Tipte S_eh ve –S_eh doğrularından oluşturulur. .

Modifiye Goodman da ise üstte kalan S_eh doğrusu, S_akmad doğrusunun kesim noktası olan i noktasında bitirilir.

ik = k j olacak şekilde j noktası belirlenir.Sırasıyla S_e, i, d, j ,-S_e noktaları doğrularla birleştirilerek Modifiye Goodman diyagramı elde edilir.

Gerber Kriteri

• Her iki tip için tüm eğriler n=1 için çizilmiştir.
• Smith diyagramlarının çizimi daha önce anlatılmıştı.
• Smith diyagramlarına ait bir denklem yoktur.

n: emniyet katsayısı

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

S_e ve S_B değerlerinin bilinmesiyle 12.6 denklemine uygun şekilde çizilir.

21

23.08.2024

• Şekil 12.19 ve 12.20 deki 2 diyagram incelendiğinde;
• Goodman, Gerber ve Orijinal Smith Kriterlerinin akmayı yani plastik deformasyonu dikkate almadığını görürüz. Yani tekrarlı yükleme sonucunda hesaplanan ömür, çatlak oluşması anındaki tekrar sayısı olup bu tekrara kadar plastik deformasyon olması bu kriterler için önemli değildir. Üst sınır bu sebeple kopma gerilmesi (S_B) dır.
• Modifiye Smith, Modifiye Goodman, Soderberg kriterleri ise plastik deformasyon oluşma anını da yorulma ömrü hesabında dikkate alır. Bir başka ifadeyle tekrarlı yükleme sırasından daha çatlak oluşmadan, akma oluşursa o noktada hasar oluşmuş kabul edilir. Bu sebeple grafiklerde bu kriterlerin üst sınırı akma gerilmesi (S_-akma) dir.

12.10.4 Yorulma kriterleri için plastik deformasyonun önemi

• Smith, Goodman ve Gerber kriterleri tüm malzeme tipleri için kullanılabilmesine rağmen,
• Goodman gevrek malzemeler, Gerber ise sünek malzemeler için daha iyi bir tercih olmaktadır.
• Soderberg ise düşük sünekli (plastik bölgesi dar olan) malzemeler için kullanışlıdır.

12.10.5 Hangi Malzeme Tipi hangi yorulma kriteri tercih edilmelidir?

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

22

23.08.2024

• Yandaki diyagramı iyice inceleyerek hangi bölgede hangi sebeple hasar oluştuğunu, hangi bölgelerde hiç hasar oluşmayacağını anlamaya çalışınız.

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

Şekil 12.20

23

23.08.2024

Toplam düzeltme faktörü k = k_a.k_b.k_c.k_d.k_e

k_a: (imalat yöntemine bağlı) yüzey faktörü

k_b : (geometriye bağlı ) boyut faktörü

k_c : (zorlanma şekline bağlı) yük faktörü

k_d : (işletim sıcaklığına bağlı) sıcaklık faktörü

k_e: gerilme yığılması faktörü =1/K_f

(K_f yorulma için gerilme yığılması faktörü.)

12.10.6 Düzeltme Faktörleri

Sm = 0 için

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

24

23.08.2024

Örnek 12.4

Çözüm:

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

Bir çelik çubuğa eksenel yönde, grafiği aşağıda verilen değişken bir P kuvveti etki ediyor. çubuğun emniyetli kesitini,

a-) Modifiye Smith,

b-) Gerber

kriterlerine göre belirleyiniz.

P-t diyagramından:

Gerilme sınır değerleri:

Ortalama Gerilme:

n=3

Modifiye Smith Diyagramı

25

23.08.2024

Çözüm:

Emniyetli kesit alanı:

Ob doğrusunun eğimi:

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

b

n=3

Modifiye Smith Diyagramı

Bu yükleme durumu için sonsuz ömür sınır noktası b noktası olsun. b noktasında olmamızı sağlayacak, n=1 için kritik kesit değerine karşılık gelen A kesit değerini önce bulacağız.

26

23.08.2024

b-) Gerber kriterine göre çözüm:

Verilen yükleme durumu için eğri üzerinde bulunduğumuz nokta h olsun. Bu h noktası için :

45⁰

h

n=1 için çizilmiş Gerber eğrisi şekildeki gibidir.

Gerilme genliği:

Ortalama Gerilme:

Gerber Denkleminde yerine koyarsak:

(n=1 için)

Bu 2.derece denklemin çözümünden:

Emniyetli kesit alanı:

• Görüldüğü gibi çözüm için Gerber eğrisini mutlaka çizmemiz gerekmez, eğri denklemini ve sınırlarını bilmemiz yeterlidir.
• Bu ve diğer kriterlerin sınır eğrilerinin sonsuz ömür sınırları olduğu, eğrilerin altında kalınırsa emniyetli bölgede kalınacağı, eğrilerin üstüne taşılırsa sonlu ömür ve yorulma çatlağının oluşacağı daima aklımızda olmalıdır ki çözüm mantığından bir kopma yaşamayalım.

Gerber eğrisi

Son denklemi düzenlersek:

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

27

23.08.2024

Örnek 12.5

Bir koltuk değneğinin zemine temas eden içi dolu silindirik ayak bölgesinin emniyetli çap değerini Goodman ve Soderberg kriterlerine göre belirleyiniz. Koltuk değneğinin 100kg lık bir insanı emniyet sınırları içinde taşıyabilmesi gerekir.

S_akma = 120MPa,

S_e = 60MPa,

S_m’ =110MPa , S_kopma=S_B=220MPa, Emniyet katsayısı n=2,

g=10m/s²

​

Goodman kriterine göre

Çözüm:

Koltuk değneği havaya kalktığında (yerle teması kesildiğinde)üzerine yük gelmez:

Tek koltuk değneği yerle temas edince vücut yükünün yarısını taşır:

Ortalama gerilme (mean stress):

Gerinme genliği (Alternating stress):

Soderberg kriterine göre

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

28

23.08.2024

Örnek 12.6: A ucundan ankastre olan düşük sünekli malzemeden imal edilmiş AB miline, BC kolunun C noktasından, zamanla değişimi alttaki grafikte gösterilen düşey P kuvveti uygulanacaktır. Buna göre milin yorulma açısından emniyet kontrolünü yapınız.

P kuvveti sebebiyle eğilme ve burulma aynı anda söz konusudur. P kuvvetini B noktasına T burulma momenti ile birlikte taşırız. Eğilme + Burulma oluştuğunu görürüz.

Eğilme

Çözüm:

T_A=P.L₂

M_z-A=-P.L₁

T=P.L₂

x

M_z

T

x

Burulma

S_kopma=S_B=360MPa, S_akma =240MPa,

S_e = 80MPa,

L₁ =50cm,

L₂ 40cm, d=6cm

Eğilmeli Burulma

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

Kesit Simetrik olduğu için ρ_c = ρ_b = d/2 ve y_c = -y_b = d/2 dir ve dolayısıyla her iki noktada da gerilmeler şiddet olarak eşit çıkar. O halde sadece c noktasını yorulma açısından incelememiz yeterlidir.

Herbir yükleme için bir andaki moment diyagramlarını incelersek en kritik kesitin ankastre A kesiti ; en kritik noktaların normal ve kayma gerilmelerinin şiddetçe en yüksek değerde olduğu en üst ve en alt (c ve b) noktaları olduğu anlaşılır..

29

23.08.2024

c noktasına x-z düzleminden bakarsak, düzlem gerilme durumu olduğunu görürüz:

c noktasında zamanla oluşan gerilmelerin sınır değerlerini bulalım:

(I) nolu denklemden normal gerilme sınır değerleri:

(II) nolu denklemden kayma gerilmesi sınır değerleri:

Değişken kuvvetin sınır değerleri soruda verilen grafikten okunur:

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

30

23.08.2024

c noktasında bileşik gerilme durumu söz konusudur. Çelik sünek bir malzeme olduğu için statik yüklemelerde kullandığımız Von-Mises akma kriterini yorulma hesaplarında da kullanabiliriz.(Gevrek malzemelerde ise asal gerilmeleri ve özellikle maksimum asal gerilmeyi kullanmak daha doğrudur.)

(Muk. I - 7.2.a denkleminden)

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

Şimdi c noktasında yorulma olup olmayacağını uygun bir kritere göre kontrol edeceğiz.

Malzeme düşük sünekli olduğu için, Soderberg kriterine göre yorulma kontrolü yapmak daha doğru bir yaklaşımdır…>>

31

23.08.2024

Soderberg’e göre c noktası için yorulma kontrolü

Gerilme genliği (Alternating stress):

45⁰

P kuvveti sebebiyle c noktasındaki mevcut gerilmeler:

Gerilme genliği(Alternating stress) :

Maximum Gerilme:

Minimum Gerilme:

c

.

Soderberg

Soderberg:

c

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

Bu iki gerilme belli olduğu için,

c noktasının yeri diyagramlarda belirlenir ve işaretlenir..>>

Yorulma kontrolü için c kritik noktasının diyagramlardaki yerini belirlemeliyiz.

c noktasını yorulma sınırına çıkaracak sınır gerilmeler ayrıca hesaplanabilir:

Ortalama gerilme (mean stress):

Dikkat edilirse c noktası sınır doğrularının içinde kalmaktadır.

Bu sebeple c noktasında yorulma oluşmaz sonucuna varırız.

*Yorulma kontrolü için bu iki diyagramdan birisi yeterlidir.

Veya 2.tip diyagramı çizebiliriz.

32

23.08.2024

Şekilde görülen yük kaldırma makinasında dişliler arasındaki temas kuvveti 4kN olarak hesaplanmıştır. Buna göre motora bağlı milin yarıçapı r=4cm seçilmesinin sistemin emniyeti açısından yeterli olup olmayacağını ve emniyetli çıkarsa, Soderberg kriterine göre emniyet katsayısını hesaplayınız. (Motora bağlı dişlinin yarıçapı R=20cm, küçük mil uzunluğu L=0.6m)

Mil malzemeleri için:

• Deneysel yorulma mukavemet genliği: Se’ =60MPa
• Toplam düzeltme faktörü k: 0.9,
• Akma Mukavemeti S_akma =330MPa

Cevap:

MUKAVEMET - Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Yorulma (Tekrarlı Yüklemeler)

(Çözümü için Video 12.c ‘ye bakınız)

Örnek 12.7