Вероятность на ЕГЭ
Жукова ЮН, учитель математики
«МОУ СОШ №64 им. Б. Ручьева»
Г. Магнитогорска
В курсе алгебры с 2004 года
Выделен в отдельное преподавание – 2023 год
Курс «Вероятность и статистика»
Цель курса - показать обучающимся, как и какими математическими понятиями и простейшими моделями описывается окружающий нас изменчивый мир
(из методического пособия для учителя «Реализация требований ФГОС среднего общего образования»)
Практические задачи, решаемые теорией вероятностей
Блез Паскаль (1623 – 1662) создатель теории вероятностей
Программы по теории вероятностей и статистике
Спецификация
контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ Базовый уровень
НЕТ ИЗМЕНЕНИЙ
ЕГЭ базового уровня
2024
5. В чемпионате по прыжкам в воду участвуют 35 спортсменов: 7 из России, 12 из Китая, 9 из Японии и 7 из США. Порядок, в котором выступают спортсмены, определяется жребием. Найдите вероятность того, что спортсмен, выступающий первым, окажется из России.
ИЛИ
Из каждых 100 лампочек, поступающих в продажу, в среднем 3 неисправны. Какова вероятность того, что случайно выбранная в магазине лампочка окажется исправной?
2025
5. Научная конференция проводится в 4 дня. Всего запланировано 60 докладов: первые два дня — по 12 докладов, остальные распределены поровну между третьим и четвёртым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется случайным образом. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
ИЛИ
Фабрика выпускает сумки. В среднем из 125 сумок, поступивших в продажу, 5 сумок имеют скрытый дефект. Найдите вероятность того, что случайно выбранная сумка окажется без дефекта.
Спецификация
контрольных измерительных материалов для проведения в 2025 году единого государственного экзамена по МАТЕМАТИКЕ Профильный уровень
НЕТ ИЗМЕНЕНИЙ
ЕГЭ профильного уровня
2024
4. В сборнике билетов по биологии всего 25 билетов. Только в двух билетах встречается вопрос о грибах. На экзамене выпускнику достаётся один случайно выбранный билет из этого сборника. Найдите вероятность того, что в этом билете будет вопрос о грибах.
ИЛИ
Вероятность того, что мотор холодильника прослужит более 1 года, равна 0,8, а вероятность того, что он прослужит более 2 лет, равна 0,6. Какова вероятность того, что мотор прослужит более 1 года, но не более 2 лет?
2025
4. В группе туристов 20 человек. С помощью жребия они выбирают семь человек, которые должны идти в село в магазин за продуктами. Какова вероятность того, что турист Д., входящий в состав группы, пойдёт в магазин?
ИЛИ
Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 20 пассажиров, равна 0,94. Вероятность того, что окажется меньше 15 пассажиров, равна 0,56. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 15 до 19 включительно.
Классическое определение вероятности
Классическое определение вероятности
Несовместные события
Несовместные события
ЕГЭ профильного уровня
2024
5. Симметричную игральную кость бросили 3 раза. Известно, что в сумме выпало 6 очков. Какова вероятность события «хотя бы раз выпало 3 очка»?
ИЛИ
В городе 48% взрослого населения – мужчины. Пенсионеры составляют 12,6% взрослого населения, причём доля пенсионеров среди женщин равна 15%. Для социологического опроса выбран случайным образом мужчина, проживающий в этом городе. Найдите вероятность события «выбранный мужчина является пенсионером».
2025
5. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0,2. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит?
ИЛИ
В коробке 5 синих, 9 красных и 11 зелёных фломастеров. Случайным образом выбирают два фломастера. Найдите вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный фломастеры.
Полная вероятность
Независимые события
Условная вероятность
Условная вероятность
Основы теории вероятностей
Вероятностное пространство или пространство исходов – конечное множество, элементы которого описывают все возможные события, которые могут произойти.
Шаги решения вероятностных задач:
Основы теории вероятностей
Пример
Подбросили два правильных игральных кубика. Найдите вероятность события «сумма выпавших очков равна 9»
Можно ли считать А = {2, 3, 4, …, 12} вероятностным пространством?
События множества А не являются равновероятными и сумма очков на кубиках не является элементарным событием.
Пример
Подбросили два правильных игральных кубика. Найдите вероятность события «сумма выпавших очков равна 9»
Основные понятия и формулы
P(A) + P(A) = 1
Основные понятия и формулы
Основные понятия и формулы
Основные понятия и формулы
Основные понятия и формулы
Правила и приёмы решения задач
Пример
В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.
Пример
В случайном эксперименте симметричную монету бросают 4 раза. Найдите вероятность того, что решка выпадет ровно два раза.
Правила и приёмы решения задач
Пример
При двукратном бросании игральной кости в сумме выпало 8 очков. Какова вероятность того, что хотя бы раз выпало 4 очка?
+
+
+
+
+
+
Условная вероятность
Правила и приёмы решения задач
Пример:
Вероятность того, что турист посетит ГЛЦ «Банное», равна 0,8, а вероятность посещения театра им. Пушкина равна 0,55. На ГЛЦ и в театр турист попадёт в один и тот же день с вероятностью 0,42. Найдите вероятность того, что турист посетит горнолыжный центр или театр.
Модели для решения задач
Задачи на совместные и несовместные события, решаемые с помощью кругов Эйлера
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня:
а) кофе закончится хотя бы в одном автомате;
Задачи на совместные и несовместные события, решаемые с помощью кругов Эйлера
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня:
а) кофе закончится хотя бы в одном автомате;
б) кофе останется в обоих автоматах;
Задачи на совместные и несовместные события, решаемые с помощью кругов Эйлера
В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна 0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна 0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня:
а) кофе закончится хотя бы в одном автомате;
б) кофе останется в обоих автоматах;
в) закончится ровно в одном из автоматов.
Материалы. Диаграмма Эйлера – Венна
Тренажёр «Операции над событиями» https://urok.1c.ru/share/task/b097be6767b95bdd9398902ed94bc559/
Материалы. Диаграмма Эйлера – Венна
Материалы ЛМШ-2023. Страничка Кулиш Т.О.
https://sites.google.com/view/matematika-lmsch/библиотечка-лмш/страничка-татьяны-олеговны?authuser=0
1. Вероятность того, что в случайный момент времени температура тела здорового человека окажется ниже чем 36,7 °С, равна 0,98. Найдите вероятность того, что в случайный момент времени у здорового человека температура окажется 36,7 °С или выше.
0,02
Задачи на несовместные события, решаемые с помощью числовой оси
Задачи на несовместные события, решаемые с помощью числовой оси
2. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,97. Вероятность того, что окажется меньше 6 пассажиров, равна 0,96. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 6 до 29.
Задачи на несовместные события, решаемые с помощью числовой оси
2. Из районного центра в деревню ежедневно ходит автобус. Вероятность того, что в понедельник в автобусе окажется меньше 30 пассажиров, равна 0,97. Вероятность того, что окажется меньше 6 пассажиров, равна 0,96. Найдите вероятность того, что число пассажиров будет от 6 до 29.
0,96
0,97
Задачи на несовместные события, решаемые с помощью числовой оси
3. Вероятность того, что на тестировании по биологии учащийся О. верно решит больше 9 задач, равна 0,71. Вероятность того, что О. верно решит больше 8 задач, равна 0,98. Найдите вероятность того, что О. верно решит ровно 9 задач.
Задачи на несовместные события, решаемые с помощью числовой оси
4. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,89. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,81. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Задачи на несовместные события, решаемые с помощью числовой оси
4. При выпечке хлеба производится контрольное взвешивание свежей буханки. Известно, что вероятность того, что масса окажется меньше 810 г, равна 0,89. Вероятность того, что масса окажется больше 790 г, равна 0,81. Найдите вероятность того, что масса буханки больше 790 г, но меньше 810 г.
Независимые события
1. Стрелок стреляет по 4 одинаковым мишеням по одному разу, вероятность промаха 0,2. Найдите вероятность что он попадёт в первые 3 мишени, а в последнюю промахнется.
Независимые события
1. Стрелок стреляет по 4 одинаковым мишеням по одному разу, вероятность промаха 0,2. Найдите вероятность что он попадёт в первые 3 мишени, а в последнюю промахнется.
Независимые события
2. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0.6. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Независимые события
2. Помещение освещается тремя лампами. Вероятность перегорания каждой лампы в течение года равна 0.6. Лампы перегорают независимо друг от друга. Найдите вероятность того, что в течение года хотя бы одна лампа не перегорит.
Материалы. Задачи базового уровня
КВЕСТ В СТИЛЕ ХОРРОР �«УЖАС ИЛИ ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И СТАТИСТИКА!»
По заданиям базового уровня
Материалы. Задачи базового уровня
Решение задач с помощью дерева возможных вариантов. Полная вероятность
1. Имеется две упаковки гелевых ручек синего и черного цвета, по 50 штук в каждой. В первой упаковке пять ручек синего цвета, во второй упаковке десять ручек синего цвета. Какова вероятность, что из наудачу взятой коробки будет наудачу извлечена ручка синего цвета?
Решение задач с помощью дерева возможных вариантов. Полная вероятность
1. Имеется две упаковки гелевых ручек синего и черного цвета, по 50 штук в каждой. В первой упаковке пять ручек синего цвета, во второй упаковке десять ручек синего цвета. Какова вероятность, что из наудачу взятой коробки будет наудачу извлечена ручка синего цвета?
Формула полной вероятности
Полная вероятность
2. В коробке 6 синих, 13 красных и 6 зелёных карандаша. Случайным образом выбирают два карандаша. Какова вероятность того, что окажутся выбраны один синий и один красный карандаш?
Полная вероятность
Условная вероятность
Полная вероятность
3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
0,99
0,06
0,01
0,96
0,04
0,94
Полная вероятность
0,99
0,06
0,01
0,96
0,04
0,94
3. Автоматическая линия изготавливает батарейки. Вероятность того, что готовая батарейка неисправна, равна 0,01. Перед упаковкой каждая батарейка проходит систему контроля качества. Вероятность того, что система забракует неисправную батарейку, равна 0,96. Вероятность того, что система по ошибке забракует исправную батарейку, равна 0,06.
Найдите вероятность того, что случайно выбранная изготовленная батарейка будет забракована системой контроля.
Условная вероятность. Формула Байеса
Ночью таксист совершил наезд на пешехода и скрылся с места происшествия. Известно, что:
- в городе работают две компании такси – «Белая» и «Жёлтая»;
- 85% городских такси из «Белой» компании, а 15% – из «Жёлтой»;
- свидетель опознал такси как «Жёлтое»;
- эксперты установили, что свидетель в ночных условиях правильно опознает каждый из двух цветов в 80% случаев и неправильно – в 20% случаев.
Какова вероятность того, что такси, совершившее наезд, действительно было «Жёлтым»? Стоит ли спешить с выводами?
авт. Трушин Б https://youtu.be/UfeAMEav_Dc?si=385bdIDV2HlLfri8
Условная вероятность. Формула Байеса
Ночью таксист совершил наезд на пешехода и скрылся с места происшествия. Известно, что:
- в городе работают две компании такси – «Белая» и «Жёлтая»;
- 85% городских такси из «Белой» компании, а 15% – из «Жёлтой»;
- свидетель опознал такси как «Жёлтое»;
- эксперты установили, что свидетель в ночных условиях правильно опознает каждый из двух цветов в 80% случаев и неправильно – в 20% случаев.
Какова вероятность того, что такси, совершившее наезд, действительно было «Жёлтым»? Стоит ли спешить с выводами?
Ночью таксист совершил наезд на пешехода и скрылся с места происшествия. Известно, что:
- в городе работают две компании такси – «Белая» и «Жёлтая»;
- 85% городских такси из «Белой» компании, а 15% – из «Жёлтой»;
- свидетель опознал такси как «Жёлтое»;
- эксперты установили, что свидетель в ночных условиях правильно опознает каждый из двух цветов в 80% случаев и неправильно – в 20% случаев.
Какова вероятность того, что такси, совершившее наезд, действительно было «Жёлтым»? Стоит ли спешить с выводами?
Условная вероятность
Полная вероятность
Условная вероятность. Формула Байеса
Формула Байеса
«Я не боюсь того, кто решает 10000 разных задач. Я боюсь того, кто решает одну задачу 10000 способов" Брюс Ли
Ночью таксист совершил наезд на пешехода и скрылся с места происшествия. Известно, что:
- в городе работают две компании такси – «Белая» и «Жёлтая»;
- 85% городских такси из «Белой» компании, а 15% – из «Жёлтой»;
- свидетель опознал такси как «Жёлтое»;
- эксперты установили, что свидетель в ночных условиях правильно опознает каждый из двух цветов в 80% случаев и неправильно – в 20% случаев.
Какова вероятность того, что такси, совершившее наезд, действительно было «Жёлтым»? Стоит ли спешить с выводами?
Условная вероятность. Формула Байеса
Испытания до первого успеха
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле.
Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,83?
Испытания до первого успеха
Стрелок в тире стреляет по мишени до тех пор, пока не поразит её. Известно, что он попадает в цель с вероятностью 0,4 при каждом отдельном выстреле.
Какое наименьшее количество патронов нужно дать стрелку, чтобы он поразил цель с вероятностью не меньше 0,83?
Формула Бернулли
Что вероятнее: выиграть одну партию из трех или две из пяти, если играют равносильные соперники и ничьи невозможны?
Тренажёр. Формула Бернулли
Инструкция по созданию карточек по ТВиС https://rutube.ru/video/bd30d4c3b2ec6006256ec1164cddc314/?r=wd
Материалы по предмету
Материалы. Задачи повышенной сложности
Правила комбинаторики
Вероятность на ЕГЭ
Жукова ЮН, учитель математики
«МОУ СОШ №64 им. Б. Ручьева»
Г. Магнитогорска