1

23.08.2024

9. Kirişlerin Çökmesi

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

(Elastik Eğri, Eğim ve Sehim Hesaplamaları)

9.2 İntegrasyon Metodu

(Video 9.1)

(Video 9.2)

2

23.08.2024

9.2 Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesapları

Basit Eğilmeye maruz bir kirişte:

• Eğilme sonucunda çubuğun şekli C merkezli, r yarıçaplı bir yay formu alır.
• DE: Tarafsız düzlem üzerindeki liftir. Boyu değişmez. Bu durumda DE = D’E’
• JK : tarafsız düzlemden y kadar uzaklıktaki liftir. Son boyu J’K’ dür.
• Tüm liflerin İlk boylar eşittir. JK = DE

JK lifi için hesaplamalar;

son boy:

Toplam uzama :

Birim elastik uzama :

Elastik bölgede normal gerilme:

Bu metod, kirişteki eğim ve sehim için x’e bağlı genel denklemler elde etmemizi sağlar.

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

(9.2.1)

9.2.1 Hatırlatma

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

J-K lifi

(b)

(a)

(c)

(d)

Şekil 9.2.1

3

23.08.2024

y

x

ds

M

N

A

B

v

r

r

dθ

θ

Elastik eğri

x

dx

Orijinal kiriş ekseni

MN = ds = rdθ

9.2.2.1 Küçük Şekil Değiştirmeler

ds ≈ dx

ve

9.2.2.2 Büyük Şekil Değiştirmelerde Durum:

θ açısı çok küçük olduğunda:

alınabilir.

elastik eğri denklemi:

Herhangi bir f(x) fonksiyonu için biliyoruz ki:

(9.2.2.a)

(9.2.2.b)

Küçük şekil değiştirmeler için

elastik eğri denklemi:

Büyük şekil değiştirmeler için

(9.2.2a) ve (9.2.2b) denklemleri elastik bölge ve basit eğilme durumları için geçerlidir. Aksi söylenmedikçe problemler küçük şekil değiştirmeler için çözülür.

9.2.2 Elastik Eğri Denklemleri:

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.2

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

4

23.08.2024

teğet

Elastik eğri

Orijinal kiriş ekseni

y

x

P₁

P₂

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.3

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

5

23.08.2024

(I)

2nci kez integral alırsak:

Küçük şekil değiştirmeler için :

(elastik eğri denklemi):

(I) nolu eşitliğin her iki tarafının integrali alırsak:

(9.2.3.a)

(9.2.3.b)

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.4

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

6

23.08.2024

Örnek 9.2.1

Orta noktasından tekil düşey P yüküne maruz kirişte,

a-) A-C kısmının Sehim ve Eğim Denklemlerini çıkarınız.

b-) A ve C noktalarının eğim ve çökmesini bulunuz.

Çözüm:

Simetriden dolayı A ve B mesnetlerinde düşey P/2 reaksiyon kuvvetleri ortaya çıkar. Eğilme açısından kirişi 2 bölgeye ayırabiliriz.

I-I kesim:

1. integral:

2. integral:

Sınır şartlarından integral sabitlerinin bulunması:

(1)

(2)

• A noktasında mesnetten dolayı çökme (sehim) olmaz:

• Simetriden dolayı C orta noktasının eğimi (teğetin x ekseniyle açısı) sıfırdır:

(1) nolu denklemden:

a-) 1nolu bölgede Küçük şekil değiştirmeler için 9.2.2.a denklemi:

(2) nolu denklemden:

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.5

Şekil 9.2.6

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

Aksi söylenmediği için küçük deformasyon durumu göze alınır.

7

23.08.2024

Eğim denklemi:

c₁ ve c₂ yi (1) ve (2) denklemlerinde yerine koyarsak 1.bölge için :

Sehim (çökme) denklemi :

b-)

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

8

23.08.2024

Örnek 9.2.2

B ucuna tekil moment uygulanan şekildeki kiriş için

1. Eğim ve sehim denklemlerini çıkarınız.
2. eğim ve sehim değerlerinin extrem (sınır) değerlerini hesaplayınız.

E=70 GPa, I=7.5⨯10⁶ mm⁴

Solution:

R_A

R_B

K

I

I

1. integral:

2.integral:

Sınır şartları:

(1)

(2)

A ve B de sehimler (çökmeler) sıfırdır.

A noktası:

B noktası:

(2)nci denklemden:

(2)nci denklemden:

Statik Hesaplamaları

İç Eğilme Momenti Denklemi

a-) Küçük şekil değiştirmeler için 9.2.2.a denklemi:

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.7

Şekil 9.2.8

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

9

23.08.2024

c₁ ve c₂ sabitleri (1), (2) denklemlerinde yerine koyulur ve eğim, sehim değerleri çekilirse:

Ekstrem (maximum veya minimum) değerler için fonksiyonların türevleri sıfıra eşitlenir:

b-)

Minimum sehim:

Minimum eğim için :

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.9

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

10

23.08.2024

Örnek 9.2.3 Şekildeki konsol kiriş için

1. Eğim ve sehim denklemlerini çıkartınız.
2. Maksimum eğim ve sehim değerlerini hesaplayınız.

b=60 mm, L=2 m, h=200 mm, q=200 kN/m, E=100 GPa

Çözüm:

a-)

Önce iç eğilme momenti denklemini bulalım:

Küçük şekil değiştirmeler için 9.2.2.a denklemi:

1. integral:

2.integral:

(1)

(2)

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.10.c

Şekil 9.2.10.b

Şekil 9.2.10.d

Şekil 9.2.10.a

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

11

23.08.2024

Sınır şartları:

Ankastre uçta (A noktasında) eğim ve sehim sıfır olur.

(1) denkleminden:

(2) denkleminden:

(1) :

(2) :

(Eğim denklemi)

B noktasındaki eğim ve sehimin işareti negatif olduğundan aslında minimum değerlerdir. Fakat şiddetçe maksimum değerlere karşılık gelir.

b-)

(Sehim denklemi)

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.11

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları

12

23.08.2024

Soruda verilen değerler yerine koyulursa: (b=60 mm, L=2 m, h=200 mm, q=200 kN/m, E=100 GPa)

Mukavemet II Ders Notları / Prof.Dr. Mehmet Zor

Şekil 9.2.10.b

Kirişlerin Çökmesi (Elastik Eğri) / Analitik Yöntem (İntegrasyon Metodu) ile Eğim ve Sehim Hesaplamaları