Koordinat Polar
1
TKS-102 MATEMATIKA II
1
I. FUNGSI TRANSENDEN
2
2
Pengertian : suatu fungsi yang bukan merupakan fungsi Aljabar.
Jenis-jenis Fungsi Transenden :
a. Fungsi Trigonometri, contoh : y = sin x
b. Fungsi Siklometri, contoh : y = arc sin u
c. Fungsi Eksponensial dan Fungsi Logaritma, contoh :
3
d. Fungsi Hyperbolicus, contoh :
;
II. KOORDINAT POLAR
4
2.1. Posisi Titik pada Sistem Koordinat
Untuk menyatakan posisi suatu titik pada bidang dapat dilakukan dengan dua system :
x
o
x
y
P(x,y)
y
r
5
O = titik polar
Ox = sumbu polar
OP = r = jari-jari polar
θ = sudut polar
θ > 0 berlawanan arah dengan jarum jam
θ < 0 searah dengan jarum jam
x
θ
O
P(r,θ)
x
r
6
2.2. Hubungan Antara Sistem Koordinat Polar dengan
Koordinat Cartesius
x
y
O
P(x,y)
x
y
r
P(r,θ)
θ
Jika nilai r dan θ diketahui, maka :
Cos θ =
x = r cos θ
Sin θ =
y = r sin θ
r dinyatakan dalam satuan panjang
θ dinyatakan dalam radian
Sebaliknya, jika nilai x dan y diketahui, maka koordinat r dan θ dapat dicari menggunakan rumus Phytagoras
dan rumus Siclometri θ = arc tan
.
7
Untuk system koordinat Cartesius, posisi suatu titik hanya dinyatakan dengan satu pasangan terurut (x,y), tetapi dalam system koordinat Polar, suatu titik dapat dinyatakan dengan tak hingga banyaknya pasangan terurut (r, θ+2nπ) dengan n = ±1, ±2, ±3, …
Kadang-kadang r diberi nilai negative atau r < 0, ini dapat diartikan sebagai koordinat polar dari titik berjarak
dari titik O pada sinar dengan sudut polarnya (θ±π).
8
Latihan :
9
2.3. Persamaan dan Grafik
Sistem Koordinat Cartesius
Sistem Koordinat Polar
10
2.4. Hubungan Antara Persamaan pada Sistem
Koordinat Polar dan Persamaan pada Sistem
Koordinat Cartesius
Contoh 1 :
Ubahlah bentuk persamaan x2 + y2 = 25 ke dalam system koordinat Polar.
Penyelesaian :
x = r cos θ; y = r sin θ
x2 + y2 = 25
r2 cos2θ + r2 sin2θ = 25
r2 (cos2θ + sin2θ) = 25
r2 = 25
merupakan bentuk persamaan Polar.
11
Contoh 2 :
Diketahui lengkungan r2 cos2θ = 0
Tentukan persamaan tersebut dalam system koordinat Cartesius.
Penyelesaian :
r2 cos2θ = 0
r2 (cos2θ - sin2θ) = 0
r2 cos2θ - r2 sin2θ = 0
x2 – y2 = 0
Contoh 3 :
Diketahui suatu persamaan lengkungan r2 = 2 sin2θ, tentukan persamaan tersebut dalam system koordinat Cartesius.
12
Penyelesaian :
r2 = 2 sin2θ
r2 . r2 = r2 . 2 sin2θ
r4 = 2 r2 2 sin θ cos θ
r4 = 4 r sin θ. r cos θ
(r2)2 = 4 r sin θ. r cos θ
(r2(cos2θ + sin2θ))2 = 4 r sin θ. r cos θ
(r2 cos2θ + r2 sin2θ)2 = 4 r sin θ. r cos θ
(x2 + y2 )2 = 4 x y
13
Contoh 4 :
Tentukan persamaan Polar dari suatu lingkaran yang berjari-jari b dan berpusat di (b,0)
Penyelesaian :
Cara 1 (menggunakan sketsa grafik)
r bukan jari-jari lingkaran melainkan jarak antara titik O dengan kedudukan titik P yang bergerak sepanjang lingkaran.
Jika P ≠ 0, P titik pada lingkaran, maka dapat diambil P(r,θ) dan –π/2 < θ < π/2
Dengan menggunakan rumus trigonometri, didapat : Cos θ =
r = 2b cos θ
14
Cara 2 (menggunakan rumus Cosinus)
a2 = r2 + (2b)2 – 2 r (2b) cos θ
(2b)2 – r2 = r2 + (2b)2 – 2 r (2b) cos θ
2r2 = 2 r (2b) cos θ
r = 2b cos θ
Cara 3 (menggunakan Koordinat Cartesius)
(x – b)2 + y2 = b2
x2 – 2bx + b2 + y2 = b2
x2 + y2 – 2bx = 0
r2 cos2θ + r2 sin2θ – 2b r cosθ = 0
r2 (cos2θ + sin2θ) – 2b r cosθ = 0
r2 = 2b r cosθ
15
2.5. Membuat Sketsa Grafik pada Sistem Koordinat Polar
Grafik persamaan polar adalah himpunan titik-titik yang mempunyai paling sedikit sepasang koordinat polar yang memenuhi persamaan yang bersangkutan.
Cara menggambarkan grafiknya adalah dengan menyusun daftar nilai-nilai koordinat tersebut, kemudian gambarkan titik-titik dengan koordinat yang bersangkutan dan hubungkan titik-titik tersebut.
16
Contoh :
Gambarkan grafik dari persamaan r = 8 sin θ
Penyelesaian :
θ | 0 | π/6 | π/4 | π/3 | π/2 | 2π/3 | 3π/4 | 5π/6 | π |
sin θ | 0 | | | | 1 | | | | 0 |
R= 8sinθ | 0 | 4 | | | 8 | | | 4 | 0 |
θ | 0 | 7π/6 | 5π/4 | 4π/3 | 3π/2 | 5π/3 | 7π/4 | 11π/6 | 2π |
sin θ | 0 | | | | – 1 | | | | 0 |
R= 8sinθ | 0 | – 4 | | | – 8 | | | – 4 | 0 |
17
Grafik kurva :
18
2.6. Beberapa Bentuk Kurva yang Khusus
19
Grafik Limason : r = (a + b cos θ)
20
Latihan
a. x + y = 0 c. x – 4y + 2 = 0
b. x2 + y2 = 16 d. y2 = 4px
a. r = 2 sin θ c. r sin θ – 4 = 0
b. r cos θ + 6 = 0 d. r2 – 8 r cos θ – 4 r sin θ + 11 = 0
a.
b.
c. r = 4 sin2θ
d.
r = 5 cos 3θ
21
2.7. Persamaan Garis pada Sistem Koordinat Polar
Jika sebuah garis melalui titik pusat (titik polar), maka persamaannya adalah θ = θo, tetapi jika garis tersebut tidak melalui titik pusat, maka garis tersebut mempunyai jarak (misalkan d) dari titik pusat polar (d > 0).
Misalkan sudut antara sumbu polar dengan garis yang tegak lurus L adalah θo. Jika titik P (r, θ) adalah titik pada garis L, maka :
(pers. garis lurus L)
(pers. garis lurus M)
22
23
Contoh :
Tentukan persamaan garis pada system koordinat polar, jika garis tersebut berjarak 4 cm dari pusat dan melalui titik (10, 45o)!
Penyelesaian :
24
Jadi persamaan yang dimaksud adalah :
Atau :
Jadi persamaan yang dimaksud adalah :
25
2.8. Titik Potong Kurva/Grafik Fungsi dalam Sistem
Koordinat Polar
Pada system koordinat Cartesius, titik potong antara dua kurva dapat dicari dengan langsung menyelesaikan persamaan kurva tersebut bersama-sama.
Misalnya : titik potong antara dua kurva y = x2 + 2x – 2 dan y = 2x + 2 dapat dicari dengan :
x2 + 2x – 2 = 2x + 2 => x2 = 4 => x = ± 2
untuk x = 2 => y = 6 => titiknya (2,6)
untuk x = -2 => y = -2 => titiknya ( -2,-2)
26
Tetapi tidak selalu demikian pada system koordinat polar. Hal ini disebabkan titik P (r, θ) dalam system koordinat polar dapat dinyatakan dengan banyak pasangan terurut. Sehingga pasangan yang satu dapat memenuhi persamaan polar yang pertama tetapi tidak memenuhi persamaan polar yang kedua, atau sebaliknya.
27
Contoh :
Lingkaran r = 4 sin θ memotong garis θ = π/6 didua titik A(0, π/6) dan B(2, π/6) tetapi A(0, π/6) tidak memenuhi persamaan r = 4 sin θ, sedangkan B(2, π/6) memenuhi kedua persamaan r = 4 sin θ dan θ = π/6.
Persamaan θ = π/6 tidak dipengaruhi oleh r, artinya berapapun nilai r, akan tetap memenuhi persamaan garis θ = π/6, sehingga A(0, π/6) dan B(2, π/6) memenuhi persamaan garis θ = π/6, sedangkan A(0, π/6) tidak memenuhi persamaan r = 4 sin θ, sebab untuk θ = π/6 diperoleh r = 2, r ≠ 0.
28
Latihan :
Gambarkan grafiknya, tentukan semua titik-titik potong yang terlihat pada grafik yang dibuat dan tentukan titik-titik potong yang memenuhi kedua kurva secara bersamaan pada persamaan-persamaan polar berikut ini :
1. r = 2 – 2 cos θ ; r = 2 cos θ