ESCUELA POLITÉCNICA NACIONAL
MATERIA: Cálculo Vectorial
Carrera: Ing. Petróleos
NOMBRES: Alexis Nagua - Cristhian Gutierrez
CURSO: 2014-R
FECHA: 30/07/2014
TEMA: Cambio de Coordenadas en Integrales Triples
OBJETIVO
El objetivo de esta sección es extender a integrales triples lo que se consideró en la sección para integrales dobles, ahora se deben cambiar las variables x, y, z por las variables u, v, w por ejemplo. Este cambio se realiza mediante una transformación geométrica de R^3 en R^3.
Un cambio de coordenadas cartesianas (x, y, z) a otras coordenadas (u, v, w) es un aplicación biyectiva entre dos recintos D^∗ y D de R^3 dada por:
Entonces la fórmula de cambio de variable para integrales triples queda:
Donde |J| es el valor absoluto del Jacobiano de la función de cambio de coordenadas.
El Jacobiano será un determinante de una matriz de 3x3:
Si queremos hacer un cambio de variables de una integral triple, entonces hacemos los siguiente:
Coordenadas cilíndricas o polares en el espacio (ρ; θ; z)
Las coordenadas cilíndricas consisten en tomar coordenadas polares (ρ; θ) en cada plano horizontal, es decir para cada valor constante de la coordenada z.
En este caso el cambio de variables esta dado por las siguiente ecuaciones:
x = p sin Φ cos θ y = p sinΦ sin θ z = p cos Φ
Mediante el Jacobiano obtenemos lo siguiente:
En donde determinamos que el Jacobiano será
Si hacemos variar 0 < Φ < π entonces sabemos que
sinΦ > 0, por lo que podemos decir que:
Para hacer el cambio de variables entonces utilizaremos lo siguiente:
Ecuaciones de algunas superficies en cartesianas y cilíndricas
- Cilindro de generatrices paralelas al eje z : x^2 + y^2 = k^2, (k constante) , ρ = k.
- Esfera de centro (0; 0; 0) y radio r : x^2 + y^2 + z^2 = r^2 , ρ^2 + z^2 = r^2
- Cono : x^2 + y^2 – k^2z^2 = 0, (k constante) , ρ^2 – k^2z^2 = 0
- Paraboloide: z = k(x2 + y2), (k constante) , z = kρ^2
Coordenadas esféricas en el espacio (ρ; θ ;φ)
Las coordenadas esféricas (ρ; θ ;φ) de un punto del espacio son su módulo ρ y su latitud θ y su altitud φ medidos sobre la esfera de radio ρ.
y entonces
la inversa de este cambio es:
Ecuaciones de algunas superficies en cartesianas y esféricas
Esfera de centro (0; 0; 0) y radio r : x^2 + y^2 + z^2 = r^2 ; ρ = r
Esfera de centro (0; 0; r) y radio r : x^2 + y^2 + z^2 - 2rz = 0 ; ρ = 2r senφ
Cono : x^2 + y^2 – k^2z^2 = 0 (k constante) ; tg(φ) = 1/k
EJERCICIOS
1.- Calcule el volumen del cuerpo limitado por las superficies: z= x^2 + y^2 y z= 2 - x^2 - y^2
2.- Un sólido S está formado por la hoja superior de un cono z^2=x^2 + y^2 y en el plano z=1 determinar la masa del solido S si su densidad esta dada por z= /x^2 + y^2
3.- Encontrar la masa del sólido interior a la esfera de ecuación p=by exterior a la esfera p=a(a<b) si la densidad es proporcional a su distancia de origen.
En donde vemos que p varía de a hacia b: