1 of 55

1

16.07.2026

Mukavemet ve Hasar Analizi

10.

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

 

 

x

y

 

 

z

 

Eşdeğer Hacim

Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla

(Bu bölümü daha iyi anlayabilmek için öncelikle Bölüm 9 konusunu inceleyiniz.)

2 of 55

2

16.07.2026

10.1 Bu bölümde Amaçlarımız; 9.4 bölümünde anlatılan Zor eşdeğer hacminin çeki, bası ve kesme mukavemet sınırlarını belirlemek ve farklı yükleme durumları için gerilme-gerinim hesaplamalarını ve hasar değerlendirmelerini yapmaktır.

1. Zor eşdeğer hacmi olarak isimlendirilen ve elastik özellikleri 9.4 bölümünde teorik olarak tabaka özelliklerinden bulunan hacim, n tane tabakadan oluşan yapıyı mekanik açıdan temsil eder.

2. Tabakaların mukavemet sınırlarının bilindiği kabul edilerek, Zor eşdeğer hacminin mukavemet sınırları teorik olarak bu bölümde hesaplanacaktır.

n tabakalı yapı

Zor Eşdeğer Hacmi

1

i

2

n

z

y

x

 

 

 

 

?

3. Eşdeğer hacmin bir yükleme tipine göre mukavemet sınırını belirlerken, o yükleme için ilk hasara uğrayacak en zayıf tabaka esas alınır. Bu en zayıf tabakayı, kendi mukavemet sınırına getiren eşdeğer gerilme belirlenir. Bu eşdeğer gerilme eşdeğer hacmin mukavemet sınır değeri olarak kabul edilir.

4. Zor yaklaşımında hasar değerlendirmesi yapının eşdeğer hacmi açısından yapılır. Bu şekilde tabakalarda önceden meydana gelebilecek lokal hasarlar yerine, yapının bütüncül olarak hasara uğrayıp uğramadığı belirlenmiş olur. (CLT’de ise hasar değerlendirmesi her bir tabaka için yapılmaktadır.)

10.2 Genel Çerçeve

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

3 of 55

3

16.07.2026

y

x

i

 

 

 

 

 

 

y

x

i

 

 

 

 

 

 

 

1

i

2

n

Fx

z

y

x

k

Fx

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

2

i

n

 

 

 

 

 

 

k

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

4 of 55

4

16.07.2026

 

 

(9.4.14)

(9.4.15)

 

;

y

x

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.1.a)

(10.1.b)

(10.1.c)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

5 of 55

5

16.07.2026

Denklem (9.4.14 ve 9.4.15)’i Denklem (10.1 a-c)’de yerine koyarsak ve düzenlersek;

 

 

 

(10.2.a)

(10.2.b)

(10.2.c)

 

 

 

 

 

Tabaka gerilme katsayıları :

(10.3.a)

(10.3.b)

(10.3.c)

(10.3.d)

(10.3.e)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

6 of 55

6

16.07.2026

 

 

 

Gerilme katsayıları cinsinden (hasardan önce) lokal gerilmeler:

i tabakasının hasara uğradığı anda eşdeğer gerilme:

 

i tabakasının hasarı anında lokal gerilmeler:

 

 

 

(10.4.a)

(10.4.b)

(10.4.c)

(10.5)

(10.6.a)

(10.6.b)

(10.6.c)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

7 of 55

7

16.07.2026

10.3.2 Tabakalara hasar kriterinin uygulanması

 

 

 

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik (Denklem 7.6)’dan :

(10.7.a)

 

 

Hasar anında geçerli olan 10.6 denklemlerindeki lokal gerilmeleri Denklem (10.7.a)’da yerine koyarsak:

(10.7.b)

 

 

(10.7.c)

 

(10.7.d)

i tabakasını hasara uğratacak, x doğrultusundaki eşdeğer normal gerilme:

(i =1,2, …n )

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

8 of 55

8

16.07.2026

 

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik (Denklem 7.7)’den :

 

(10.8.a)

 

 

 

 

 

 

Hasar anında geçerli olan 10.6 denklemlerindeki lokal gerilmeleri Denklem (10.8.a)’da yerine koyarsak:

i tabakasını hasara uğratacak, x doğrultusundaki eşdeğer normal gerilme:

(i =1,2, …n )

 

 

(10.8.b)

(10.8.c)

 

(10.8.d)

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

9 of 55

9

16.07.2026

 

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik (Denklem 7.8)’den :

(10.9)

 

7.9 denklemlerinden katsayılar :

 

 

 

 

 

Per Tsai-Hill hasar kriteri:

Per Hoffman kriteri:

Per Mises-Hencky kriteri:

 

 

 

 

(10.10.a)

(10.10.b)

(10.10.c)

(10.10.d)

(10.11.a)

(10.11.b)

(10.11.c)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

10 of 55

10

16.07.2026

 

 

 

 

(10.13)

 

 

 

 

(10.12)

Hasar anında saf Fx yüklemesinde geçerli olan 10.6 denklemlerindeki lokal gerilmeleri Denklem (10.9)’da yerine koyarsak:

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

11 of 55

11

16.07.2026

 

 

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik (Denklem 7.11)’den :

Hasar anında saf Fx yüklemesinde geçerli olan 10.6 denklemlerindeki lokal gerilmeleri Denklem (10.14)’da yerine koyarsak:

(10.15)

(10.14)

 

 

 

(10.16)

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

12 of 55

12

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

x

i

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.1.a)

(10.1.b)

(10.1.c)

 

 

(10.17.a)

(10.17.b)

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

13 of 55

13

16.07.2026

Denklemler (10.17.a ve 10.17.b)’yi Denklemler (10.1.a-c)’de yerine koyarsak ve düzenlersek;

 

 

 

Tabaka gerilme katsayıları :

(10.18.a)

(10.18.b)

(10.18.c)

(10.19.a)

(10.19.b)

(10.19.c)

 

 

 

 

 

(10.19.d)

(10.19.e)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

14 of 55

14

16.07.2026

 

 

 

Gerilme katsayıları cinsinden (hasardan önce) lokal gerilmeler:

i tabakasının hasara uğradığı anda eşdeğer gerilme:

 

i tabakasının hasarı anında lokal gerilmeler:

 

 

 

(10.20.a)

(10.20.b)

(10.20.c)

(10.21)

(10.22.a)

(10.22.b)

(10.22.c)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

15 of 55

15

16.07.2026

 

10.4.2.a Tsai-Hill Hasar kriterine göre:

10.4.2.b Modifiye Tsai-Hill Hasar kriterine göre:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.24.a)

(10.24.b)

(10.23)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

16 of 55

16

16.07.2026

 

 

 

 

(10.25)

 

 

 

 

Hasar anında saf Fy yüklemesinde geçerli olan 10.22 denklemlerini, kriterin genel hasar durum denklemi (10.9)’da yerine koyarsak:

(10.26)

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

17 of 55

17

16.07.2026

 

 

(10.27)

 

 

 

(10.28)

Hasar anında saf Fy yüklemesinde geçerli olan 10.22 denklemlerini, kriterin genel hasar durum denklemi (10.14)’de yerine koyarsak:

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

 

18 of 55

18

16.07.2026

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

19 of 55

19

16.07.2026

 

 

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

i tabakasını hasara uğratacak global kayma gerilmesi:

 

(10.29)

(10.30)

(10.31)

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

20 of 55

20

16.07.2026

(10.34)

 

 

 

 

 

 

 

(10.32)

(10.33)

 

 

 

6.3 a-c dönüşüm denklemlerinden :

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

21 of 55

21

16.07.2026

 

 

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik :

(10.35)

(10.7.a)

 

 

 

Hasar anında

 

 

 

(10.36)

 

 

Tüm tabakalar için hesap yapıldıktan sonra Denklem (10.29)’dan :

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

22 of 55

22

16.07.2026

 

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik :

 

(10.37)

 

 

 

 

 

 

Hasar anında

 

 

 

 

 

(10.38)

(10.8.a)

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

23 of 55

23

16.07.2026

c-) Tsai-Wu Hasar kriterine göre

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik:

 

(10.9)

 

Saf kesme durumunda

 

 

 

Hasar anında:

 

 

 

 

 

(10.39)

2nci dereceden olan Denklem (10.39) kökleri hesaplanır ve pozitif kök i tabakasının kesme mukavemeti olarak alınır.

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

24 of 55

24

16.07.2026

 

 

Bu kritere göre hasar anında i tabakasında lokal gerilmelerin sağladığı eşitlik :

(10.14)

Saf kesme durumunda

Hasar anında:

 

 

 

(10.40)

2nci dereceden olan Denklem (10.40) kökleri hesaplanır ve pozitif kök i tabakasının kesme mukavemeti olarak alınır.

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

25 of 55

25

16.07.2026

10.8 Zor Eşdeğer Hacminde Gerilme –Gerinim Hesaplamaları:

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

26 of 55

26

16.07.2026

Örnek 10.1

480

480

00

6mm

Fx

x

y

Fy

Fx

Fy

200mm

200mm

Yeni Üretilen 200mm x 200mm x 2mm boyutlarında bir kompozit tabaka için, deneysel ölçümlerle bulunan lokal malzeme özellikleri aşağıdaki tabloda verilmiştir.

(Örnek 8.2 deki yapı, yük ve malzeme özellikleri kullanılmıştır.)

E1

E2

ν12

G12

​

​

​

​

​

(GPa)

(GPa)

 

(GPa)

(MPa)

(MPa)

(MPa)

(MPa)

(MPa)

81

30

0,35

15

101

180

25

50

12

Bu tabakadan 3 tanesi, üst üste sırasıyla 48o/0o/ 48o dizilişiyle yapıştırılarak tabakalı bir yapı oluşturulmuştur.

Tüm yapıya gelen dış kuvvetler: Fx =30kN, Fy=-23kN dur.

Zor Modelini esas alarak

a-) Tüm yapıda hasar oluşup oluşmayacağını Modifiye Tsa—Hill kriterine göre belirleyiniz.

b-) Sonuçları Örnek 8.2’deki CLT sonuçlarıyla karşılaştırınız.

c-) Normali x olan yanal yüzeylerden, mukavemet sınırları içerisinde maksimum ne kadarlı bir toplam eğilme momenti uygulanabileceğini hesaplayınız. (Bu durumda Fx ve Fy kuvvetlerinin uygulanmadığını düşününüz.)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

27 of 55

27

16.07.2026

Çözüm:

2. Adım : Zor Eşdeğer Hacminin Elastik Özelliklerinin Hesaplanması:

Önce her bir tabakanın global eksenlere göre elastik özellikleri bulunur:

 

 

 

Çapraz poisson oranları ise Denklem (9.1)’den hesaplanır:

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

28 of 55

28

16.07.2026

 

(9.4.51) denklemlerinden:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Çapraz poisson oranı Denklem (9.1)’den hesaplanır:

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

29 of 55

29

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

30 of 55

30

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

31 of 55

31

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

32 of 55

32

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

Zor Modelinde saf kayma durumu için Kayma Modülü Voigt tipi hacimsel ortalama ile elde edilir.

 

 

 

Denklem (9.4.33)’den:

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

33 of 55

33

16.07.2026

3. Adım : Zor Eşdeğer Hacminin Mukavemet Sınırları (Modifiye Tsai-Hill Kriterine Göre) Hesaplanır.

a. Tabaka Gerilme katsayıları hesabı:

 

 

(10.3 denklemlerinden)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

34 of 55

34

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.3 denklemlerinden)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

35 of 55

35

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(10.19 denklemlerinden)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

36 of 55

36

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

37 of 55

37

16.07.2026

 

10.8.c denkleminden (i=1 , 3)

 

 

1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer gerilme

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Saf Fx yüklemesinde, 1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer x çeki gerilmesi

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

38 of 55

38

16.07.2026

10.8.c denkleminden (i=2)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Saf Fx yüklemesinde, 2 nolu tabakayı hasara uğratacak eşdeğer x çeki gerilmesi)

 

 

olduğundan Denklem 10.8.d’ye göre eşdeğer hacmin x yönündeki çeki mukavemeti

 

2 nolu tabakayı hasara uğratacak eşdeğer gerilme hesabı

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

39 of 55

39

16.07.2026

 

10.8.c denklemi bası durumu için yazarsak (i=1 , 3)

 

 

1 ve 3 nolu tabakaların hasara uğratacak eşdeğer gerilme:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Saf Fx bası yüklemesinde, 1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer x bası gerilmesi

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

40 of 55

40

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(Saf Fx yüklemesinde, 2 nolu tabakayı hasara uğratacak eşdeğer x bası gerilmesi)

 

 

Denklem 10.8.d’e göre eşdeğer hacmin x yönündeki çeki mukavemeti

 

2 nolu tabakayı hasara uğratacak eşdeğer gerilme:

10.8.c denklemi bası durumu için yazarsak(i=2)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

41 of 55

41

16.07.2026

 

Denklem (10.24)’den (i=1 , 3)

 

 

1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer çeki gerilmesi

 

 

 

 

 

 

 

 

(Saf Fy çeki yüklemesinde, 1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer y çeki gerilmesi)

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

42 of 55

42

16.07.2026

 

 

2 nolu tabakayı hasara uğratacak eşdeğer çeki gerilmesi

 

 

 

 

 

 

 

 

(Saf Fy çeki yüklemesinde, 2. tabakayı hasara uğratacak eşdeğer y çeki gerilmesi)

 

 

olduğundan Denklem 10.8.d ye göre eşdeğer hacmin y yönündeki çeki mukavemeti

 

 

 

Denklem (10.24)’den (i=2)

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

43 of 55

43

16.07.2026

 

 

1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer bası gerilmesi

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.24.b denklemi bası durumu için yazarsak(i=1 , 3)

 

 

 

(Saf Fy bası yüklemesinde, 1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer y bası gerilmesi)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

44 of 55

44

16.07.2026

10.24.b denklemi bası durumu için yazarsak(i=1 , 3)

 

 

2 nolu tabakayı hasara uğratacak eşdeğer bası gerilmesi

 

 

 

 

 

 

 

 

(Saf Fy bası yüklemesinde, 2. tabakayı hasara uğratacak eşdeğer y bası gerilmesi)

olduğundan Denklem 10.22.d ye göre eşdeğer hacmin y yönündeki çeki mukavemeti

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

45 of 55

45

16.07.2026

1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer kayma gerilmesi hesabı

 

 

Denklem (10.38)’den

 

(Saf Fxy altında, 1. ve 3. tabakalarda hasara yol açacak olan tabakalardaki global kayma gerilmesi)

 

Denklem (10.31) den:

 

 

1 ve 3 nolu tabakaları hasara uğratacak eşdeğer hacimdeki global kayma gerilmesi:

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

46 of 55

46

16.07.2026

2 nolu tabakayı hasara uğratacak eşdeğer kesme gerilmesi

 

 

Denklem (10.38)’den

 

(Saf Fxy altında, 2. tabakada hasara yol açacak olan tabakadaki global kayma gerilmesi)

 

 

 

Denklem (10.31) den:

 

 

2 nolu tabakayı hasara uğratacak global eşdeğer kayma gerilmesi:

 

 

Denklem (10.29) dan:

Tüm yapının (eşdeğer hacmin) kesme mukavemeti

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

47 of 55

47

16.07.2026

4.Adım - Eşdeğer Hacimdeki Gerilmelerin Hesaplanması

6mm

 

x

y

 

 

 

200mm

200mm

 

 

200mm

 

 

6mm

200mm

x

y

Tabakalı yapı

 

Eşdeğer Hacim ve kuvvetler

 

200mm

 

6mm

200mm

x

y

 

 

Eşdeğer Hacim ve gerilmeler

 

 

 

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

48 of 55

48

16.07.2026

5.Adım - Modifiye Tsai-Hill Kriterinin Eşdeğer Hacimde Hasar Kontrolü:

 

Bu kriterin, ortotropik tek tabaka için hasarsızlık şartı lokal 1-2 eksenlerine göre 7.7 veya 10.8.a denklemlerindeki gibi yazılır. Zor modelinin eşdeğer hacmi global eksenlerde ortotropik karakter gösterir. Dolayısıyla Zor eşdeğer hacmi için bu şart global x-y eksen takımına göre Denklem (10.41) deki gibi uyarlanabilir.

 

 

 

 

 

Paydadaki değerlerin anlamı:

(10.41)

Bu örnek için hesaplanan eşdeğer gerilmeler:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Her durumda:

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

49 of 55

49

16.07.2026

 

 

 

 

6mm

200mm

x

y

 

 

 

200mm

6mm

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

b-) Lokal gerilme sonuçlarını Örnek 8.2 deki CLT sonuçlarıyla karşılaştırabilmek için, Zor Modeli çözümünde de tabakalarda oluşan lokal gerilmeleri hesaplamamız gerekir. Çünkü CLT tabaka bazında sonuçları vermektedir. Fakat şunu da unutmamak gerekir ki, Zor Modelinde mukavemet hesaplamalarında veya hasar kontrollerinde eşdeğer hacim esas alınır ve tabaka gerilme veya gerinimlerine ihtiyaç olmaz. Süperpozisyon prensibine göre dış kuvvetleri sırasıyla uygulayıp, her bir tabakadaki lokal gerilmeleri hesaplayabiliriz.

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

50 of 55

50

16.07.2026

 

Tabakalardaki toplam lokal gerilmeler ve CLT sonuçlarıyla karşılaştırmalar:

 

1 yönündeki lokal normal gerilme :

2 yönündeki lokal normal gerilme :

 

 

1 ve 3 nolu tabakalardaki toplam lokal gerilmeler

1-2 düzlemindeki kayma gerilmesi :

 

 

2 nolu tabakadaki toplam lokal gerilmeler

1 yönündeki lokal normal gerilme :

2 yönündeki lokal normal gerilme :

1-2 düzlemindeki kayma gerilmesi :

 

 

 

 

 

 

CLT

Zor

 

 

 

 

 

 

  • CLT sonuçları Örnek 8.2’ den alınmıştır. Yapının simetrik olması ve moment yüklemesi olmadığından CLT sonuçları bir tabaka için tüm noktalarda aynı çıkar (z koordinatından bağımsızdır).
  • Zor Modeli ve CLT sonuçları, birbirlerine çok yakın değerlerde çıkmaktadır. Bu durum en çok, örnekteki yapının simetrik olması ve dolayısıyla poisson etkileşimlerinin düşük seviyede kalmasından kaynaklanır. Asimetrik dizilimlerde poisson etkileşimleri daha fazla olmasından yöntemler arası sonuç farkları biraz daha belirginleşir. Fakat Zor Modeli ve CLT nin farklı yaklaşımlar olduğu unutulmamalıdır. Örnek 9.2 de asimetrik bir dizilim için CLT ve Zor Modeli sonuçları ayrıca karşılaştırılmıştır.

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

51 of 55

51

16.07.2026

 

200mm

6mm

200mm

x

y

z

h

b

 

 

 

x

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Hasar anında:

 

Hasardan önce :

 

 

 

 

(tüm yapıyı mukavemet sınırına taşıyacak toplam eğilme momenti)

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

52 of 55

52

16.07.2026

Örnek 10.2-)

 

x

y

 

 

 

 

 

 

 

 

200mm

200mm

6mm

 

 

 

 

 

 

Çözüm)

Eşdeğer Hacimde ortaya çıkan gerilmeler

 

 

200mm

 

 

6mm

200mm

x

y

 

 

 

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

53 of 55

53

16.07.2026

Eşdeğer Hacim rijitlik matrisi hesabı:

 

(Denklem 9.4.50):

 

 

 

 

Örnek 10.1 de hesaplanan malzeme özellikleri matriste yerine konulur:

Gevşeklik matrisi:

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

54 of 55

54

16.07.2026

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Eşdeğer hacimde oluşan gerinimler:

Eşdeğer hacimde oluşan toplam uzama/kısalma:

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor

55 of 55

55

16.07.2026

 

 

200mm

 

 

6mm

200mm

x

y

 

 

 

z

b

h

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Denklem (10.41)’den

 

 

Hasar oluşur

 

b-)

 

10. Tabakalı Yapılarda Zor Modeli Yaklaşımıyla Mukavemet ve Hasar Analizi

Kompozit Malzeme Mekaniği – Ders Notları / Prof. Dr. Mehmet Zor