ในปัจจุบันคนวัยทำงานส่วนใหญ่จะตั้งเป้าหมายในชีวิต เช่น ซื้อบ้าน ซื้อคอนโดมิเนียม หรือซื้อรถยนต์เป็นของตนเอง ซึ่งการซื้อสิ่งเหล่านี้จำเป็นต้องใช้เงินจำนวนมาก บางคนอาจเลือกที่จะออมเงินไว้ส่วนหนึ่งและกู้เงินกับธนาคารอีกส่วนหนึ่ง

โดยธนาคารจะพิจารณาฐานเงินเดือนของผู้กู้เพื่อคำนวณจำนวนเงินที่จะผ่อนชำระในแต่ละเดือน ซึ่งเงินที่ผ่อนชำระในแต่ละเดือนนั้นจะประกอบด้วยเงินต้นและดอกเบี้ย ตามที่ธนาคารกำหนด

นักเรียนจะนำความรู้เกี่ยวกับลำดับและอนุกรม

มาช่วยในการคำนวณเงินที่ผ่อนชำระในแต่ละเดือนได้อย่างไร

ก่อนที่เราจะศึกษาความรู้เกี่ยวกับลำดับและอนุกรม เราไปทบทวนความรู้ที่นำมาใช้ในเรื่องลำดับและอนุกรมกันก่อนเลยค่ะ

แบบรูปของจำนวน

เป็นการแสดงความสัมพันธ์ของจำนวนหนึ่งชุด แต่ละจำนวนจะมีลักษณะสำคัญบางอย่าง

ร่วมกัน ซึ่งต้องใช้การสังเกต การวิเคราะห์ หาเหตุผลมาสนับสนุน เพื่อหาลักษณะร่วม ที่สำคัญ แล้วหาบทสรุปอธิบายความสัมพันธ์นั้น เช่น

เช่น

ต่อไปเราจะได้ศึกษาเรื่องราวเกี่ยวกับ

ลำดับและอนุกรมว่ามีอะไรบ้าง

นักเรียนพร้อมหรือยังคะ ?

ถ้าพร้อมแล้วไปกันเลย !!!

นักเรียนยังจำความหมายของลำดับได้ไหมคะ ?

เราไปทบทวนความหมายของลำดับกัน

ซึ่งลำดับสามารถแบ่งได้เป็นลำดับเลขคณิตและลำดับเรขาคณิต

เรามาเริ่มศึกษาลำดับเลขคณิตกันก่อนเลยนะคะ

ให้นักเรียนลองสังเกตลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้

ผลต่างของสองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับ

ในแต่ละข้อเป็นอย่างไร

ซึ่ง

ซึ่ง

ซึ่ง

ซึ่ง

ซึ่ง

จากลำดับทั้ง 5 ข้อ สรุปได้ว่า ลำดับในข้อ 1) - 4)

มีผลต่างของสองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับเท่ากัน

แต่ลำดับในข้อ 5) มีผลต่างของสองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับไม่เท่ากัน

ซึ่งเราเรียกลำดับในข้อ 1) - 4) ว่า ลำดับเลขคณิต

ลำดับเลขคณิตสอดคล้องกับบทนิยามต่อไปนี้

เราไปศึกษาตัวอย่างเกี่ยวกับลำดับเลขคณิตพร้อม ๆ กันเลยค่ะ

ตัวอย่างที่ 1

วิธีทำ

ตัวอย่างที่ 2

ต่อไปเราจะศึกษาลำดับเรขาคณิตกันค่ะ

ให้นักเรียนลองสังเกตลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้

อัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับ

ในแต่ละข้อเป็นอย่างไร

ซึ่ง

ซึ่ง

ซึ่ง

ซึ่ง

ซึ่ง

ซึ่งเราเรียกลำดับในข้อ 1) - 4) ว่า ลำดับเรขาคณิต

จากลำดับทั้ง 5 ข้อ สรุปได้ว่า ลำดับในข้อ 1) - 4)

มีอัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับเท่ากัน

แต่ลำดับในข้อ 5) มีอัตราส่วนของสองพจน์ที่อยู่ติดกันของลำดับไม่เท่ากัน

ลำดับเรขาคณิตสอดคล้องกับบทนิยามต่อไปนี้

เราไปศึกษาตัวอย่างของลำดับเรขาคณิตเพิ่มเติมกันนะคะ

ตัวอย่างที่ 3

วิธีทำ

ดังนั้น พจน์ทั่วไปของลำดับนี้ คือ

ตัวอย่างที่ 4

วิธีทำ

จะได้

จะได้

เราสามารถนำลำดับมาประยุกต์กับเรื่องลิมิตได้

ถ้านักเรียนพร้อมแล้ว เราไปศึกษาเรื่องลิมิตของลำดับกันค่ะ

ให้นักเรียนพิจารณาลำดับที่กำหนดให้ต่อไปนี้

ถ้านักเรียนนำลำดับในแต่ละข้อมาเขียนแจกแจงพจน์

แล้วลำดับแต่ละข้อจะเป็นอย่างไร ?

จากลำดับในข้อ 1), 2) และ 4) นักเรียนจะเห็นว่า

ลำดับเข้าใกล้หรือเท่ากับค่าคงตัวจำนวนใดจำนวนหนึ่ง

เรียกลำดับในข้อ 1), 2) และ 4) ว่า ลำดับที่มีลิมิต

หรือลำดับลู่เข้า

และจากลำดับในข้อ 3), 5) และ 6) นักเรียนจะเห็นว่า

ลำดับจะไม่เข้าใกล้หรือเท่ากับค่าคงตัวจำนวนใดจำนวนหนึ่ง

เรียกลำดับในข้อ 3), 5) และ 6) ว่า ลำดับที่ไม่มีลิมิต

หรือลำดับลู่ออก

ทฤษฎีบท 1

ทฤษฎีบท 2

ทฤษฎีบท 3

นอกจากนี้ ยังมีทฤษฎีบทที่เกี่ยวข้องกับลิมิตของลำดับ ดังนี้

ให้หาลิมิตของลำดับในแต่ละข้อต่อไปนี้

ตัวอย่างที่ 5

เราลองนำทฤษฎีบทเกี่ยวกับลิมิตของลำดับ

มาช่วยหาคำตอบของตัวอย่างต่อไปนี้กันดูนะคะ

ดังนั้น

ดังนั้น

ดังนั้น หาค่าไม่ได้

หาค่าไม่ได้

จากตัวอย่างที่ 5 ทำให้เราได้ข้อสังเกตว่า

นอกจากลำดับที่มีพจน์ทั่วไปอยู่ในรูปเศษส่วนของพหุนามแล้ว

ยังมีลำดับในรูปของจำนวนอตรรกยะ ดังทฤษฎีบทต่อไปนี้

เราลองไปดูตัวอย่างของลำดับในรูปของจำนวนอตรรกยะกันนะคะ

ตัวอย่างที่ 6

วิธีทำ

จาก

จะได้

ดังนั้น

จากที่เราได้ศึกษาเรื่องลำดับมาแล้ว เมื่อเรานำพจน์แต่ละพจน์ของลำดับมาเขียนในรูปการบวก เราจะเรียกว่า อนุกรม ดังบทนิยามต่อไปนี้

เขียนแทนด้วย

เขียนแทนด้วย

บทนิยาม

ตัวอักษรกรีก เป็นสัญลักษณ์แทนการบวก อ่านว่า ซิกมา

ซึ่งสัญลักษณ์แทนการบวก มีสมบัติ ดังนี้

สมบัติของสัญลักษณ์แทนการบวก

ตัวอย่างที่ 7

วิธีทำ

จากตัวอย่างที่ 7 นักเรียนจะเห็นว่า เมื่อต้องการหาผลบวกของอนุกรมจำนวนมากนั้น อาจจะไม่สะดวก

เพื่อให้การหาผลบวกของอนุกรมสะดวกมากยิ่งขึ้น ดังนี้

ตัวอย่างที่ 8

วิธีทำ

เนื่องจาก

จะได้

หรือ

ต่อไปเราจะศึกษาเกี่ยวกับอนุกรมเลขคณิตและอนุกรมเรขาคณิตกันนะคะ

โดยเริ่มจากอนุกรมเลขคณิตกันก่อนเลยค่ะ

ตัวอย่างที่ 9

วิธีทำ

และจาก

จะได้

ตัวอย่างที่ 10

วิธีทำ

หาจำนวนพจน์จาก

จะได้

จาก

จะได้

หรือ

ตัวอย่างที่ 11

วิธีทำ

จะได้

และจาก

ตัวอย่างที่ 12

วิธีทำ

หาจำนวนพจน์จาก

จาก

จะได้

จะได้

ต่อไปเราจะศึกษาอนุกรมอนันต์ที่เป็นอนุกรมเรขาคณิต

เราไปศึกษาตัวอย่างพร้อม ๆ กันเลยค่ะ

ให้หาผลบวกของอนุกรมอนันต์

ตัวอย่างที่ 13

วิธีทำ

และจาก

จะได้

การหาผลบวกของอนุกรมสามารถหาได้จาก

ผลบวกย่อยของอนุกรม ดังบทนิยามต่อไปนี้

บทนิยาม

ให้หาผลบวก n พจน์แรกและผลบวกของอนุกรมอนันต์ต่อไปนี้ (ถ้า S_n มีลิมิต)

ตัวอย่างที่ 14

จะได้

กำหนด

อนุกรมอนันต์ในรูปแบบอื่น ๆ ที่เขียนในรูปของ บางอนุกรม ไม่สามารถนำสมบัติของ

มาใช้ได้ จึงต้องจัดรูปพจน์ทั่วไปของอนุกรมให้สะดวกในการหาผลบวก ดังตัวอย่างต่อไปนี้

∑

∑

ตัวอย่างที่ 15

ให้หาผลบวกของอนุกรมนี้

ดังนั้น

ตัวอย่างที่ 15

ให้หาผลบวกของอนุกรมนี้

นั่นคือ

ตัวอย่างที่ 15

ให้หาผลบวกของอนุกรมนี้

ดังนั้น

ถ้าจะนำลำดับและอนุกรมมาประยุกต์ในชีวิตจริงของเรานักเรียนคิดว่า เราจะนำมาประยุกต์กับเรื่องใดได้บ้างคะ?

ถ้าพูดถึงเรื่องดอกเบี้ยทบต้น ก็เป็นอีกหนึ่งเรื่องในชีวิตจริงที่เราสามารถนำลำดับและอนุกรมมาประยุกต์ได้

ดังนั้น เราไปทบทวนความรู้เกี่ยวกับดอกเบี้ยทบต้นกันเลยค่ะ

เราลองไปศึกษาตัวอย่างกันค่ะ

ตัวอย่างที่ 16

วิธีทำ

จากสูตร

จะได้

ต่อไปเราจะศึกษาเรื่องมูลค่าของเงินและค่ารายงวด

ซึ่งเป็นการนำความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมมาประยุกต์ใช้

โดยเริ่มจากเรื่องมูลค่าของเงินกันก่อนนะคะ

หรือ

ตัวอย่างที่ 17

ตัวอย่างที่ 18

นอกจากการหาค่ารายงวดโดยใช้สูตรแล้ว

นักเรียนคิดว่า เรามีวิธีการอื่นอีกหรือไม่ ?

วันนี้ครูมีวิธีการหาค่ารายงวดมาแนะนำให้กับนักเรียนอีก 1 วิธี

นั่นคือ การหาค่ารายงวดโดยใช้โปรแกรม Microsoft Excel

ถ้าพร้อมแล้วไปชมพร้อม ๆ กันเลยค่ะ

“การกู้เงินกับธนาคาร ทางธนาคารจะพิจารณาเงินเดือนของผู้กู้เพื่อจะคำนวณเงินผ่อนชำระในแต่ละเดือน ซึ่งเงินผ่อนชำระจะประกอบด้วยเงินต้นและดอกเบี้ยตามที่ธนาคารกำหนด”

นักเรียนยังจำคำถามเกี่ยวกับเงินผ่อนชำระได้ไหมคะ ?

จากคำถามนั้น เราสามารถนำสูตรการคำนวณค่ารายงวด

มาช่วยในการคำนวณเงินผ่อนชำระในแต่ละเดือนได้

เป็นอย่างไรกันบ้างคะ สำหรับการนำความรู้ที่เราศึกษา

มาประยุกต์ใช้กับชีวิตจริง

นักเรียนได้รับความรู้เรื่องลำดับและอนุกรมอย่างครบถ้วนแล้ว

หวังว่านักเรียนจะนำความรู้ไปใช้ในชีวิตจริงได้อีกหลาย ๆ เรื่องเลยนะคะ

แล้วพบกันใหม่ค่ะ