CÁLCULO INTEGRAL
Introducción
El cálculo infinitesimal
El cálculo diferencial es útil para estudiar las razones de cambio y las pendientes de tangentes. Un aspecto fundamental del cálculo integral es determinar las áreas que se encuentran entre curvas y otras fronteras definidas. Asimismo, si se conoce la derivada de una función, con el cálculo integral podrá obtenerse la función original.
Antiderivadas
Dada una función f, ya se sabe calcular la derivada f′. �Puede haber ocasiones en que se conozca la derivada f′ y se quiera encontrar la función original f. Puesto que el proceso de determinar la función original es el opuesto al de la diferenciación, se dice que f es una antiderivada de f′.
Antiderivadas
Considérese la derivada
f′ (x) = 4 (1)
Al utilizar el método de tanteo, es fácil concluir que la función
f(x) = 4x (2)
tiene una derivada de la forma de la ecuación (1)
Antiderivadas
He aquí otra función que tiene la misma derivada:
f(x) = 4x + 1
De hecho, cualquier función que tenga la forma
f(x) = 4x + C (3)
donde C es cualquier constante, tendrá también la misma derivada.
Antiderivadas
Así pues, con la derivada de la ecuación (1), la conclusión será que la función original pertenecía a la familia de funciones caracterizadas por la ecuación (3). Esa familia es un conjunto de funciones lineales cuyos miembros tienen una pendiente de +4, pero diferentes intersecciones C con el eje y. La siguiente figura contiene algunos miembros de esa familia de funciones.
Familia de funciones
f(x) = 4x + C
Ejemplo 1
Encuentra la antiderivada de f′(x) = 0.
Solución
Se sabe que la derivada de cualquier función constante es 0. Por consiguiente, la antiderivada es:
f(x) = C
Ejemplo 2
Encuentra la antiderivada de f′(x) = 2x – 5.
Solución
Al aplicar el método de tanteo y al trabajar con cada término por separado, debería llegarse a la conclusión de que la antiderivada es:
f(x) = x² – 5x + C
Nota
Una comprobación fácil de la antiderivada f �consiste en diferenciarla y determinar f′.
Ejemplo 3
Ejemplo 4
Ejemplo 5
Ejemplo 6
Ejemplo 7
En el ejemplo 1, supongamos que un punto en la función f sea �(– 2, 5). Determinar la función específica de la que se obtuvo f′.
Datos x = – 2 y f(x) = 5
Solución
La antiderivada que describe la familia de posibles funciones era
f(x) = C
La sustitución de x = – 2 y f(x) = 5 en esta ecuación da
5 = C
Por lo tanto, la función específica es f(x) = 5
Ejemplo 8
En el ejemplo 2, supongamos que un punto en la función �f sea (2, 20). Determinar la función específica de donde se derivó f′.
Solución
La antiderivada que describe la familia de posibles funciones era
f(x) = x² – 5x + C
Si se sustituye x = 2 y f(x) = 20 en esta ecuación, se obtiene
20 = 2² – 5(2) + C 🡪 20 = – 6 + C 🡪 26 = C
Así pues, la función original será
f(x) = x² – 5x + 26
Ejemplo 9
Determina f si se conoce f′(x) = 10 – x + x² y un punto de f es (6, 102).
Solución f(x) = 10x – ½x² + ⅓x³ + C
102 = 10(6) – ½(6)² + ⅓(6)³ + C
102 = 60 – 18 + 72 + C 🡪 C = – 12
f(x) = 10x – ½x² + ⅓x³ – 12
Comprobación
f′(x) = 10 – (½)2x + (⅓)3x² = 10 – x + x²
Ejemplo 10
Ejercicios
Encuentra la antiderivada de la función dada.
f′(x) = 9x² + 10x
f′(x) = 6x² + 2x + 20
f′(x) = 8x³ – 6x²
f′(x) = 12x³ – 9x² + 3
f′(x) = x³ + x² – 4x + 1
Ejercicios
Determina f si se conoce f′ y un punto que satisface f.
f′(x) = 10x, (–2,10)
f′(x) = x², (–4,26)
f′(x) = 4x³, (2,15)
f′(x) = 4x³ – 3x² + 2x, (3,80)
f′(x) = x³ – x² + x + 3, (– 1,0)
Referencia
FRANK S. BUDNICK
Cuarta edición
McGRAW-HILL/INTERAMERICANA
Págs. 868-873