Аксіоми стереометрії
і наслідки з них
План
1. Стереометрія. Основні фігури у
просторі.
2. Аксіоми стереометрії.
3. Наслідки із аксіом.
4. Розв'язування задач.
Стереометрія. Основні фігури у просторі
Геометрія
Планіметрія
Стереометрія
Планіметрія – це розділ
геометрії, в якому вивчаються фігури на площині.
Стереометрія – це розділ
геометрії, в якому вивчаються фігури в просторі.
A
B
C
b
Основними фігурами стереометрії є:
точка
пряма
площина
точки: A, B, C, D
прямі: a, b, CB
площини: α, β, γ
Точка і пряма – це основні фігури планіметрії, тому в стереометрії справедливі аксіоми планіметрії.
Аксіоми стереометрії
1. Яка б не була пряма, існують точки, що належать цій
прямій , і точки що їй не належать.
2. Через будь які дві точки можна провести пряму, і тільки
одну.
Аксіоми стереометрії (С) – це основні властивості площин у просторі.
С1. Яка б не була площина, існують точки, що
належать цій площині, і точки що їй не належать
α
A
B
C
С ∉ α
А ∈ α
В ∈ α
α
β
a
A
С2. Якщо дві різні площини мають спільну точку, то вони перетинаються по прямій, яка проходить через цю точку.
А ∈ а
А ∈ α, А ∈ β
α ∩ β = а
α
a ∩ b = A
a, b ∈α
α - єдина
а
b
A
С3. Якщо дві різні прямі перетинаються, то через них можна провести площину, і до того ж тільки одну.
а
A
B
А ∈ α , В∈ α ,
А ∈ а, B ∈ a,
то а ∈α
С4. Якщо дві точки прямої належать площині,
то і вся пряма належить цій площині.
α1
α
Дано: A ∉ a
Довести: A∈ α; а ⊂ α
α - єдина
Доведення:
1. В ∈ а, АВ ∩ а = В ;
2. АВ ∈ α, а ⊂ α (акс. С 3 ) ;
3. припустимо існує α 1 така , що А ∈ α 1 , а ⊂ α 1 ;
4. α ∩ α 1 = b (акс. С2), А, В ∈ b, A∈ a – суперечить умові,
α - єдина.
а
A
Наслідки із аксіом
Теорема. Через пряму і точку, що не лежить на ній, можна провести площину , і до того ж тільки одну.
В
A
B
C
α - єдина
A, B, C ∉ a,
A, B, C ∈ α
Теорема. Через три точки, що не лежать на одній
прямій, можна провести площину, і до того ж тільки
одну.
№ 2. Виконання усних вправ
1. Чи правильно, що:
1) існують хоча б три точки, що не лежать на одній прямій;
2) у кожній площині лежить хоча б одна точка;
3) якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають ще хоча б одну спільну точку;
4) існують хоча б чотири точки, що не лежать на одній площині?
2. Які з тверджень правильні:
1) будь - які дві точки завжди лежать на одній прямій;
2) будь – які три точки завжди лежать на одній прямій;
3) будь – які три точки завжди лежать в одній площині;
4) будь – які чотири точки завжди лежать в одній площині.
№ 3.
Чи належить точка К площині паралелограма ABCD, якщо точка N належить відрізку AD, а точка М – відрізку ВС.
A
B
N
K
M
C
D
∙
∙
∙