Penambangan batu bara banyak terdapat di Indonesia. Biasanya batu bara terletak jauh di dalam tanah. Bagaimana cara membawa hasil tambang yang terletak jauh di dalam tanah atau di lokasi yang sulit dijangkau? Masalah ini dapat diatasi dengan menggunakan ban berjalan. Ban berjalan terdiri atas silinder-silinder yang berputar menggerakkan sabuk untuk membawa hasil tambang. Alat ini merupakan salah satu aplikasi konsep lingkaran dan garis singgungnya. Silinder sebagai lingkaran, sedangkan sabuk yang melewati silinder sebagai garis singgung lingkaran.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Isi Materi
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Apa yang Kalian Ketahui?
Kalian dapat menghitung panjang salah satu sisi yang tidak diketahui dari segitiga siku-siku menggunakan dalil Pythagoras.
Contoh:
52 = x2 + 32
x2 = 25 – 9
= 16
x = 4
Jadi, x = 4 cm.
Apa yang Akan Kalian Pelajari?
Kalian dapat memanfaatkan dalil Pythagoras untuk menghitung panjang garis singgung lingkaran dan garis singgung persekutuan dua lingkaran.
Contoh:
Hitunglah panjang garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran berjari-jari 12 cm jika jarak titik ke pusat lingkaran 20 cm.
AT2 = OT2 – OA2
x2 = 202 – 122
= 400 – 144
= 256
x = 16
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
a. Garis singgung lingkaran adalah suatu garis yang memotong lingkaran hanya pada satu titik.
b. Garis singgung lingkaran tegak lurus dengan jari-jari yang ditarik melalui titik singgungnya.
c. Melalui satu titik pada lingkaran, dapat dibuat tepat satu garis singgung.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Untuk melukis garis singgung lingkaran yang melalui titik T, lakukanlah langkah-langkah berikut.
a. Hubungkan titik O dan titik T dan perpanjang ruas garis OT tersebut.
b. Buatlah busur lingkaran dengan pusat T yang memotong garis di titik A dan B.
c. Buatlah busur lingkaran yang berjari-jari sama dengan pusat A dan B. Kedua busur itu akan berpotongan di C dan D.
d. Hubungkan garis C dan D. Garis CD merupakan garis singgung lingkaran pada titik T.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Langkah-langkahnya sebagai berikut.
a. Hubungkan titik O dan T.
b. Buatlah busur lingkaran yang berjari-jari sama dengan pusat O dan T sehingga saling berpotongan di titik C dan D.
c. Hubungkan C dan D sehingga memotong OT di titik M.
d. Buatlah lingkaran dengan pusat M dengan jari-jari OM dan MT sehingga memotong lingkaran dengan pusat O di titik A dan B.
e. Hubungkan titik T dengan A dan T dengan B seperti tampak pada gambar berikut.
f. Garis AT dan BT adalah garis singgung lingkaran.
Dua garis singgung lingkaran yang ditarik dari suatu titik di luar lingkaran adalah sama panjang.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Kalian dapat menentukan panjang garis singgung lingkaran yang ditarik dari suatu titik di luar lingkaran dengan menggunakan teorema Pythagoras.
Hitunglah panjang garis singgung dari suatu titik di luar lingkaran jika jarak titik tersebut ke pusat lingkaran adalah 10 cm dan jari-jari lingkaran itu 6 cm!
Penyelesaian:
Diketahui OT = 10 cm, r = 6 cm, dan garis
singgung lingkaran adalah TA . Karena ∆TAO
siku-siku di A maka dengan menggunakan
dalil Pythagoras diperoleh
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Dua lingkaran berpotongan
Syarat dua lingkaran berpotongan adalah AB < R + r atau AB > R – r.
AB = R + r
AB = R – r
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Lingkaran B (dengan jari-jari r) terletak di dalam lingkaran A (dengan jari-jari R). Dari gambar di samping terlihat bahwa AB + PQ = R – r sehingga diperoleh AB < R – r.
Dua lingkaran, A dan B titik pusatnya berimpit. Dalam hal ini AB = 0.
Syarat lingkaran A (dengan jari-jari R) saling lepas dengan lingkaran B (dengan jari-jari r) adalah AB > R + r karena AB > AP + BQ.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Jika AB adalah jarak antara dua titik pusat lingkaran, R adalah jari-jari lingkaran yang lebih besar, dan r adalah jari-jari lingkaran yang lebih kecil dapat disimpulkan sebagai berikut.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
a. Garis Singgung Persekutuan Luar
b. Garis Singgung Persekutuan Dalam
Dua lingkaran yang berpusat di titik A dan titik B saling lepas. Titik C, D, E, dan F adalah titik singgung. CD dan EF adalah garis singgung persekutuan luar, sedangkan AB disebut garis sentral, yaitu garis yang menghubungkan pusat lingkaran A dan pusat lingkaran B.
Dua lingkaran yang berpusat di titik A dan titik B saling lepas. Titik C, D, E, dan F adalah titik singgung. CD dan EF adalah garis singgung persekutuan dalam.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
a. Panjang Garis Singgung Persekutuan Luar
b. Panjang Garis Singgung Persekutuan Dalam
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Panjang lilitan = busur SR + RQ + busur QP + PS
= ½ × 2πr + 2r + ½ × 2πr + 2r
= 2πr + 4r
= 2r (π + 2)
Panjang lilitan minimal = busur FK + KJ + busur JI + IH + busur HG + GF
= 2πr + 6r
= 2r(π + 3)
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT
Tentukan panjang lilitan minimal tali pada gambar berikut!
Penyelesaian:
Panjang lilitan minimal kedua penampang adalah
Jadi, panjang lilitan minimal tali adalah 39 cm.
JUDUL
ISI MATERI
PREV
NEXT