10.02.2025

Сьогодні

Урок

№ 61

Застосування кількох способів

розкладання многочленів на множники

Алгебра

Розділ 1. Алгебраїчні вирази.

Лінійні рівняння з однією змінною

Добрий день!

На вас чекає гарний день.

Бачу, всі веселі і здорові

До уроку всі готові!

10.02.2025

Сьогодні

Організація класу

10.02.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація навчально-пізнавальної

діяльності учнів

Мета уроку:

формувати вміння з розкладання многочлена на множники із застосуванням кількох способів розкладання; закріпити знання на практиці

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Застосування кількох способів

розкладання многочленів на множники

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Способи розкладання многочлена на множники:

• винесення спільного множника за дужки;

• метод групування;

• застосування формул скороченого множення

Загальні поради:

1) якщо це можливо, то розкладання треба починати з винесення спільного множника за дужки;

2) далі потрібно перевірити, чи можна застосувати формули скороченого множення;

3) якщо не вдається застосувати формули скороченого множення, то можна спробувати скористатися методом групування.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

ПОВТОРИМО. Винесення спільного множника за дужки

Щоб винести спільний множник (CM) за дужки:

1) визначте коефіцієнт спільного множника. Для цього знайдіть НСД модулів коефіцієнтів членів многочлена;

2) визначте буквену частину спільного множника. До неї доберіть найнижчі степені усіх змінних, що є множниками в кожному із членів многочлена;

3) винесіть знайдені числовий і буквені множники за дужки;

4) запишіть вираз, що залишиться в дужках.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Винесення спільного множника за дужки

1) Запишемо вираз:

Знайдемо CM:

Винесемо CM за дужки:

2) Запишемо вираз:

Знайдемо CM:

Винесемо CM за дужки:

-2а²b⁵ - 16аb⁶ =

= -2аb⁵ ∙ а - 2аb⁵ ∙ 8b =

= -2аb⁶(а + 8b).

2аb(х - 4у) - (4у - х) =

= 2аb(х - 4у) + (х - 4у)=

= (х - 4у)(2аb + 1).

Під час розкладання на множники многочлена із цілими коефіцієнтами множник, який виносять за дужки, обирають так, щоб члени многочлена, який залишиться в дужках, не мали спільного буквеного множника, а модулі їхніх коефіцієнтів не мали спільних дільників.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові вправи

Знайти корені рівняння 5х² - 7х = 0.

Розв’язання. Розкладемо ліву частину рівняння на множники

винесенням спільного множника за дужки: х(5х - 7) = 0. Враховуючи, що добуток дорівнює нулю тоді й тільки тоді, коли хоча б один із множників дорівнює нулю, матимемо:

х(5х - 7) = 0

х = 0 або 5х - 7 = 0,

отже, х = 0 або х = 1,4.

Відповідь: 0; 1,4.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Спосіб групування

Розкладіть на множники многочлен

а³ - За² - 4а + 12.

Як діяти, якщо многочлен містить більше як три члени і не має спільних множників?

Застосувати спосіб групування.

Запишемо многочлен:

Згрупуємо доданки:

Винесемо CM за дужки:

Винесемо CM за дужки:

Застосуємо ФСМ:

а³ - За² - 4а + 12 =

= (а³ - За²) -(4а - 12) =

= а² (а - 3) - 4(а - 3) =

= (а - 3) (а² - 4) =

= (а - 3) (а - 2)(а + 2).

​

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Доданки у многочлені можна

групувати різними способами

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Типові вправи. Спосіб групування

​

Розкладіть на множники многочлен:

2ас + 2bс + 5аm + 5bm

1. Згрупуємо члени даного многочлена так, щоб доданки в кожній групі мали спільний множник, отримуємо:

2ас + 2bс + 5аm + 5bm=

= (2ас + 2bс) + (5аm + 5bm) =

= 2с (а + b) +5m (а + b) =

= (а + b) (2с + 5m).

2. Доданки можна згрупувати в інший спосіб:

(2ас + 5аm) + (2bс + 5bm) =

= a(2c + 5m) + b(2c + 5m) =

= (2с + 5m) (а + b).

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Застосування способу групування для розкладання на множники многочленів, що містять шість або три доданки

Розкласти на множники : 2а + 2b - m + аm + bm - 2.

1. Згрупуємо члени многочлена у три групи по два доданки так, щоб доданки в кожній групі мали спільний множник.

2а + 2b - m + аm + bm - 2 =

= (2а + аm) + (2b + bm) + (-m - 2) =

= а(2 + m) + b(2 + m) - 1(2 + m) =

= (2 + m)(а + b - 1).

2.Згрупуємо тепер члени многочлена у дві групи по три доданки так, щоб доданки в кожній групі мали спільний множник.

2а + 2b - m + аm + bm - 2 =

=(2а + 2b - 2) + (аm + bm - m) =

= 2(а + b - 1) + m(а + b - 1) =

= (а + b - 1)(2 + m).

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розкласти на множники тричлен

х² - 6x + 8

Враховуючи, що - 6х = -2х + (-4х), можемо переписати многочлен як суму чотирьох доданків, згрупувати їх і далі розкласти на множники:

х² - 6х + 8 = х² - 2х - 4х + 8 =

= (х² - 2х) + (-4х + 8) =

= х(х - 2) - 4(х - 2) = (х - 2)(х - 4).

Відповідь: (х - 2)(х - 4).

​

«Секрет» у тому, що саме доданки -2х і -4х

сприяли появі спільного множника після розбиття многочлена на групи.

​

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Використання формул скороченого множення

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Штучні прийоми розкладання многочленів на множники

Розкласти на множники многочлен

а² - 4а + 4 - b²

Розв’язання. Оскільки перші три доданки є квадратом двочлена, застосуємо штучне групування, розбивши многочлен на дві

групи, перша з яких є квадратом двочлена, а до другої включимо четвертий доданок. Тоді цей многочлен перетвориться на різницю квадратів двох виразів:

а² - 4а + 4 - b² = (а - 2)² - b² = (а - 2 - b)(а - 2 + b).

Відповідь: (а - 2 - b)(а - 2 + b)

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Про розкладання многочленів на множники

Не кожний многочлен другого степеня, а тим паче — вищих за другий степінь, можна розкласти на множники. Наприклад, не можна розкласти на множники многочлени х² + 4, х² + у² + 1, х² + х + 2 тощо.

Зокрема, не розкладаються на множники многочлени другого степеня, які є неповними квадратами суми або різниці та не містять спільного множника.

Наприклад, m² + m+ 1, р² - Зр + 9, 4х² + 2х + 1 тощо.

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Закінчіть розкладання на множники:

1) 7а² – 7b² = 7 (а² - b²) = ... ;

2) Зу³ - 27у = 3у (у² - 9) = ... ;

3) m⁵ - m³ = m³ (m² - 1) = ... .

Завдання №785 (1-3)

Підручник.

Сторінка

173

1

рівень

Розв’язання:

1) 7а² – 7b² = 7 (а² - b²) = 7(a – b)(a + b) ;

2) Зу³ - 27у = 3у (у² - 9) = 3y(y – 3)(y + 3) ;

3) m⁵ - m³ = m³ (m² - 1) = m³(m – 1)(m + 1) .

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розкладіть на множники многочлен:

1. 2a² – 2b²;

2) cx² – cy²;

3) 3x² – 3;

4) 3ab² – 27a;

5) x³ – 4x;

6) 2y³ – 18y.

Завдання №786 (1-6)

Підручник.

Сторінка

174

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) 2a² – 2b² = 2(a² – b²) = 2(a – b)(a + b);

2) cx² – cy² = c(x² – y²) = c(x – y)(x + y);

3) 3x² – 3 = 3(x² – 1) = 3(x – 1)(x + 1);

4) 3ab² – 27a = 3a(b² – 9) = 3a(b – 3)(b + 3);

5) x³ – 4x = x(x² – 4) = x(x – 2)(x + 2);

6) 2y³ – 18y = 2y(y² – 9) = 2y(y – 3)(y + 3).

Завдання №786 (1-6)

Розв’язання:

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Закінчіть розкладання на множники:

1) 9a²b² – 6ab² + b² = b²(9a² – 6a + 1) = … ;

2) 4b²c – 20abc + 25a²c = c(4b² – 20ab + 25a²) = … ;

3) -3m³ + 6m²n – 3mn² = -3m(m² – 2mn + n²) = … .

Завдання №788

Підручник.

Сторінка

174

1

рівень

1) 9a²b² – 6ab² + b² = b²(9a² – 6a + 1) = b²(3a – 1)² ;

2) 4b²c – 20abc + 25a²c = c(4b² – 20ab + 25a²) =  c(2b – 5a)² ;

3) -3m³ + 6m²n – 3mn² = -3m(m² – 2mn + n²) = –3m(m – n)² .

Розв’язання:

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розкладіть на множники:

1. 3a² + 6ab + 3b²;

2) 5m² + 5n² – 10mn;

3) -3x² + 12x – 12;

4) -7b² – 14bc – 7c²;

5) x²y + 14xy² + 49y³;

6) -8a³b + 56a²b² – 98ab³.

Завдання №789

Підручник.

Сторінка

174

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) 3a² + 6ab + 3b² = 3(a² + 2ab + b²) = 3(a + b)²;

2) 5m² + 5n² – 10mn = 5(m² – 2mn + n²) = 5(m – n)²;

3) -3x² + 12x – 12 = –3(x² – 4x + 4) = –3(x – 2)²;

4) -7b² – 14bc – 7c² = –7(b² + 2bc + c²) = –7(b + c)²;

5) x²y + 14xy² + 49y³ = y(x² + 14xy + 49y²) = y(x + 7y)²;

6) -8a³b + 56a²b² – 98ab³ = –2ab(4a² – 28ab + 49b²) = –2ab(2a – 7b)².

Завдання №789

Розв’язання:

1

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Закінчіть розкладання на множники:

1. a⁴ – 10 000 = (a²)² – 100² = (a² - 100)(a² + 100) = …

​

​

2) m⁸ – n⁴ = (m⁴)² – (n²)² = (m⁴ – n²)(m⁴ + n²) = … .

Завдання №791

Підручник.

Сторінка

174

2

рівень

1) a⁴ – 10 000 = … = (a² - 100)(a² + 100) = (a - 10)(a + 10)(a² + 100) ;

2) m⁸ – n⁴ = (m⁴)² – (n²)² = (m⁴ – n²)(m⁴ + n²) = (m² – n)(m² + n)(m⁴ + n²) .

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Подайте у вигляді добутку многочлен:

1. a⁴ – b⁴;

2) c⁴ – 81.

Завдання №792

Підручник.

Сторінка

174

2

рівень

Розв’язання:

1) a⁴ – b⁴ = (a² – b²)(a² + b²) = (a – b)(a + b)(a² + b²);

2) c⁴ – 81 = (c² – 9)(c² + 9) = (c – 3)(c + 3)(c² + 9).

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Закінчіть розкладання на множники:

1. 16х - 2х⁴ = 2х(8 - х³) = ...;

​

​

2) За⁵ + 375а² = За²(а³ + 125) = ... .

Завдання №794

Підручник.

Сторінка

174

2

рівень

1) 16х - 2х⁴ = 2х(8 - х³) = 2x(2 – x)(4 + 2x + x²);

2) За⁵ + 375а² = За²(а³ + 125) = 3a²(a³ + 5³) = 3a²(a + 5)(a² – 5a + 25) .

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розкладіть на множники:

1) 4а³ – 4b³; 3) 7 + 7b³; 5) 2а⁴ - 250а;

2) 2m³ - 16; 4) -х⁴ + 27х; 6) 9а⁵ - 9а².

Завдання №795

Підручник.

Сторінка

175

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) 4а³ – 4b³ = 4(a³ – b³) = 4(a – b)(a² + ab + b²);

2) 2m³ – 16 = 2(m³ – 8) = 2(m – 2)(m² + 2m + 4);

3) 7 + 7b³ = 7(1 + b³) = 7(1 + b)(1 – b + b²);

4) -х⁴ + 27х =  –x(x³ – 27) = –x(x – 3)(x² + 3x + 9);

5) 2а⁴ - 250а = 2a(a³ – 125) = 2a(a – 5)(a² + 5a + 25);

6) 9а⁵ - 9а² = 9a²(a³ – 1) = 9a²(a – 1)(a² + a + 1).

Завдання №795

Розв’язання:

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацювати сторінки підручника 171-180.

​

Виконати завдання

№ 787(1-3), 790(3,4), 793

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розкладіть на множники:

1) 5a² – 5b²; 2) ap² – aq²; 3) 2xm² – 2xn²;

4) 7b² – 7; 5) 16x² – 4; 6) 75 – 27c²;

7) 5mk² – 20m; 8) 63ad² – 7a; 9) 125px² – 5py².

Завдання

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) 5а² – 5b² = 5(а² – b²) = 5(а – b)(а + b);

2) ар² – aq² = а(р² – q²) = а(р – q)(p + q);

3) 2xm² – 2xn² = 2x(m² – n²) = 2х(m – n)(m + n);

4) 7b² – 7 = 7(b² – 1) = 7(b – 1)(b + 1);

5) 16х² – 4 = 4(4x² – 1) = 4(2х – 1)(2х + 1);

6) 75 – 27c² = 3(25 – 9с²) = 3(5 – 3с)(5 + 3с);

7) 5mk² – 20m = 5m(k² – 4) = 5m(k – 1)(k + 2);

8) 63ad² – 7a = 7а(9d² – 1) = 7a(3d – 1)(3d+ 1);

9) 125рх² – 25рy² = 25р(5х² – у²).

Розв’язання:

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Подайте у вигляді добутку:

1) m³ – m; 2) p² – p⁴; 3) 7a – 7a³;

4) 9b⁵ – 9b³; 5) 81c³ – c⁵; 6) 3a⁵ – 300a⁷.

Завдання

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) m³ – m = m(m² – 1) = m(m – 1)(m + 1);

2) p² – p⁴ = p²(1 – p²) = р²(1 – р)(1 + р);

3) 7а – 7а³ = 7а(1 – а²) = 7а(1 – а)(1 + а);

4) 9b⁵ – 9b³ = 9b³(b² – 1) = 9b²(b – 1)(b + 1);

5) 81с³ – с⁵ = с³(81 – с²) = с³(9 – с)(9 + с);

6) 3а⁵ – 300а⁷ = 3а⁵(1 – 100а²) = 3а⁵(1 – 10а)(1 + 10а).

Розв’язання:

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розв’яжіть рівняння:

Завдання

2

рівень

1) Зх² - 27 = 0;

3(x² – 9) = 0;

(x – 3)(x + 3) = 0;

x – 3 = 0 або x + 3 = 0;

x = 3 або x = –3. Відповідь: 3 або –3;

2) 5 - 20х² = 0;

5(1 – 4x²) = 0;

(1 – 2x)(1 + 2x) = 0;

1 – 2x = 0 або 1 + 2x = 0;

x = 0,5 або x = –0,5.

Відповідь: 0,5 або –0,5. 

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Розкладіть на множники:

1) 3a² + 6ab + 3b²; 2) -2m² + 4mn – 2n²;

3) –a² – 4a – 4; 4) 6a² + 24ab + 24b²;

5) 2am² + 4am + 2a; 6) 8a⁴ – 8a³ + 2a².

Завдання

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) 3а² + 6аb + 3b² = 3(а² + 2аb + b²) = 3(а + b)²;

2) –2m² + 4mn – 2n² = –2(m² – 2mn + n²) = –2(m – n)²;

3) –a² – 4a – 4 = –(а² + 4а + 4) = –(а + 2);

4) 6а² + 24аb + 24b² = 6(а² + 4ab + 4b²) = 6(а + 2b)²;

5) 2am² + 4am + 2а = 2а(m² + 2m + 1) = 2а(m + 1)²;

6) 8а⁴ – 8а³ + 2а² = 2а²(4а² – 4а + 1) = 2а²(2а – 1)².

Розв’язання:

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Знайдіть значення виразу:

1) Зm² - Зn², якщо m = 41, n = 59;

2) 2х² + 4хy + 2у², якщо х = 29, у = -28.

Завдання

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1) 3m² – 3n² = 3(m² – n²) = 3(m – n)(m + n).

Якщо m = 41, n = 59, то 3(m – n)(m + n) =

= 3(41 – 59)(41 + 59) = 3 ∙ (–18) ∙ 100 = –5400;

​

2) 2х² + 4xy + 2y² = 2(x² + 2ху + y²) = 2(х +у)².

Якщо х = 29, у = –28, то 2(х + у)² = 2(29 – 28)² = 2.

Розв’язання:

2

рівень

10.02.2025

Сьогодні

Гімнастика для очей

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Підготовка до

№1. Укажіть вираз, тотожно рівний виразу х²+4.

Відповідь:

Д

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Підготовка до

№2. Установіть відповідність між заданими виразами

(1-4) та виразами, що їм тотожно дорівнюють (А-Д).

Відповідь:

1-Г, 2-А,

3-Д, 4-В .

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Розв’язання:

ЗАДАЧІ ПІДВИЩЕНОЇ

СКЛАДНОСТІ

n³ – n = n(n² – 1) = (n – 1) ∙ n ∙ (n + 1). Із трьох послідовних чисел одне завжди ділиться на 3, а одне — парне, тому значення виразу n³ – n — кратне 6.

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Світлана вклала 60 000 грн у цінні папери, придбавши акцій фірми «Альфа» на 15 000 грн, акцій компанії «Бета» - на 20 000 грн, а решту вклавши в акції фірми «Гамма». Через рік акції фірми «Альфа» подорожчали на 20 %, акції компанії «Бета» - на 8 %, а акції фірми «Гамма» подешевшали на 10 %. Яким є загальний прибуток чи збиток Світлани за рік?

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

10.02.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

1) 15000 ∙ 0,2 = 3000 (грн) – прибуток з акцій «Альфа»;

2) 20000 ∙ 0,08 = 1600 (грн) – прибуток з акцій «Гама»;

3) 60000 – 15000 – 20000 = 25000 (грн) – вклала в акції «Гама»

4) 25000 ∙ 0,1 = 2500 (грн) – збиток з акцій «Гама»;

5) (3000 + 1600) – 2500 = 2100 (грн) – загальний прибуток.

​

Відповідь: загальний прибуток склав 2100 грн.

ЖИТТЄВА

МАТЕМАТИКА

Розв’язання:

10.02.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Які способи розкладання многочленів на множники ви знаєте?
2. У чому полягає правило-орієнтир для розкладання многочленів на множники?
3. Чи кожний многочлен можна розкласти на множники?
4. Наведіть приклади многочленів, які не можна розкласти на множники.

10.02.2025

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Плюс – мінус – цікаво»

Що сподобалось на уроці? Що здалося цікавим та корисним?

Що не сподобалось? Що здалося важким, незрозумілим?

Про які факти дізналися на уроці? Чого б ще хотіли дізнатися?

+

_

?