Підготовка до НМТ

з математики

Тема: « Цілі вирази. Формули скороченого множення»

Александрова В.А., учитель математики

Краматорська українська гімназія

�Теоретичні аспекти�

​

​

• Закони додавання та множення
• a + b = b + a + (a ± b) = a ± b
• ab = ba -(a ± b) = -a-(±b)
• (a ±b)c = ac ± bc a + a = 2a
• a(b ±c ) = ab ± ac a ∙ a = a²

• Цілі вирази поділяються на одночлени і многочлени.
• Одночлени – це добуток чисел, букв та їх степенів

5х²у

коефіцієнт буквена частина

(степінь одночлена – це сума показників змінних, що входять до їх складу

n = 2 +1 =3 - степінь). 5х²у – одночлен третього степеня.

​

Дії з одночленами

• 5х²у і х²у – подібні
• 5х²у + х²у = 6х²у – додавання
• 5х²у ∙ х²у = 5х⁴у² – множення
• (5х²у)² = 25 х⁴у²– піднесення до степеня

​

Завдання ЗНО

​

​

Множимо два одночлени: спочатку коефіцієнти, а потім множимо буквені частини: 2х⁵ → В

Многочлени

• Р(х) = ахⁿ + bx^n-1+… + c(n – степінь)
• Многочлени – це сума декількох одночленів. Степінь многочлена – це найвищий показник степеня одночлена, який входить до його складу
• ах + b – лінійний двочлен (5х + 3) – вираз першого степеня

(лінійний – х в першому степені, а двочлен – два доданки)

• ах² + bх + с – квадратний тричлен (2х² - 5х + 2) – це многочлен другого степеня – найвищий степінь – квадрат, тричлен – три доданки.

​

Дії з многочленами

Додавання і віднімання многочленів

• 3х + 2 та 2х – 3
• (3х + 2) + (2х – 3)= 3х + 2+2х – 3 = 5х -1
• (3х + 2) - (2х – 3)= 3х + 2-2х +3 = х +5

Множення многочлена на одночлен

• (a ± b)c = ac ± bc

​

​

​

​

Завдання ЗНО

​

​

• Розкриємо дужки: 10х + 12 → А

​

​

​

​

• При розв'язанні краще просто підставити замість змінної числове значення
• 3(а –1) = 3(0,7 – 1) = 3∙(– 0,3) = – 0,9→ А

​

Множення многочленів

• (a + b)(с + d) = ас + ad + bc + bd

Формули скороченого множення

• Квадрат двочлена
• (a + b)² = а² +2аb + b² – квадрат суми
• (a – b)² = а² –2аb + b² – квадрат різниці

Квадрат тричлена

• (a + b + с)² = а² + b² + с² + 2аb + 2ас + 2bс
• Різниця квадратів
• a² – b² = (a + b) (a – b)
• (a + b) (a – b) = a² – b²

​

Формули скороченого множення�

 Куб суми і різниці

• (a + b)³ = а³ +3а²b + 3аb² + b³ – куб суми
• (a – b)³ = а³ – 3а²b + 3аb² – b³– куб різниці

Сума і різниця кубів

• а³ + b³ = (a + b)( а² – аb + b²) – сума кубів
• а³ – b³ = (a – b) ( а² + аb + b²) –різниця кубів

​

Приклади :

1. Подайте у вигляді многочлена вираз:

а) (а – 4)(а + 4) = а² – 4² = а² – 16

б) (а² – 1) (а² + 1) = (а²)² – 1² = а⁴ – 1

2. Спростіть вираз:

(х – 2)² + (3 – х) (3 + х) = х² – 4х + 4 + 9 – х^{2 =} = – 4х + 13 = 13 – 4х

​

​

Завдання ЗНО

​

​

​

​

• Підставимо значення х = t – 2 в вираз х² – t² і застосуємо формулу скороченого множення – квадрат різниці х² – t² = (t – 2)² – t² = t² – 4t + 4 – -t² = – 4t + 4 = 4 – 4t→ Б

​

​

​

​

Розкриємо дужки(множимо одночлен на многочлен) і застосуємо формулу скороченого множення – квадрат суми.

а(a + 2b) – (a + b)² = а² + 2аb – (а² +2аb + b²) = а² + 2аb – а² – 2аb – b² =

= – b^2→ В

Розкладання многочлена на множники

• 1. Винесення спільного множника за дужки
• ab ±ac = a(b ±c )
• a(b + c ) + d(b + c ) = (b + c ) (a + d )
• 2. Спосіб групування
• ab + ac + db + dс = (ab + ac) + (db + dс) = а(b + c) + d(b + с) = = (b + с)(a + d )
• 3. Використання формул скороченого множення
• a² – b² = (a + b) (a – b)
• а² ± 2аb + b² = (a ± b)²
• (a +b)( а² - аb + b²) = а³ + b³
• (a - b)( а² + аb + b²) = а³ - b³
• а³ + 3а²b + 3аb² + b³ = (a + b)³

​

• а³ - 3а²b + 3аb² - b³ = (a - b)³

​

​

​

Завдання ЗНО

​

​

​

Розв'язання:

1)a + b = 6; а = 6 – b 25 – 2(6 – b) – 2b = 25 – 12 + 2b – 2b = 13→ Г

Або 2) 25 – 2а – 2b = 25 – 2(а + b) = 25 – 2∙6 = 25 – 12 = 13 → Г

​

​

​

​

Розв'язання:

(2х – 3)² + 12х = 4х² – 12х +9 +12х = 4х² +9 → Б

Перевір себе:

1

​

​

2

​

​

3

Перевір себе

Перевір себе. Завдання відкритої форми з короткою відповіддю

Відповіді

• 1. А
• 2. Б
• 3. Б
• 4. 1) Б, 2) А, 3) Д, 4) В
• 5. 4
• 6.1/3

​

Дякую за увагу!

Відео з теми:

​

https://youtu.be/dKgipgex_xk

https://youtu.be/-YMzA4V3Hic

https://youtu.be/s4SebOYBkkw