기호논리학
제10주: 술어논리 2 의미론과 타당성
집합
간단히 말하면, 집합(set)은 대상들을 모아놓은 것이다. 다음은 집합의 예들이다:
(1) {이순신, 김유신}
(2) {박정희}
(3) {1, 2, 5}
(4) { }
집합 (1)은 이순신과 김유신을 원소로 갖는 집합이다. 집합 (2)는 박정희를 유일한 원소로 갖는 집합이다. 집합 (3)은 1, 2, 5를 원소로 가지는 집합이다. 집합은 원소를 갖지 않을 수도 있다. 집합 (4)가 그러한 경우다. 이러한 집합을 공집합이라고 부르는데, 때때로 ‘∅’로 표현된다.
집합 (계속)
그리고 집합들은 다른 집합들의 원소가 될 수 있다. 예컨대, 집합 {1, 2}는 다음 집합의 원소이다:
{{1, 2}, {3}}.
한 가지 중요한 사실은, 집합들 간의 동일성과 상이성은 그 집합들의 원소들 간의 동일성과 상이성에 의해 완전히 결정된다는 것이다. 예를 들어:
{2}={가장 작은 솟수}={x|x는 짝수이고 솟수이다}.
{수퍼맨}={클라크 켄트}.
{박정희,박근혜}={박근혜,박정희}
순서쌍
반면 이른바 순서쌍(ordered pair)들 간의 동일성과 상이성은 그 구성요소들 간의 동일성 뿐만 아니라 각각의 순서쌍 안에서 그들이 배열된 순서에 의해서도 결정된다. 순서쌍을 표현하기 위해 각진 괄호(angle brackets) ‘<'과 '>' 를 쓰기로 하자. 이때 다음 원리는 "순서쌍의 근본원리"라고 불린다:
<x, y> = <u, v> ↔ x=u&y=v.
예를 들어 <박정희 , 박근혜>는 박정희와 박근혜로 구성된 순서쌍이다. 순서쌍의 근본원리에 의하면 다음 사실들이 성립한다:
<박정희, 박근혜>=<박정희, 박근혜>
<박정희, 박근혜>≠<박근혜, 박정희>
순서쌍 (계속)
우리는 관계를 순서쌍들의 집합으로 표현할 수 있다. 예를 들어 아래 집합 D가 논의영역으로 주어졌다고 해보자:
D={박정희, 박근혜, 김대중, 김홍일, 아브라함, 이삭, 이희호}
그러면 아버지 관계 (father relation)는 이렇게 표현된다:
{<박정희, 박근혜>, <김대중, 김홍일>, <아브라함, 이삭>}
이 순서쌍들의 집합이 아버지 관계를 표현한다는 것은, 곧 이 집합에 속하는 순서쌍들이 "x는 y의 아버지다"를 만족시킨다는 것과 같다. 즉 <박정희, 박근혜>, <김대중, 김홍일>, <아브라함, 이삭>은 각각 이 문장 함수를 만족한다.
만족
우리는 문장함수, 예를 들어 "x는 y의 아버지이다"가 어떤 관계를 나타내는 것으로 생각할 수 있다. 이렇게 놓고 볼때, 순서쌍 <x,y>가 어떤 문장함수 R를 만족한다는 것은 곧 R이 나타내는 관계가 x와 y 사이에 성립한다는 것으로 생각할 수 있다.
예를 들어, <박정희,박근혜>는 위 문장함수를 만족하지만, <박근혜,박정희>는 그렇지 못하다. 왜냐하면, 박정희는 박근혜의 아버지이지만, 박근혜는 박정희의 아버지가 아니기 때문이다.
만족 (계속)
이미 말한대로 관계는 순서쌍들의 집합으로 나타낼 수 있다. 이때 <x,y>가 "Rxy"를 만족한다는 것은, 곧 "Rxy"가 나타내는 관계를 순서쌍들의 집합 S로 나타냈을 때, <x,y>가 S의 원소임과 같다. 예를 들어 D가 논의영역으로 주어졌을 때,
S={<박정희, 박근혜>, <김대중, 김홍일>, <아브라함, 이삭>}
는 "x는 y의 아버지다"가 나타내는 관계를 순서쌍들의 집합으로 나타낸 것으로 볼 수 있다. 이때 <박정희, 박근혜>
가 S의 원소라는 것은 <박정희, 박근혜>가 "x는 y의 아버지다"를 만족한다는 것과 같다.
순서열
순서쌍의 근본원리는 두 개 이상의 대상들로 구성된 순서열에 대해서 일반화될 수 있다. 즉, 다음 원리가 n항
순서열 (ordered n-tuples)에 적용된다:
<x1,... xn> = <y1,... yn> ↔ x1=y1&...&xn=yn.
모형과 해석
술어 논리의 언어 PL이 다음 기호들로 이루어져 있다고 해보자:
이름들: a, e.
술어들: 일항 술어 B, 이항술어 L.
우리는 이 기호들을 이용해 여러 문장을 구성할 수 있다. 예컨대, Ba, Be, Laa, Lae, Lee, ~Ba , BavLaa, 등이 구성된다. 이때 이들 가운데 한 문장, 예를 들어 "Ba"가 참이라는 것을 우리는 어떻게 정의할 수 있을까?
모형과 해석 (계속)
이 질문에 답하기 위해 왼쪽 모형세계 M을 고려해 보자.
M에는 아담과 이브만 존재하고, 다음 사실들이 성립한다:
(1) 아담은 금발이다.
(2) 아담은 이브를
사랑한다.
(3) 이브는 스스로를
사랑한다.
모형과 해석 (계속)
다음과 같은 기호들을 사용할 것이다:
a: 아담
e: 이브
Bx: x는 금발이다
Lxy: x는 y를 사랑한다.
다음 문장들은 M에서 참인가 거짓인가? �Ba, Be, Laa, Lae, Lee, ~Ba , BavLaa
모형과 해석 (계속)
M을 위한 논의영역과 해석함수를 아래처럼 정의하자:
M의 논의영역:
D = {아담,이브}
M의 해석함수:
I(a)=아담.
I(e) =이브.
I(B)={아담}
I(L)={<아담,이브>,
<이브,이브>}
모형과 해석 (계속)
M의 논의영역:
D = {아담,이브}
M의 해석함수:
I(a)=아담.
I(e) =이브.
I(B)={아담}
I(L)={<아담,이브>,
<이브, 이브>}
이때 "Ba"는 참인가? 그렇다! 왜냐하면 I(a)는 I(B)의 원소다.
모형과 해석 (계속)
M의 논의영역:
D = {아담,이브}.
M의 해석함수:
I(a)=아담.
I(e) =이브.
I(B)={아담}
I(L)={<아담,이브>,
<이브, 이브>}.
이때 "Lae"는 참인가? 그렇다! <I(a),I(e)>는 I(L)의 원소다.
모형과 해석 (계속)
M의 논의영역:
D = {아담,이브}.
M의 해석함수:
I(a)=아담.
I(e) =이브.
I(B)={아담}
I(L)={<아담,이브>,
<이브, 이브>}.
이때 "Lee"는 참인가? 그렇다! <I(e),I(e)>는 I(L)의 원소다.
모형과 해석 (계속)
M의 논의영역:
D = {아담,이브}.
M의 해석함수:
I(a)=아담.
I(e) =이브.
I(B)={아담}
I(L)={<아담,이브>,
<이브, 이브>}.
"Laa"는 무슨 뜻인가?
그것은 참인가 아니면 거짓인가?
모형과 해석 (계속)
M의 논의영역:
D = {아담,이브}.
M의 해석함수:
I(a)=아담.
I(e) =이브.
I(B)={아담}
I(L)={<아담,이브>,
<이브, 이브>}.
"~Ba"와 "BavLaa"의 (i) 뜻과 (ii) 참거짓 여부를 판단해보자.
비양화문의 진리조건
정의: I가 M을 위한 해석함수일 때,
이와 비슷하게,
대체예
양화문장에서 주연결사인 양화사를 제거하고, 그것이 구속하던 변항을 이름으로 대체하면, 우리는 그 열린 문장의 대체예 (substitution instance)를 얻게 된다. 예컨대, "Ba"는
‘(∀x)Bx’에 포함된 열린 문장 ‘Bx’의 대체예이다.
대체예의 개념을 좀더 정확히 정의해 보자:
정의: A(s)는 A(x)의 대체예이다=dfA(s)는 적형식 A(x)에
나타나는 모든 자유 변항 "x"를 이름 "s"로 대체하여
얻어진 닫힌 문장이다.
양화문의 진리조건
대체예의 개념을 이용하여 앞의 진리조건의 정의를 양화문으로 확장하면 다음과 같다:
(비양화문들의 진리조건 정의에 이어서)
7. ‘(∀x)Px’는 M에서 참이다 IFF ‘Px’의 모든 대체예들이
M에서 참이다.
8. ‘(∃ x)Px’는 M에서 참이다 IFF ‘Px’의 어떤 대체예는
M에서 참이다.
예
다음 모형세계 M을 생각해 보자:
D = {아담, 이브}. I(a) =아담. I(e)=이브. I(B) = {아담}.
I(L)={<아담,이브>, <이브, 이브>}
이 모형세계에 입각해 다음 문장들의 진리값을 결정해 보자:
(1) Ba&Lae.
"Ba"는 M에서 참이다. 왜냐하면 I(a)=아담∈{아담}=I(B). "Lae" 역시 참이다. 왜냐하면 <I(a),I(e)>=<아담,이브>∈ {<아담,이브>, <이브, 이브>}=I(L). 따라서 (1)은 참이다.
예 (계속)
(2) (∃ x)Bx.
참. 왜냐하면 "Bx"의 대체예인 "Ba"가 참이기 때문이다.
(3) (∃ x)Lxa.
거짓. 왜냐하면 ‘Laa’와 ‘Lea’가 둘다 거짓이기 때문이다.
(4) (∀x)Lxe.
참. 왜냐하면 "Lae"와 "Lee"가 모두 참이기 때문이다.
(5) (∀x)Bx.
거짓. 왜냐하면 "Be"가 거짓이기 때문이다.
연습문제
다음의 모형세계를 가정하고 그 밑에 있는 문장들의 진리값을 결정하시오.
D = {아담, 이브}. I(a)= 아담. I(e) = 이브. I(B) = {아담}.
I(L)={<아담, 이브>,<이브, 이브>}.
(1) (∀ x)(Bx→Lxe)
(2) (∀ x)(Bx→Lxa)
(3) (∃ x)(Lxa&Lex)
(4) (∀ x)(Bx→(Lxx→Lxa))
(5) (∃ x)((Lax&Lxa)↔(BxvLxe))
타당성
정의: 어떤 논증이 술어논리에서 타당하다=df모든 모형세계
M에 대해, 만약 모든 전제들이 M에서 참이면, 결론도
반드시 M에서 참이다.
한 논증 A의 타당성은 다음과 같이 증명한다: M을 임의의 모형세계라고 하자. 그리고 A의 모든 전제들이 M에서 참이라고 가정하자. 그런 다음 A의 결론 또한 M에서 참임을 보인다. 만일 모든 전제들이 참이고 결론이 거짓인 모형세
계 M이 있으면 그 논증은 부당하다. 그러한 모형세계를 ‘반례’ (counterexample)라고 부른다.
예 1
모든 사람은 이브를 사랑한다.
따라서 아담은 이브를 사랑한다.
우리는 이 논증을다음과같이 기호화할수있다.
(∀x)Lxe.
Lae.
증명: M을 임의의 모형세계라고 하자. 전제 ‘(∀x)Lxe’ 가 M에서 참이라고 가정하자. 가정에 의해 모든 ‘Lxe’의 대체예들은 M에서 참이다. "Lae"도 ‘Lxe’의 대체예이므로 M에서 참이어야 한다. Q.E.D.
예 2
아담은 이브를 사랑한다.
따라서 어떤 사람은 이브를 사랑한다.
우리는 이 논증을다음과같이 기호화할수있다.
Lae.
(∃x)Lxe.
증명: M을 임의의 모형세계라고 하자. 전제 ‘Lae’가 M에서 참이라고 가정하자. 따라서 ‘Lxe’의 어떤 대체예가 M에서 참이다. 그러므로 "(∃x)Lxe"가 M에서 참이어야 한다. Q.E.D.
예 3
아담은 이브를 사랑한다.
따라서 모든 사람은 이브를 사랑한다.
기호화하면:
Lae.
(∀x)Lxe.
이 논증은 부당하다. 이 점을 보이기 위해 우리는 전제가 참이면서 결론이 거짓인 모형세계를 구성해야 한다. 그러한 모형세계의 한 예는 다음과 같다:
D = {아담,이브}. I (L) = {<아담, 이브>}. I(a) = 아담. I(e) = 이브.
이 모형세계 M에서 위 논증의 전제는 참이고 결론은 거짓이다. Q.E.D.