ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΒΘ4�ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3.2�ΠΑΡΑΒΟΛΗ

ΔΗΜΗΤΡΗΣ ΣΠΑΝΟΣ- ΓΙΑΝΝΗΣ ΠΕΡΜΑΧΟΣ

ΚΑΘΗΓΗΤΗΣ: ΓΕΡΑΣΙΜΟΣ ΧΑΤΖΟΠΟΥΛΟΣ

ΣΧ. ΕΤΟΣ: 2025-2026

ΟΡΙΣΜΟΣ

• Έστω μια ευθεία δ και ένα σημείο Ε εκτός της δ. Ονομάζεται παραβολή με εστία το σημείο Ε και διευθετούσα την ευθεία δ ο γεωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου τα οποία ισαπέχουν από την Ε και τη δ (Σχ. α). Αν Α είναι η προβολή της εστίας Ε στη διευθετούσα δ, τότε το μέσο Κ του ΕΑ είναι προφανώς σημείο της παραβολής και λέγεται κορυφή της. (Βιβλίο Μαθηματικών Β’ λυκείου θετικού προσανατολισμού)
• Αναλυτικά:
• Ε εστία, δ διευθετούσα - d(E,M) = d(M,δ)
• ΕΑ προβολή δ => ΕΑ ┴ δ
• K μέσο της προβολής της εστίας

Συνολικά, η παραβολή είναι το σύνολο των σημείων που ισαπέχουν από την εστία Ε και τη διευθετούσα δ.

ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

Έστω Ε(p/2,0) οι συντεταγμένες της εστίας, οπότε δ : x = - p/2 . Εξ ορισμού έχουμε:

ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

• Το p (το διπλάσιο της τετμημένης της εστίας) ονομάζεται παράμετρος.
• │p│= d(E,δ)
• Σε ορθοκανονικό σύστημα αξόνων, η παραβολή με εξίσωση  y²=2px έχει 2 μορφές:

​

​

​

ΕΞΙΣΩΣΗ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

• Όσο για την παραβολή με διευθετούσα παράλληλη στον x’x, η εξίσωση της γίνεται: X² = 2py => y = 1/2p ∙ X² .
• Ουσιαστικά, αντιστρέφεται η αρχική εξίσωση παραβολής

​

ΕΞΙΣΩΣΗ ΕΦΑΠΤΟΜΕΝΗΣ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

• Έστω μια παραβολή C με εξίσωση  y²=2px και ένα σταθερό της σημείο M₁(x₁,y₁) . Έστω επιπλέον μια μη κατακόρυφη ευθεία ζ που διέρχεται από το M₁(x₁,y₁) και τέμνει την παραβολή και σε ένα άλλο σημείο M₂(x₂,y₂) 
• Τότε η ζ είναι εφαπτομένη της παραβολής και έχει εξίσωση:

yy₁ = p(x + x₁)

ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

• Μια πολύ αξιόλογη ιδιότητα της παραβολής ονομάζεται ανακλαστική ιδιότητα:
• Έστω η παραβολή C: y²=2px και έστω Μ(x₁,y₁) ένα σταθερό της σημείο.
• Επίσης, έστω ε η εφαπτομένη της παραβολής αυτής στο Μ. Η ε τέμνει τον άξονα χ’χ σε ένα σημείο Ν.
• Φέρουμε το ΜΕ (όπου Ε εστία της παραβολής C) και το Μt// ΟΕ. Ακόμη φέρουμε την η ┴ ε στο σημείο Μ.
• Τότε ισχύει ότι:

Οι συντεταγμένες του Ν είναι Ν(-x_1, 0) και επίσης ω₁=ω₂ και φ₁=φ₂

​

ΑΝΑΚΛΑΣΤΙΚΗ ΙΔΙΟΤΗΤΑ ΠΑΡΑΒΟΛΗΣ

• Εν ολίγοις, η ανακλαστική ιδιότητα της παραβολής είναι η εξής:

Η κάθετη στην εφαπτομένη μιας παραβολής στο σημείο επαφής M₁ διχοτομεί τη γωνία που σχηματίζουν η ημιευθεία M₁E και η ημιευθεία M₁t , που είναι ομόρροπη της ΟΕ, όπου Ε είναι η εστία της παραβολής.

ΠΑΡΑΒΟΛΗ

• Αυτή ήταν η βασική θεωρία για την παραβολή και την εξίσωση της. Έχετε ερωτήσεις; Ευχαριστούμε για τον χρόνο σας.