Многокутник та його елементи.��Опуклі та не опуклі многокутники.� �Сума кутів опуклого многокутника.

Геометрія 8 клас

Ламаною називається лінія, яка складається з відрізків (сусідні відрізки на повинні належати одній прямій). Кінці відрізків називаються вершинами ламаної, а самі відрізки – ланками.

Ламана називається простою, якщо вона не має самоперетинів. Довжиною ламаної називається сума довжин її ланок.

Довжина ламаної не менша за довжину відрізка, що сполучає її кінці.

Ламана називається замкненою, якщо її кінці збігаються.

Проста ламана

Не проста ламана

Замкнена ламана

Проста замкнена ламана називається многокутником.

Вершини ламаної називаються вершинами многокутника, а ланки ламаної – сторонами многокутника.

Відрізки, що сполучають несусідні вершини многокутника, називаються діагоналями.

Якщо всі кути многокутника менші від розгорнутого, його називають опуклим многокутником.

опуклий многокутник

не є опуклим многокутником

Кутами многокутника називаються кути, сторонами яких є суміжні сторони многокутника.

Кути, які є суміжними до кутів многокутника, називаються його зовнішніми кутами.

Теорема 1: Сума кутів опуклого

n-кутника дорівнює 180º⋅(n-2).

Доведення:

Нехай АВСDТ….КР – опуклий n-кутник. Діагоналі АС, АD,…,АК розбивають його на

(n-2) трикутників. Сума кутів кожного трикутника дорівнює 180º, а сума кутів n- кутника – сумі усіх кутів цих (n-2) трикутників, тобто 180º⋅(n-2). Щ.в.д.

Теорема 2: Сума зовнішніх кутів, взятих по одному при кожній вершині довільного опуклого многокутника, дорівнює 360º.

Доведення:

Кожний зовнішній кут опуклого многокутника в сумі із суміжним внутрішнім кутом многокутника дорівнює 180º. Якщо многокутник має n вершин, то сума n таких пар кутів дорівнює n⋅180º. Сума всіх внутрішніх кутів дорівнює (n-2)180º. Тому сума зовнішніх кутів n-кутника дорівнює різниці

n⋅180º-(n-2)⋅180º=2⋅180º=360º.

Теорему доведено.

Опуклий многокутник називається правильним, якщо в нього всі сторони рівні і всі кути рівні.

3

6

10

7

12

5

8

4