Bab 10�Peluang

Peluang

Peluang empirik

Peluang teoretik

Dafa Bintang Reksa

10.1 Peluang Empirik

• Pada saat jam istirahat Adi dan Ani secara bersamaan menuju ke ruang komputer sekolah untuk mengerjakan tugas. Setelah berdiskusi, mereka memutuskan untuk menggunakan komputer secara bergiliran masing-masing selama satu jam. Masalahnya adalah mereka sama-sama ingin mendapat giliran lebih dahulu.
• Bagaimanakah menurut kalian cara yang tepat untuk menyelesaikan masalah tersebut?
• Adi dan Ani memikirkan cara yang fair (mempunyai kesempatan sama) agar hasilnya bisa mereka terima. Adi mengusulkan untuk mengundi dengan tiga pilihan berikut.

​

Dafa Bintang Reksa

1. Melemparkan suatu koin uang logam (2 sisi) sekali. Jika pada pelemparan, sisi angka muncul (menghadap atas), Adi yang berhak menggunakan komputer terlebih dahulu. Jika sisi gambar muncul, maka Ani yang berhak menggunakan komputer lebih dahulu.

2. Mengambil satu kelereng dari tiga kelereng dengan mata tertutup. Kelereng yang disiapkan adalah warna merah, kuning, dan hijau. Adi menyuruh Ani untuk memikirkan satu kelereng warna sebarang. Kemudian Adi menyuruh Ani mengambil (dengan mata tertutup) satu kelereng dari dalam kantong yang sudah dipersiapkan. Jika kelereng yang diambil Ani sesuai dengan yang dia pikirkan, yang berhak menggunakan komputer terlebih dulu adalah Ani.

3. Menggelindingkan satu dadu (enam sisi). Jika yang muncul di sisi atas adalah angka genap, Ani yang berhak menggunakan komputer terlebih dahulu. Jika yang muncul di sisi atas adalah angka ganjil, Adi yang berhak menggunakan komputer terlebih dahulu.

​

Dafa Bintang Reksa

• Suatu cara dikatakan fair dalam masalah Adi dan Ani di atas, jika dengan cara tersebut Adi dan Ani mempunyai kesempatan yang sama untuk mendapatkan giliran menggunakan komputer terlebih dahulu. Untuk mengetahui cara yang digunakan tersebut fair atau tidak, kalian bisa melakukan percobaan dengan mengikuti langkah-langkah berikut.

​

Dafa Bintang Reksa

Alat dan bahan:

a. Satu koin.

b. Tiga kelereng (warna merah, kuning, dan hijau) dalam satu kantong terbungkus rapi.

c. Satu dadu.

​

1. Lakukan percobaan:

a. Melemparkan satu koin sebanyak (minimal) 50 kali.

b. Ambil satu kelereng dari dalam kantong dengan mata tertutup sebanyak (minimal) 60 kali.

c. Gelindingkan dadu sebanyak (minimal) 120 kali.

2. Amati hasil yang didapatkan dalam setiap kali percobaan.

3. Agar catatan kalian rapi gunakan tabel seperti berikut.

​

Dafa Bintang Reksa

Dafa Bintang Reksa

Dafa Bintang Reksa

Dafa Bintang Reksa

• Pada kolom keempat rasio (hasil bagi) frekuensi terhadap banyaknya percobaan untuk selanjutnya disebut peluang empirik. Banyak situasi dalam kehidupan sekitar kita yang menuntut kita untuk membuat keputusan fair. Untuk membuat keputusan yang fair kalian harus menggunakan cara yang fair juga. Pada konteks di atas telah disajikan tiga benda, yaitu koin, kelereng, dan dadu untuk membantu membuat keputusan fair. Masih banyak benda di sekitar kalian yang bisa digunakan untuk membantu membuat keputusan yang fair.

​

Dafa Bintang Reksa

Ayo Kita Berlatih

1. Suatu ketika Rohim merencanakan untuk menemui dua teman lamanya Wachid dan Dani. Rohim bingung untuk memutuskan teman manakah yang akan ditemui lebih dahulu. Dia memutuskan “Jika saya mendapati lampu merah pada rambu lalu lintas di depan, saya akan menemui Wachid lebih dahulu. Jika selain itu, saya akan menemui Dani lebih dahulu”. Lampu merah menyala selama 30 detik, lampu hijau menyala selama 27 detik, dan lampu kuning menyala selama 3 detik. Ketiga warna lampu tersebut berganti warna secara bergantian. Berikan komentar kalian, apakah cara yang digunakan Rohim tersebut fair atau tidak.

Dafa Bintang Reksa

2. Jelaskan di antara benda-benda berikut yang bisa digunakan untuk memutuskan suatu hal yang melibatkan dua orang secara fair. Jika bisa jelaskan penyebabnya. Jika tidak bisa bagaimana caranya agar fair?

a. Koin (sisi angka dan gambar).

b. Kantong berisi 3 kelereng berbeda warna.

c. Dadu (6 sisi).

d. Kantong berisi 8 kelereng berwarna berbeda.

e. Spinner dengan 12 bagian (juring dengan ukuran sama, tetapi warna berbeda).

​

Dafa Bintang Reksa

3. Eva melakukan percobaan penggelindingan dadu, kemudian mencatatnya sebagai berikut.

Percobaan penggelindingan dadu

a. Berapa kali Eva melakukan percobaan penggelindingan dadu?

b. Eva mengatakan “jika saya menggelindingkan dadu sekali lagi, maka peluang munculnya mata dadu 3 lebih besar dari pada mata dadu 4”. Setujukah kalian dengan perkataan Eva tersebut? Jelaskan.

c. Dengan menggunakan dadu yang sama dengan Eva, Evi melakukan percobaan menggelindingkan dadu sebanyak 6 kali. Bagaimanakah kemungkinan di antara 6 percobaan tersebut hasilnya mata dadu 3?

d. Andaikan Evi melakukan percobaan sebanyak 18 kali, berapakah perkiraan kalian hasilnya adalah mata dadu 3?

​

Dafa Bintang Reksa

4. Suatu ketika guru matematika mengadakan seleksi siswa untuk mewakili sekolah Cendekia. Siswa yang bisa dikirimkan hanya siswa kelas VII. Beliau memutuskan untuk memilih 3 orang dari tiap-tiap kelas VII paralel yang ada di sekolah. Berikut disajikan data jumlah siswa dalam kelas VII.

a. Berikan komentar kalian, apakah cara yang dilakukan guru matematika tersebut fair?

b. Andaikan kalian sangat ingin lulus seleksi. Dan kalian bisa memilih ikut seleksi di kelas mana saja. Manakah kelas yang kalian pilih? Mengapa kelas itu yang kalian pilih?

​

Dafa Bintang Reksa

Kuota Peserta Olimpiade

5. Dalam suatu percobaan penggelindingan dadu (mata dadu 1, 2, 3, 4, 5, dan 6) sebanyak 1 kali, tentukan:

a. kejadian muncul mata dadu antara 1 sampai 6,

b. kejadian muncul mata dadu 7, dan

c. kejadian muncul mata dadu 5.

Dafa Bintang Reksa

6. Perhatikan beberapa kejadian berikut. Tentukan kejadian mana yang menurut kalian tidak mungkin terjadi (mustahil), mungkin terjadi, dan pasti terjadi. Dengan menerapkan prosedur saintifik (mengamati, menanya, menggali informasi, menalar, berbagi) silakan lengkapi tabel berikut.

Jika tiga kondisi tersebut (mustahil, mungkin, pasti) direpresentasikan dalam persentase, tentukan bilangan persentase yang sesuai dengan tiap-tiap kondisi tersebut. Jelaskan.

​

Dafa Bintang Reksa

7. Pada beberapa situasi berikut, tentukan situasi yang fair (atau tidak fair). Jelaskan.

a. Suatu kantong berisi 10 kelereng merah dan 10 kelereng putih. Azin disuruh mengambil satu kelereng dari dalam kantong. Jika Azin mendapatkan kelereng merah, dia bisa mendapatkan hadiah sepeda baru dari ibunya. Jika Azin mendapat kelereng merah ia tidak mendapat hadiah.

b. Suatu dadu memiliki 6 sisi (1, 2, 3, 4, 5, dan 6). Dadu tersebut digunakan mengundi siapa yang berhak memilih gawang dalam permainan sepak bola. Jika yang muncul adalah mata dadu 1 atau 6, maka tim A berhak memilih gawang lebih dulu. Jika selain itu, tim B yang berhak memilih gawang.

​

Dafa Bintang Reksa

8. Suatu spinner dibuat seperti pada gambar di samping. Apakah spinner tersebut bisa digunakan untuk mengambil keputusan dengan fair yang melibatkan masalah antara dua orang? Jelaskan.

9. Suatu tutup botol seperti pada gambar di samping digunakan untuk mengundi regu yang berhak memilih bola terlebih dahulu dalam suatu permainan sepak bola. Apakah tutup botol fair untuk membuat suatu keputusan? Jelaskan.

Dafa Bintang Reksa

10. Pada percobaan pelemparan satu koin uang logam (sisi angka dan gambar) sebanyak 100 kali, muncul sisi angka sebanyak 45 kali. Tentukan:

a. Peluang empirik muncul sisi angka,

b. Peluang empirik muncul sisi gambar.

11. Pada percobaan penggelindingan dadu sebanyak 180 kali, mata dadu “2” muncul sebanyak 30 kali. Berapakah peluang empiriknya?

12. Pada percobaan pengambilan satu kelereng dari dalam kantong yang berisi 4 kelereng berwarna hitam, putih, kuning, dan biru, didapatkan hasil sebagai berikut:

- Kelereng hitam 22 kali.

- Kelereng putih 26 kali.

- Kelereng biru 24 kali.

Jika percobaan dilakukan sebanyak 100 kali, tentukan:

a. peluang empirik kejadian terambil kelereng putih,

b. peluang empirik kejadian terambil kelereng kuning, dan

c. peluang empirik kejadian terambil selain kuning.

​

Dafa Bintang Reksa

13. Berapakah perkiraanmu akan muncul mata dadu “3”, saat dilakukan percobaan penggelindingan sebuah dadu sebanyak 360 kali?

14. Dadu kuning dan biru digelindingkan bersama-sama.

a. Tentukan n(A) untuk A kejadian muncul mata dadu 1 pada dadu kuning dan mata dadu ganjil pada dadu biru.

b. Sebutkan semua titik sampel kejadian jumlah mata dadu kuning dan biru adalah 6.

15. Peluang muncul angka atau gambar dari pelemparan sebuah mata uang logam adalah sama.

a. Berapakah frekuensi harapan muncul angka jika uang itu dilempar 100 kali?

b. Berapakah frekuensi harapan muncul angka jika uang itu dilempar 150 kali?

Frekuensi harapan kejadian A yang dilakukan sebanyak N kali percobaan, biasanya dirumuskan dengan

Fh(A) = P(A) × N, P(A) = Peluang kejadian A

​

Dafa Bintang Reksa

Dafa Bintang Reksa

10.2 Peluang Teoretik

Dafa Bintang Reksa

Ayo Kita Amati

• Pada Tabel 10.1, kejadian yang hanya memuat satu hasil (titik sampel) disebut kejadian dasar. Kejadian yang tidak memuat titik sampel disebut kejadian mustahil, peluangnya sama dengan nol atau dengan kata lain tidak mungkin terjadi.

​

Dafa Bintang Reksa

Berikut disajikan ruang sampel percobaan pelemparan koin uang logam yang mempunyai dua sisi, yaitu A (Angka) dan G (Gambar) .

1. Jika kita melempar satu koin sebanyak satu kali, kemungkinan hasilnya adalah angka atau gambar, ditulis {A, G}.

2. Jika kita melempar dua koin (koin merah dan kuning) sebanyak satu kali, maka ada empat kemungkinan hasil: {AA, AG, GA, GG}

Diagram pohon berikut menghubungkan kemungkinan hasil pada koin merah dengan koin kuning.

​

Dafa Bintang Reksa

Selain menggunakan diagram pohon bisa juga digunakan tabel seperti berikut.

Titik sampel AA bermakna bahwa kedua koin menghasilkan kejadian sisi Angka.

Apakah makna titik sampel AG ?

Jika kita melempar tiga koin (warna merah, kuning, dan hijau) satu kali, maka ruang sampelnya adalah: {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}.

​

Dafa Bintang Reksa

Dengan diagram pohon

Apakah makna titik sampel GGA?

Untuk menentukan banyak titik sampel eksperimen suatu eksperimen bisa menggunakan fundamental counting principle (Prinsip dasar perhitungan).

Misal eksperimen tiga koin uang logam.

​

​

Dafa Bintang Reksa

Ayo Kita Berlatih

1. Tentukan banyak titik sampel dari ruang sampel eksperimen:

a. 2 dadu

b. 1 koin 1 dadu

c. 2 koin 1 dadu

2. Sebuah dadu digelindingkan sekali. Berapa peluang kejadian:

a. mata dadu kelipatan tiga?

b. mata dadu bukan kelipatan tiga?

​

Dafa Bintang Reksa

3. Dadu merah dan putih digelindingkan sekali. Berapakah peluang kejadian:

a. komplemen mata dadu kembar?

b. jumlah mata dadu 7?

c. jumlah mata dadu 8?

d. jumlah mata dadu kurang dari 7?

e. jumlah mata dau tidak kurang dari 7?

4. Dalam suatu ruangan ada suatu komputer yang bisa digunakan oleh Yessi, Ratna, dan Rohim selama 3 jam. Mereka berencana untuk mengundi giliran agar setiap anak bisa menggunakan komputer tersebut masing-masing 1 jam, dengan sebuah dadu. Menurutmu apakah alat yang digunakan untuk mengundi tersebut cocok? Jika tidak, Jelaskan alasanmu. Jika iya, jelaskan caranya.

​

Dafa Bintang Reksa

5. Suatu ketika Okta dan adiknya yang bernama Dina berebut remote control TV. Mereka mempunyai pilihan siaran berbeda pada saat yang sama. Saiful mempunyai ide untuk mengundi dengan menggunakan dadu. Jika yang muncul adalah mata dadu 1, yang berhak adalah Dina. Jika selain itu, yang berhak adalah Okta. Sedangkan Dina mengusulkan untuk menggunakan dua koin uang logam. Jika yang muncul adalah mata dadu kembar, yang berhak adalah Okta. Jika selain itu, yang berhak adalah Dina. Berikan pendapatmu, cara manakah yang menurutmu adil? Jelaskan.

​

Dafa Bintang Reksa

6. Restoran “D' Resto” menyediakan menu masakan sebagai berikut.

Berapakah banyak menu yang bisa dibuat oleh Restoran “D' Resto” tersebut? Daftar semua menunya.

​

Dafa Bintang Reksa

10.3 Hubungan Peluang Empirik dan Teoretik

Suatu ketika Ameliya, Budi, Citra, Dana, Erik, dan Fitri mendapat tugas kelompok dari gurunya untuk menemukan peluang empirik suatu percobaan. Mereka melakukan percobaan dengan menggelindingkan satu dadu sebanyak 120 kali. Mereka membagi tugas untuk mencatat kemunculan mata dadu hasil penggelindingan.

Ameliya betugas mencatat setiap mata dadu “1” yang muncul.

Budi betugas mencatat setiap mata dadu “2” yang muncul.

Citra betugas mencatat setiap mata dadu “3” yang muncul.

Dana betugas mencatat setiap mata dadu “4” yang muncul.

Erik betugas mencatat setiap mata dadu “5” yang muncul.

Fitri betugas mencatat setiap mata dadu “6” yang muncul.

Setelah menggelindingkan sebanyak 120 kali, mereka merekap catatan mereka dalam suatu tabel. Berikut Tabel 10.2 yang menyajikan hasil percobaan mereka.

​

Dafa Bintang Reksa

Dafa Bintang Reksa

• Dari data Tabel 10.2 kita dapat membuat diagram yang menyajikan peluang empirik kejadian A sebagai berikut.
• Jika kita amati Gambar 10.3 nilai peluang empirik mendekat pada suatu garis konstan yang nilainya yaitu ....

​

Dafa Bintang Reksa

Ayo Kita Berlatih

1. Pada percobaan penggelindingan dadu sebanyak 100 kali, mata dadu “3” muncul sebanyak 30 kali. Berapakah peluang empiriknya?

2. Berapakah perkiraanmu akan muncul mata dadu “3”, saat dilakukan percobaan penggelindingan sebuah dadu sebanyak 100 kali?

3. Pada percobaan pelemparan dua koin uang logam sebanyak 100 kali, muncul pasangan mata koin sama sebanyak 45 kali. Berapakah peluang empirik muncul selain itu?

Dafa Bintang Reksa

4. Suatu percobaan mengguanakan spin yang terbagi tiga sama berdasarkan juringnya, masing-masing juring berwana merah, kuning, dan hijau. Percobaan dilakukan sebanyak 35 kali. Bagian yang berwarna kuning tertunjuk oleh panah sebanyak sebanyak 10 kali. Tentukan peluang empirik panah menunjuk ke bagian berwarna merah.

5. Suatu ketika Riko melakukan percobaan penggelindingan suatu dadu sebanyak sekian kali. Karena suatu keteledoran data yang ditulis tertutup oleh tumpahan tinta, seperti pada gambar berikut.

​

​

Perkirakan bilangan yang tertutup oleh tinta. Jelaskan alasan perkiraan mu

​

Dafa Bintang Reksa

6. Suatu ketika Tohir melakukan percobaan penggelindingan dadu khusus (banyak sisinya belum tentu enam) sebanyak 1.000 kali.

Dia hanya mencatat kejadian munculnya mata dadu 1 pada setiap penggelindingan. Beberapa hasilnya disajikan seperti berikut.

​

​

​

​

a. Menurutmu, berapakah banyak sisi dadu khusus tersebut? Jelaskan.

b. Perkirakan, berapa banyak kali mata dadu 1 muncul pada penggelindingan ke-1.000?

c. Perkirakan, berapa banyak kali Tohir menggelindingkan hingga mencatat kemunculan mata dadu 1 sebanyak 30 kali? Jelaskan.

​

Dafa Bintang Reksa

7. Nunik melakukan percobaan pemutaran spinner dengan 4 warna yang tidak sama luas. Setelah melakukan percobaan sebanyak 25 kali didapatkan hasil sebagai berikut.

​

​

​

a. Perkirakan bagaimana spinner yang digunakan percobaan oleh Nunik.

b. Jika Nunik melakukan percobaan sebanyak 100 kali, kira-kira berapakali jarum spinner menunjuk ke warna putih? Jelaskan.

​

Dafa Bintang Reksa

Dafa Bintang Reksa

10. Andaikan kalian adalah manager TIMNAS INDONESIA U-19. Suatu ketika TIMNAS bertanding di Final piala ASIA melawan MALAYSIA. Suatu ketika saat pertandingan sedang berjalan, pada menit ke-89 TIMNAS mendapatkan hadiah PENALTI. Skor sementara adalah 2 – 2. Pemain yang siap menendang adalah EVAN DIMAS, ILHAM, MALDINI, dan MUCHLIS. Seandainya kamu disuruh untuk menentukan penendang penalti tersebut, siapakah yang akan kalian tunjuk agar TIMNAS meraih kemenangan? Berikut catatan tendangan penalti keempat pemain tersebut.

​

Dafa Bintang Reksa

11. Suatu kantong berisi 2 kelereng merah, 3 kelereng putih, dan 5 kelereng biru. Kemudian diambil sebuah kelereng dari kantong itu.

a. Tentukan peluang terambil kelereng merah.

b. Tentukan peluang terambil kelereng putih.

c. Tentukan peluang terambil kelereng bukan biru (biru komplemen).

​

Dafa Bintang Reksa

Sekian

Dafa Bintang Reksa