Середня лінія трикутника, її властивості
Ольга ФЕНЕНКО
Означення середньої лінії та її властивість
Середньою лінією трикутника називають відрізок, який сполучає середини двох його сторін.
Теорема 1 (властивість середньої лінії трикутника).
Середня лінія трикутника, що сполучає середини двох сторін, паралельна третій стороні і дорівнює її половині.
Приклад 1. Периметр трикутника ABC дорівнює Р. Знайти периметр трикутника, сторонами якого є середні лінії трикутника ABC.
Приклад 2. Довести, що середини сторін чотирикутника є вершинами паралелограма, один з кутів якого дорівнює куту між діагоналями чотирикутника.
2) Отже, KL ‖ MN, KL = MN. Тоді KLMN – паралелограм (за ознакою паралелограма).
3) KN – середня лінія трикутника ABD.
Тому KL ‖ BD.
Отже, KFOP – також паралелограм, звідки:
∠NKL = ∠BOA.
Доведено.
Властивість медіан трикутника
Теорема 2 (властивість медіан трикутника).
Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.
4) Отже, DT ‖ KL і DT = KL. Тому DTKL – паралелограм (за ознакою).
5) M – точка перетину діагоналей TL і DK паралелограма DTKL, тому MT = ML, DM = MK. Але MT = BT, DM = AD. Тоді BT = TM = ML і AD = DM = MK. Отже, точка M ділить кожну з медіан AK і BL у відношенні 2 : 1, починаючи від вершин A і B відповідно.
Властивість медіан трикутника
Теорема 2 (властивість медіан трикутника).
Медіани трикутника перетинаються в одній точці, яка ділить кожну з них у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.
Доведення.
6) Точка перетину медіан AK і CN має також ділити у відношенні 2 : 1 кожну медіану. Оскільки існує єдина точка – точка M, яка в такому відношенні ділить медіану AK, то медіана CN також проходить через цю точку.
7) Отже, три медіани трикутника перетинаються в одній точці й цією точкою діляться у відношенні 2 : 1, починаючи від вершини трикутника.
Доведено.
Точка перетину медіан ще називають центром мас трикутника, або центроїдом трикутника.
№ 9.1. (Усно.) Які відрізки на малюнку є середніми лініями трикутника ABC, де AM = MB, BK = KC, AL = LC?
Середні лінії трикутника: MK; ML.
№ 9.2. Накресліть довільний тупокутний трикутник MNK і його найбільшу середню лінію.
M
N
K
A
B
Найбільша середня лінія трикутника MNK: AB.
№ 9.4. KL – середня лінія трикутника АВС.
1) АВ = 16 см. Знайдіть KL;
2) KL = 5 дм. Знайдіть АВ.
№ 9.6. Відрізок, що сполучає середини бічних сторін рівнобедреного трикутника, дорівнює 7 см. Знайдіть основу трикутника.
A
B
C
K
L
№ 9.8. Знайдіть периметр трикутника, якщо його середні лінії дорівнюють 7 см, 8 см і 10 см.
A
C
B
K
L
M
A
C
B
E
D
Доведення
∠ CED = ∠ CAB – як відповідні кути при ED ‖ AB і січній AC.
Доведено.
№ 9.11. (Усно.) Визначте вид трикутника, якщо:
1) Дві його середні лінії рівні між собою;
Якщо рівні дві середні лінії, то рівні дві сторони.
Отже, трикутник рівнобедрений.
2) Три його середні лінії рівні між собою.
Якщо рівні три середні лінії, то рівні три сторони.
Отже, трикутник рівносторонній.
№ 9.12. Дано трикутник, периметр якого дорівнює 24 см. Знайдіть периметр трикутника, вершини якого є серединами сторін цього трикутника.
A
C
B
K
L
M
№ 9.14. Сторони трикутника відносяться як 4 : 3 : 5. Знайдіть його сторони, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями заданого трикутника, дорівнює 60 см.
A
C
B
K
L
M
№ 9.16. Сторона трикутника дорівнює 10 см, а одна із середніх ліній – 6 см. Знайдіть дві інші сторони трикутника, якщо одна з них у 1,5 раза більша за другу. Скільки випадків слід розглянути?
A
C
B
K
L
№ 9.17. E, F, G, H – середини сторін AB, BC, CD і DA опуклого чотирикутника ABCD. Знайдіть периметр чотирикутника EFGH, якщо AC = 16 см, BD = 10 см.
A
B
C
E
F
D
G
H
Фізкультхвилинка
№ 9.19. О – точка перетину діагоналей ромба ABCD. Точки M і K – середини сторін AD і DC відповідно. Доведіть, що MK ⊥OD.
A
C
B
O
D
M
K
L
№ 9.21. Доведіть, що коли два трикутники рівні, то рівні й трикутники, вершинами яких є середини сторін цих трикутників.
A
C
B
K
L
M
A
C
B
K
M
L
№ 9.24. Доведіть, що середини сторін ромба є вершинами прямокутника.
A
C
B
N
D
M
K
L
O
F
P
№ 9.25. У рівнобедреному трикутнику ABC (AB = AC) M – точка перетину медіан. Відомо, що AM = 8 см. Знайдіть відстань від середини бічної сторони до основи трикутника.
A
C
B
K
M
L
N
Рефлексія
«Плюс – мінус – цікаво»
Все, що сподобалось на уроці, що здавалося цікавим та корисним.
Все, що не сподобалось, здавалося важким, незрозумілим та нудним.
Факти, про які дізналися на уроці, що б ще хотіли дізнатися.