Moto circolare
Moto circolare uniforme e uniformemente accelerato
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damiano carlesso
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
Moto circolare uniforme
si definisce moto circolare uniforme il moto di un punto materiale che descrive una traiettoria circolare con velocità in modulo costante
Definizioni
r
ma non in direzione; il moto è perciò accelerato!
la velocità è sempre tangenziale, costante in modulo
Periodo
si definisce periodo T il tempo impiegato per eseguire un giro completo
Frequenza
si definisce frequenza f il numero di giri compiuti nell’unità di tempo.
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
la velocità angolare
Risulta più conveniente individuare la posizione di un punto sulla circonferenza usando un angolo
O
nel S.I. le unità
di misura sono:
1 rad
r
r
r
1 radiante è l’angolo al centro di una circonferenza che sottende un arco pari al raggio.
1 rad = 57°, 975 ...
è adimensionale
si definisce velocità angolare media il rapporto:
e da questa quella istantanea
per
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
relazioni tra i parametri del moto circolare
O
1
2
3
La velocità tangenziale si collega facilmente al periodo T e alla frequenza f
In modo simile, ricordando la definizione di velocità angolare:
otteniamo:
v1 = 2 m/s
v2 = 4 m/s
v3 = 6 m/s
Esempio:
r1 = 1 m
r2 = 2 m
r3 = 3 m
La velocità tangenziale e angolare sono direttamente proporzionali.
Confrontando le due relazioni appena trovate otteniamo:
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
l’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme 1/2
Il moto circolare uniforme è un moto accelerato.
Ricordiamo la definizione di accelerazione media
per
il vettore
risulta perpendicolare al vettore
e
perciò la quantità
è diretta lungo il raggio
l’accelerazione istantanea, detta accelerazione centripeta è quindi radiale
per
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
l’accelerazione centripeta del moto circolare uniforme 2/2
E’ possibile dimostrare che:
circonferenza
di raggio
Consideriamo la posizione di un punto in due istanti successivi molto vicini
ricordando che in una circonferenza:
da cui l’arco
confondendo la corda con l’arco:
possiamo infine ricavare:
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
dinamica del moto circolare uniforme: forza centripeta
Per mantenere una massa m in moto circolare uniforme è necessaria una forza centripeta
Poniamo una massa m nel punto che esegue il moto circolare uniforme.
Alcuni esempi:
μ = 0
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
forze apparenti: la forza centrifuga
S
La forza centrifuga è una forza che appare agire su di un corpo che si muove di moto circolare, quando tale moto viene osservato in un sistema di riferimento ad esso solidale (non inerziale).
Esempio: corpo fissato ad una molla su piattaforma rotante
Rispetto al sistema di riferimento in rotazione, il corpo ha un’accelerazione opposta a quella centripeta
S’
S
S’
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
moto circolare in un piano verticale
Analizziamo nel dettaglio il moto di un corpo di massa m fissato ad una fune che ruota in un piano verticale.
Nella posizione A la forza centripeta
è data da
Nella posizione B la forza centripeta
è data da
La tensione non potrà essere nulla ..
A
B
Si dimostra che se
allora la tensione si annulla.
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
moto circolare uniformemente accelerato
Si definisce moto circolare uniformemente accelerato il moto di un punto che percorre una traiettoria circolare con accelerazione tangenziale costante
Le equazioni del moto sulla circonferenza sono:
arco percorso
velocità tangenziale
se esiste una velocità iniziale
grandezze
lineari
angolari
dove
acc. angolare
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
momento di una forza rispetto ad un punto
La direzione
e il verso del
momento della
forza si trovano
con la regola
della mano destra
La dinamica del moto circolare uniformemente
accelerato usa il concetto di momento di una forza
Dato un punto O e una forza
si definisce momento della forza
rispetto al punto O la grandezza vettoriale
O
dove __è il vettore che va da O al punto di applicazione della forza.
di modulo
O
è il braccio della forza
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
momento di una forza rispetto ad un asse
Esempio
O
O’
O
La rotazione di un corpo può avvenire anche attorno ad un asse fisso OO’.
La definizione di momento della forza è ancora
ma questa volta la direzione del vettore coincide con quella dell’asse OO’
R
il momento di P sarà
di modulo
il braccio
della forza*
O’
O
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
dinamica del moto circolare uniformemente accelerato
Nel moto circolare uniformemente accelerato�abbiamo due forze: centripeta e tangenziale
La dinamica di una massa m dipende perciò da una forza totale
Si dimostra che
La dinamica sarà perciò
( I momento d’inerzia di m )
posto
essendo infatti
otteniamo
moltiplicando per r e ricordando che
otteniamo:
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
dinamica di una rotazione: il momento d’inerzia
Confrontiamo la relazione
m esprime l’inerzia alla traslazione
I=mr2 esprime l’inerzia alla rotazione
E’ possibile definire il momento d’inerzia di �un corpo rigido così:
r
1
r
3
r
2
m
2
m
1
m
3
l
R
R
Esempi:
con la relazione
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
Steiner: momento d’inerzia rispetto ad un asse non baricentrico
Esempi:
Se il corpo non ruota intorno ad un asse baricentrico si usa il teorema di Steiner
dove D è la distanza tra gli assi
R
R
D
D
l
D
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
Esempio: rotazione di un disco prodotta da una forza costante
Consideriamo un disco di massa m1 e raggio R trascinato da un corpo di massa m2
R
Il disco e il corpo hanno la stessa accelerazione!
m
1
m
2
dove
Dinamica del corpo:
che si riscrive così
sostituendo e semplificando R:
Dinamica del disco:
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
momento della quantità di moto (momento angolare)
Analogamente alla quantità di moto è possibile
definire per la dinamica delle rotazioni il
momento della quantità di moto
essendo ___ il vettore che va da O al punto di applicazione della qdm.
Dato un punto O e una massa m con
si definisce momento della quantità di moto
rispetto al punto O la grandezza vettoriale
La direzione
e il verso del
momento della
qdm si trovano
con la regola
della mano destra
O
O
di modulo
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
momento della quantità di moto: esempi
Momento della quantità di moto di un proiettile rispetto a un punto O:
moto rettilineo
90°
Momento della quantità di moto di un
punto materiale che esegue un moto circolare uniforme:
moto circolare
O
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
momento della quantità di moto e momento d’inerzia
90°
Consideriamo ancora un punto materiale che esegue un moto circolare uniforme:
Questa relazione può essere applicata anche ai corpi rigidi estesi utilizzando il loro momento d’inerzia relativo all’asse di rotazione.
R
per una sfera che ruota attorno ad un asse baricentrico:
R
D
per una sfera che ruota attorno ad un asse tangente:
dunque:
( in analogia con ______)
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
momento della forza e variazione del momento della qdm
Possiamo riscrivere il 2° principio della dinamica per le rotazioni in modo analogo a quanto fatto per le traslazioni. Procediamo in parallelo:
consideriamo la relazione
usando per
l’accelerazione
otteniamo
usando le
definizioni ..
otteniamo
Il prodotto del momento di una forza per il suo tempo di azione è uguale alla variazione del momento della quantità di moto (momento angolare).
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
Principio di conservazione del momento della qdm
Riprendiamo l’ultima relazione scritta:
per un sistema dinamicamente isolato
perciò
si conserva
La relazione trovata può
essere così riscritta:
...
otteniamo
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
Lavoro ed energia cinetica del moto circolare
L’energia cinetica di un punto materiale che ruota su una circonferenza di raggio r sarà:
Ricordando che
Questa relazione vale anche per un corpo rigido di massa m in rotazione attorno ad un asse.
R
per una sfera:
L’analogia tra le grandezze lineari e quelle angolari permette di dedurre facilmente la relazione tra lavoro W e variazione dell’energia cinetica anche per il moto circolare:
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
Applicazione: rotolamento da un piano inclinato
Un cubo, una sfera e un cilindro di uguale massa scendono da un piano inclinato di altezza h.
Il cubo scivola senza rotolare (non c’è attrito)
La sfera e il cilindro scendono rotolando.
Calcoliamo la velocità alla fine del piano inclinato applicando la conservazione dell’energia meccanica.
Per il cubo:
otteniamo
Per la sfera:
ricordando che
e
Per il cilindro, con
otteniamo
sostituendo, otteniamo
2°
3°
1°
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
corrispondenza tra moto rettilineo e moto circolare 1/2
moto rettilineo
moto circolare
velocità (tangenziale)
spazio (arco) percorso
accelerazione (tangenziale)
velocità angolare
accelerazione angolare
angolo descritto
velocità
media
accelerazione
media
moto rettilineo uniformemente accelerato
moto circolare uniformemente accelerato
velocità �angolare media
accelerazione
angolare media
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
corrispondenza tra moto rettilineo e moto circolare 2/2
moto rettilineo
moto circolare
momento d’inerzia
massa inerziale
dinamica traslazione
quantità di moto
forza
momento di una forza
energia cinetica
energia cinetica
di rotazione
lavoro di una forza
dinamica rotazione
momento angolare
dinamica traslazione
dinamica rotazione
lavoro di un momento di una forza
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M3 moto circolare
Comportamento della moto in curva
B
Il sistema moto+pilota non può essere considerato una massa puntiforme.
E’ un corpo (rigido) esteso che può ruotare attorno al punto di contatto pneumatico-asfalto.
Il sistema è in equilibrio (non ruota) se la direzione della reazione vincolare totale passa per il baricentro
La componente x della reazione vincolare è la forza di attrito cioè la forza centripeta
La componente y della reazione vincolare è uguale e opposta alla forza peso
otteniamo:
dati: massa m, raggio curva r, coef. attrito k
l’angolo di inclinazione per affrontare la curva di raggio r a velocità v
dove
B
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Secondo Biennio
M3 moto circolare
il moto circolare uniforme
e uniformemente accelerato
accatagliato.it
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Secondo Biennio
M3 moto circolare