Тема уроку:
Функція �y = ax2+bx+c, �її графік і властивості
1)
2)
3)
1)
3)
2)
4)
1)
2)
3)
4)
5)
Усні вправи
1. Означення квадратичної функції.
2. Графік квадратичної функції.
3. Властивості функції
4. Способи побудови графіка функції
- за допомогою відповідних перетворень графіка функції
- за координатами вершини параболи та координатами ще декількох точок параболи.
План вивчення нового матеріалу
Квадратичною функцією називають функцію, яку можна задати формулою y = x2 + bx + c, де х – незалежна змінна, a,b і c – деякі числа, причому a ≠ 0.
Наприклад:
- квадратичні функції
1. Означення квадратичної функції
З функцій виберіть квадратичну
вгору, якщо a > 0
вниз, якщо a < 0
2
1
0
x
-1
-2
-1
y
1
2
1
0
-1
-2
-1
y
1
Графік квадратичної функції — парабола, вітки якої напрямлені
Координати вершини (x0; y0) параболи графіка y = ax2 + bx + c обчислюються за формулами:
або
2. Графік квадратичної функції
2
1
0
x
-1
-2
-3
-4
-3
-2
-1
y
1
2
3
У функції у = х2 + 2х – 3, яка є квадратичною, графік – парабола. Вітки параболи напрямлені вгору (а = 1 > 0), а координати вершини :
Тобто вершина параболи ( -1; - 4).
Приклад
3. Властивості квадратичної функції
| а > 0 | а < 0 |
1. | | |
2. | | |
| | |
| ||
3. | | |
Область визначення функції: D (y) = R
Область значення функції:
E(y) = [y0; + ∞)
E(y) = (+ ∞; y0]
( y0 – ордината вершини параболи)
Координати вершини параболи:
0
x
y
y0
x0
y
y0
x0
0
x
4. Проміжки зростання та спадання функції
а > 0 | а < 0 |
| |
х ∈ [х0 ; + ∞) | х ∈ ( − ∞ ; х0] |
| |
х ∈ ( − ∞ ; х0] | х ∈ [х0 ; + ∞) |
(x0 – абсциса вершини параболи) | |
Функція зростає, якщо:
Функція спадає, якщо:
5. Нулі функції – ті значення х, при яких функція приймає значення рівне 0
a > 0 | a < 0 |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
| |
x
x1
x2
x
x1
x2
x
x1 = x2
x1 = x2
x
x
x
6. Найбільше та найменше значення функції
ymin = y0 , ymax – не існує
ymax = y0 , ymin – не існує
7. Проміжки знакосталості функції
a > 0 | a < 0 |
x
x1
x2
+
+
x1 = x2
x
+
+
x
+
x
x1
x2
+
x
x1 = x2
x
Приклад.
На рисунку зображено параболу, яка є графіком деякої квадратичної функції y=ax2+bx+c. Вкажіть:
4
3
2
1
0
x
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
y
1
2
3
4
0
x
y
n
m
A(m; n)
4. Способи побудови графіка квадратичної функції
1. За допомогою відповідних перетворень графіка функції у=х2
Виділимо із тричлена ах2 + bx + c квадрат двочлена:
Отже, графік функції y = ax2+bx +c можна одержати із графіка функції y = x2, потім її розтягнення (або стягнення) до параболи y = ax2.
Потім виконати паралельне перенесення y = ax2 вздовж осі Ох на – m одиниць.
Вздовж осі Оу на n одиниць
8
7
6
5
4
3
2
1
0
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
6
y
x
Приклад. Побудувати графік функції:
Виділимо квадрат двочлена із квадратного тричлена:
Отже, y = (x – 3)2 – 4
Будуємо графік функції y = x2,
а потім паралельним перенесенням на три одиниці праворуч
і на чотири одиниці вниз отримаємо графік функції , тобто
3
2
1
0
x
-1
-2
-3
-2
-1
y
1
2
O (x0; y0)
2. За координатами вершини параболи та координатами ще декількох точок параболи.
1. Визначити напрям віток параболи.
6
5
4
3
2
1
0
x
-2
-1
y
1
2
a > 0
0
x
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-2
-1
y
1
2
a < 0
2. Знайти координати вершини параболи О(х0;у0)
Провести вісь симетрії через точку х0 паралельно осі Оу
0
x
y
x1
O(x0; y0)
x2
0
x
y
O(x0; y0)
(x1; 0)
(x2; 0)
(0; y1)
2. За координатами вершини параболи та координатами ще декількох точок параболи.
3. Визначити точки перетину графіка функції з віссю Ох, тобто знайти нулі функції.
4. Відмічаємо знайдені точки на координатній площині, й сполучаємо їх плавною лінією
4
3
2
1
0
-1
-4
-3
-2
-1
y
1
2
x
Приклад. Побудувати графік функції:
1. Оскільки а = 1 > 0, то вітки параболи напрямлені вгору.
2. Знаходимо координати вершини параболи та проводимо вісь симетрії:
3. Знаходимо нулі функції: у = 0;
х2 + 4х + 3 = 0; х1 = -3; х2 = -1
Знаходимо точку перетину параболи з віссю Оу: х = 0; тоді у = 3
4. Відмічаємо знайдені точки на координатній площині, й сполучаємо їх плавною лінією.
4
3
2
1
0
x
-1
-2
-3
-4
-4
-3
-2
-1
y
1
2
3
4
Приклад. Побудувати графік функції:
1. Оскільки а = - 1 < 0, то вітки параболи напрямлені вниз.
2. Знаходимо координати вершини параболи та проводимо вісь симетрії:
3. Знаходимо нулі функції: у = 0;
-х2 - 2х + 3 = 0; х1 = -3; х2 = 1
Знаходимо точку перетину параболи з віссю Оу: х = 0; тоді у = 3
4. Відмічаємо знайдені точки на координатній площині, й сполучаємо їх плавною лінією.