Tallfølger og rekker
Kjetil Liestøl Nielsen
Førsteamanuensis
Institutt for matematikk og naturfag
Tallfølger og rekker
1
12.07.2018
Dagens tema
I dag skal vi bruke Socrative. Logg inn på
https://b.socrative.com/login/student/
med koden 19ogekso.
Læringsutbytter:
Fra MG2MA1 - figurtall
Tallfølger
Vi så at kvadrattallene dannet en liste av tall:
1, 4, 9, 16,...
Vi kaller dette for en “tallfølge” eller bare “følge”.
Dette er et eksempel på en uendelig tallfølge, dvs. en liste av tall som aldri stopper.
Det allmenne leddet
Man kan skrive en følge på mer kompakt måte:
Her kaller vi for det “allmenne leddet”. Når vi skriver lar vi n starte på 1 og øker med n med 1 for hvert ledd.
Vi kan også spesifisere hva n skal starte på og hva den skal slutte på, f.eks.
Her starter n på 2 og slutter på 5. Dersom ikke noe er spesifisert, er det underforstått at følgen starter med n = 1 og der n øker med 1 for hvert ledd i det uendelige.
Det allmenne leddet
Generelt sett kan vi skrive en tallfølge på formen
I forrige eksempel hadde vi
Annet eksempel:
Eksempel
Finn det allmenne leddet i følgen:
Eksempel - løsning
Vi ser at nevneren er alltid 1 mindre enn kvadratet av n, dvs.
Telleren er alltid 3 ganger n, dvs. 3n.
I tillegg veksler leddene mellom å være positive og negative. Hvert oddetall er negativ. Det kan vi få ved å ha
Dette gir oss det allmenne leddet
Rekursive tallfølger
En rekursiv tallfølge er en følge hvor leddene er gitt fra foregående ledd.
Eks: Fibonacci-tallene
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, ...
Hvert tall er lik summen av de to tallene som kom før. Vi kan skrive dette som
Oppgave 1
a) Skriv ut de 3 første leddene i følgen:
b) Finn det allmenne leddet til følgen gitt ved:
Hint: Se på fortegn, teller og nevner hver for seg.
Oppave 1 - løsning
Konvergens av tallfølger - del 1
I margen ser vi at den øverste følgen går mot et bestemt tall, L, når n blir stor. Vi sier da at følgen konvergerer.
Men hva med følgen . Den veksler mellom -1 og 1. Den går ikke mot et tall, men heller ikke mot uendelig. Konvergerer denne?
Den nederste følgen i margen skyter i været etterhvert som n blir stor. Følgen går ikke mot et bestemt tall og vi sier at følgen divergerer.
Vi trenger en tydelig definisjon på konvergens.
Konvergens av tallfølger - del 2
Definisjon:
Tallfølgen konvergerer mot tallet L dersom det for ethvert reelt tall finnes et naturlig tall N slik at for alle
Hvis det er tilfelle, skriver vi:
NB: Vi antar at vi kan bruke de samme regnereglene for grenser som vi har brukt før.
Eksempel
Undersøk om tallfølgen konvergerer eller divergerer:
Eksempel - løsning
Vi tar grenseverdien av det allmenne leddet:
Oppgave 2
Undersøk om en tallfølge med det allmenne leddet
Konvergerer, og fikk i såfall hva det konvergerer mot.
Bevis ved induksjon
Anta at er en matematisk påstand som avhenger av et naturlig tall, n.
Forklaring av beviset:
Anta at vi kan vise at:
1. er sann.
2. Dersom det finnes et naturlig tall k slik at
er sann, så er også sann.
Hvis vi kan vise punkt 1 og punkt 2, har vi bevis at påstanden gjelder for alle naturlige tall, n.
I punkt 2 antar vi at det finnes et tall (k) hvor påstanden er sann og sjekker om det medfører at det neste leddet (k+1) også er sann.
I punkt 1 viser vi at påstanden er sann for n = 1. Siden vi har i punkt 2 vist at dersom det finnes et tall hvor påstanden gjelder, så gjelder den også for det neste tallet. Dvs. at siden påstanden gjelder for n = 1, gjelder den også for n = 2. Og da må det også gjelde for n = 3, og for n = 4 osv., siden vi har vist at dersom det gjelder for et tall, så gjelder det også for det neste. Vi har dermed vist at det gjelder for alle naturlige tall.
Eksempel
Vis at tallfølgen gitt ved
er en strengt voksende tallfølge, dvs. at for alle n.
Eksempel - løsning
Det første leddet er . Det andre leddet blir da:
Dette viser at følgen vokser mellom det første og andre leddet.
Vi antar så at det finnes et generelt ledd, k, slik at .
Vil det medføre at ?
Vi prøver:
Følger vi overgangene bortover, ser vi at det står:
Påstanden er dermed bevist ved induksjon.
Oppgave 3
Bruk bevis ved induksjon til å vise at alle ledd i tallfølgen
er mindre enn 2 (selv om dette er en voksende tallfølge).
Oppgave 3 - løsning
Rekker
Rekker - definisjon
En rekke defineres som summen av leddene i en tallfølge. Dvs.
Eksempel:
Konvergens av rekker
Dersom summen av en uendelig rekke går mot et bestemt tall, sier vi at rekken konvergerer.
Visualisering av rekken
Et eksempel på dette, er rekken
Når vi lar antall ledd gå mot uendelig, vil summen gå mot tallet 1,dvs.
Divergens av rekker
Dersom summen av en rekke ikke går mot et bestemt tall når antall ledd går mot uendelig, sier vi at rekken divergerer.
Den harmoniske rekke er et eksempel på en rekke som divergerer.
Bevis for divergens av den harmoniske rekke
Vi kan bevise at rekken divergerer med å sammenlikne rekken med en annen rekke:
Vi kan lett vise at den andre rekken MÅ divergere:
Siden den harmoniske rekken er større enn en rekke som går mot uendelig, må også denne rekken gå mot uendelig.
Merk: Dette beviset kom ca. 1350 og ble sett på som et av høydepunktene i matematikk i middelalderen.
Aritmetiske rekker
Aritmetiske rekker
En aritmetisk rekke, er en rekke hvor hvert ledd øker med et konstant tall.
Hver ledd i rekken øker med tallet 1. Generelt sett, kan vi skrive en aritmetisk rekke på formen:
Tallet d kalles for “differansen”.
Spørsmål: Summen av en uendelig aritmetisk rekke kan aldri konvergere. Hvorfor?
Summen av en aritmetisk rekke
Det kan vises (se nettkompendiet) at summen av en endelig aritmetisk rekke er gitt ved:
For summen av de 1000 første heltall, har vi:
Eksempel
Lille Ole samler pa frimerker. Han har til sammen 150 frimerker og Ole har nummerert dem fra 1 til 150. Hvert frimerke har en verdi lik 3 ganger nummeringstallet Ole gav den. Hva er det totale verdien til Oles frimerkesamling?
Eksempel - løsning
Vi kan skrive summen av verdien til frimerkene som en rekke:
Dette er en aritmetisk rekke hvor hvert ledd øker med 3. Det siste leddet er 3*150 = 450. Det er 150 frimerker. Summen blir da:
Oppgave 4
En forelesningssal har 20 seter på første rad, 24 seter på andre rad, 28 seter på tredje rad osv. Forelesningssalen har 30 rader. Hvor mange seter har salen? Formuler problemet som en aritmetisk rekke og regn ut summen.
Geometriske rekker
Geometrisk rekke - definisjon
En geometrisk rekke er en rekke hvor hvert ledd øker med en fast faktor, r.
Vi kaller konstanten r for rekkens “kvotient”.
Det kan vises (se nettkompendiet) at summen av en uendelig geometrisk rekke er gitt ved
Merk: rekken konvergerer kun |r| < 1.
Eksempel
Vi skrev her om det allmenne leddet for å gjøre det lettere å se at a = 0.5 og r = 0.5.
Egenskap ved geometrisk rekke
Merk at i en geometrisk rekke, vil forholdet mellom et ledd og leddet som kom før, være lik konstanten r. Dvs.
Vi kan bruke dette både til å finne r og for å argumentere for at en rekke er geometrisk (dersom forholdet mellom alle ledd og leddet som kom før er konstant).
Eksempel
Finn summen av rekken gitt ved: 10 - 2 + 0.4 - 0.08 + ...
Eksempel - løsning
Vi kan sjekke at rekken er geometrisk ved å se at forholdet mellom et ledd og leddet før er konstant (lik konstanten r). Vi ser at:
-2 / 10 = -0.2
0.4 / -2 = -0.2
-0.08 / 0.4 = -0.2
Vi har dermed en geometrisk rekke med r = -0.2 og a = 10. Siden |r| < 1, konvergerer rekken og vi får
Oppgave 5
Finn summen av rekken:
Hint: Oppgaven kan løses på to måter, enten ved å skrive ut leddene og finne a og r derfra, eller ved å skrive om det allmenne leddet slik at det likner på det allmenne leddet til en geometrisk rekke. Løs gjerne oppgaven på begge måter.
Oppgave 5 - løsning
Eksempel: Skrive tall på brøkform...
Vi kan bruke geometriske rekker til å skrive desimaltall med uendelig antall desimaler på brøkform.
Eksempel:
Oppgave 6
Bruk den samme teknikken til å skrive 2.515151… på brøkform.
Eksempel
For hvilke verdier av x konvergerer rekken?
Eksempel - løsning
Dette er en geometrisk rekke med r = x-2 (og a = x-2). Siden en geometrisk rekke konvergerer når |r| < 1, får vi
Dvs. rekken konvergerer når x ligger mellom 1 og 3.