ПОНЯТТЯ ГРАНИЦІ

ФУНКЦІЇ В ТОЧЦІ

Мета заняття:

Дидактична – формувати уявлення про границю функції в точці та її основні властивості; працювати над засвоєнням відповідної математичної символіки; розпочати роботу над формуванням умінь знаходити границі елементарних неперервних функцій із застосуванням означення границі в точці з метою підготовки до сприйняття означення поняття похідної функції в точці;

Розвивальна – розвивати пам'ять і мислення; розвивати цікавість до математики, прагнення краще вчити предмет; здатність до творчого застосування знань і вдосконалення умінь;

Виховна – виховувати наполегливість і відповідальність, допитливість, уважність, натхнення, любов до навчання та вміння працювати разом.

Актуалізація опорних знань :

Фронтальне опитування

1. Дайте означення числової функції, заданої на множині D(x).

2. Що називають аргументом функції? Значенням функції, що відповідає заданому значенню аргумента? Областю значень функції?

3. Як позначають функцію?

4. Що означає знайти область визначення функції, заданої формулою?

5. Знайдіть: для функції, заданої формулою .

Це така залежність між змінними при якій

​

кожному значенню незалежної змінної відповідає єдине значення залежної змінної

​

Записують: lim 𝑓(𝑥) = 3 або

𝑥→2

lim (2𝑥 − 1) = 1

𝑥→2.

Інший запис: 𝑓(𝑥) → 1 при 𝑥 → 2.

Границя функции

Геометрична ілюстрація

​

​

​

​

​

​

​

​

а

А

а-δ

а+δ

А+ε

А-ε

Y=f(x)

х

у

о

Визначення граничної точки

δ-околом точки а називається інтервал (а-δ, а + δ), що не містить точку а, тобто О (а, δ) = (а-δ, а) ∪ (а, а + δ). �    

Границя функції в точці

х₀

А

δ окіл точки x₀

ε окіл точки А

Геометричний зміст границі: для всіх х з δ – окілу точки x₀ точки графіка функції лежать всередині полоси, шириною 2ε, обмежаною прямими:

у = А + ε , у = А - ε .

Визначення границі

Число А називається границею функції f (x) в точці а (або при x→а), якщо ε > 0 існує число δ(ε) > 0 таке, що для будь-якого x є X, що задовільняє умові

0 < ⎪x – а⎪ <δ, слідує нерівність

⎪f (x) – A⎪< ε.

Обчислення границь

Обчислення границь:

починають з підстановки граничного значення x₀ в функцію f(x).

:

:

Теореми про границі

Теорема.

Якщо функція f(х) = с постійна в деякій околиці точки а, то

Теорема.

Якщо f(х) маємо межу при х→а, то ця границя єдина.

Теореми про границі

Теорема 1.

Якщо в точці а існують границі функційf(x) і g(x), то в цій точці існує і границя суми f(x)±g(x),причому

​

Теореми про границі

Теорема 2.

Якщо в точці а існують границі функцій f (x) и g (x), то існує і границя вироблення f(x)⋅g(х), причому

​

Теореми про границі

Теорема 3. Якщо в точці а існують границі функцій f(х) и g (x) і при цьому, то існує і границя приватного, причому

.

.

Виконання усних вправ

1. Відомо, що

при

Знайдіть границі функцій:

у точці 1.

2. Відомо, що

Знайдіть границю при

таких функцій:

Виконання письмових вправ

1. За підручником розглянути розв’язання прикладу 3. Приклад 3 (с. 25). Знайдіть:

2 (№ 3 (1, 3), с. 28). З’ясуйте, до якого числа прямує функція

якщо:

при

3 (№ 4 (1, 3), с. 28). Знайдіть:

при

Приклад

Знайти .

​

​

​

По теоремі про межу приватного

Приклад

Знайти

• Перетворимо цю функцію так, щоб виділити в чисельнику і знаменнику множник , на �який і розділимо далі чисельник і знаменник:

Перетворення функції

Наприклад:

для обчислення даної границі необхідно розкласти на множники чисельник та знаменник дробу за формулою розкладання квадратного трьохчлену на множники

де

та

-- корені трьохчлена

​

​

Маємо:

, Д=81,

Д=121,

Повернемось до обчислення границі:

Скорочуємо дріб на множник (х-2) та маємо:

Границя функції на нескінченності

Винесемо у чисельнику та знаменнику х у

найбільшому степеню, та скоротимо дріб,

Та будемо пам'ятати, що

Перша чудова границя

​

​

​

​

​

​

Це пояснюється тим, що нескінченно мала дуга майже не встигає змінити свій напрямок, тобто викривити.

x

x

y

А

В

Перша чудова границя

НАСЛІДКИ:

Формула вірна також при x < 0

29