108課綱 高中選修物理(II) 第三章
授課老師：李柏翰老師
前言
對一個質點，如果知道：
質點的質量
開始的位置
開始的速度
每一時刻質點所受的力
就可以…
利用牛頓第二運動定律，�計算質點在任何時刻時的速度和位置。�但有時我們並不在意物體在運動過程時的細節，�而只在乎物體的始末狀態，�
∴引入「功」＆「能」的概念
前言
3-1 功與功率
功＝ 外力量值 × 與定力同方向的位移量值
1.功 基本定義
W = F · d
沿位移方向上的外力分量×位移量值
W = F · d cosθ
W = F cosθ · d
外力與位移同向
外力量值 × 沿外力方向的位移分量
3-1 功與功率
功的單位：牛頓．公尺（N · m）= 焦耳(J)
因為是力與位移的內積，是一純量，可直接相加計算
1.功 單位
W = F · d
沿位移方向上的外力分量×位移量值
W = F · d cosθ
W = F cosθ · d
外力與位移同向
外力量值 × 沿外力方向的位移分量
3-1 功與功率
若物體本身擁有功，則功是改變能的手段
1.功
W = F · d
沿位移方向上的外力分量×位移量值
W = F · d cosθ
W = F cosθ · d
外力與位移同向
外力量值 × 沿外力方向的位移分量
3-1 功與功率
功為力在空間上的累積效果，會影響到物體的能量。
（如同衝量為力在時間上的累積效果，會影響到物體的動量）
∴當外力對物體作用時，便會使物體增加或減少能量，
而對單一物體而言能量的變化便反應在物體的速率上。
1.功
W = F · d
沿位移方向上的外力分量×位移量值
W = F · d cosθ
W = F cosθ · d
外力與位移同向
外力量值 × 沿外力方向的位移分量
3-1 功與功率
W < 0
W = 0
W > 0
Δx
由 W = F Δx cosθ 可知，當：
0° ≤ θ ＝ 90° | 時，W > 0 |
θ ＝ 90° | 時，W = 0 |
90° ≤ θ ＝ 180° | 時，W < 0 |
功雖為純量，但仍有正負功
2.功有正負
3-1 功與功率
W < 0
W = 0
W > 0
Δx
由 W = F Δx cosθ 可知，當：
0° ≤ θ ＜ 90° | 時，W > 0 |
θ ＝ 90° | 時，W = 0 |
90° ＜ θ ≤ 180° | 時，W < 0 |
正功會使物體的能量上升，
負功會使物體的能量下降，
而不是代表方向。
2.功有正負
3-1 功與功率
固定表面之正向力，與單擺張力不作功
3.不作功
正向力
單擺張力
3-1 功與功率
4.重力作功
地表附近重力所作之功：
mg
h
地表附近重力所作之功只和兩點間的垂直距離有關
W = mgh
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-1
質量為 40kg 的男孩自高 2.5m 的滑水道，斜向滑下 5.0m 後，
落入水中。求在此過程中，重力對男孩所作的功為多少？
重力作功 W = mgh
= 40 × 9.8 × 2.5
= 980
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-2(1)
如圖，不計摩擦力及滑輪和繩的重量，
要將重 10kgw 的物體用附圖二種方法
使其上升 2m 的高度，外力所做的功
分別為多少？ （假設重力加速度值10 m/s²）
(1)甲圖中所施外力 F = 100N
物體上升2m時，手亦下降2m
由 W=F ∙∆X 可知 W=100 ∙ 2 = 200J
W = 100 N
F = 100 N
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-2(2)
如圖，不計摩擦力及滑輪和繩的重量，
要將重 10kgw 的物體用附圖二種方法
使其上升 2m 的高度，外力所做的功
分別為多少？ （假設重力加速度值10 m/s²）
mg = 100 N
50 N
50 N
50 N
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-3
質量為1.0kg的物體，從傾斜角為30°之斜面上等速下滑了20m。
求：(1) 摩擦力作功多少？
(2) 重力作功多少？
重力作功Wg = mgh = 1×10×10 = 100 J
因為等速，故合力作功為0
而物體受重力、正向力、摩擦力作用其中正向力作功為0
摩擦力作功 Wf = −Wg = −100 J
→ 物體的動能不變，但位能減少，那為何總功為0？
10m
20m
30°
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-4
如右圖，質量4公斤的物體靜置於光滑水平面，受一質量忽略不計的繩子繫著，繩繞過無摩擦
的定滑輪，它端施以10牛頓向下的固
定拉力，使物體沿光滑水平面由A滑
到B，則拉力對物體作功為何？
由物體來找功時會遇到很大的困難，
因為力的方向一直在改變，
因此要由F 的作用點來找！
A
B
1.2m
F
37 °
53 °
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-4
如右圖，質量4公斤的物體靜置於光滑水平面，受一質量忽略不計的繩子繫著，繩繞過無摩擦
的定滑輪，它端施以10牛頓向下的固
定拉力，使物體沿光滑水平面由A滑
到B，則拉力對物體作功為何？
A
B
1.2m
F
37 °
53 °
因此手下拉0.5m
3-1 功與功率
若質點在x軸上運動，而Fx為外力在x軸上的分量，則
Fx - x圖下面積便是外力所做之功
5.變力作功
W=F ∙∆X
3-1 功與功率
功為正或負功，
要看外力是否和位移同向，
x軸上方的面積不一定為正功
5.變力作功
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-5
一彈簧其彈力常數k=1000 N/m，施一外力使彈簧由原長伸長10cm須做功多少？若繼續施力，使彈簧再伸長10cm，則外力須再做多少功？
彈力
外力
取向右為正
0.1
0.2
彈力
外力
x
100
200
＋
＋
將彈簧拉長時所施的外力向右，而彈力向左，
故外力為正，而彈力為負！
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-6
一物體在不同位置的受力情形如圖所示，求：
(1)自𝑥＝－4𝑚到＋4𝑚，外力對物體所作的功。
(2)自𝑥＝0𝑚到－2𝑚，外力對物體所作的功。
-
+
-
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-7
如下圖所示，取向外為正，則m所受的萬有引力和位置r的關係圖為何？
r
M
m
1
2
r
F
3-1 功與功率
6.功率 定義、單位
3-1 功與功率
6.功率 平均與瞬時速率
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-8
F
3000N
1700kg = 17000N
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-9(1)
自 20m 高處將 10kg 的物體以 10m/s 的初速水平拋出，試求：
(1) 著地時重力對物體的瞬時功率
(2) 自出發至落地時重力對物體的平均功率
v
vy
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-9(2)
自 20m 高處將 10kg 的物體以 10m/s 的初速水平拋出，試求：
(1) 著地時重力對物體的瞬時功率
(2) 自出發至落地時重力對物體的平均功率
v
vy
3-1 功與功率
例題講解 例題3-1-10
假設一船在水中航行時，所受之阻力和速率成正比。若欲使船速加倍，則所需功率必為原有之：
(A)1倍 (B)2倍 (C)4倍 (D)9倍 (E)1∕2倍 [66.日大]
利用 P=F∙V
而 F ∝ V
故 P ∝ V∙V → P ∝ V2
V→ 2倍
P→ 4倍
Ans：(C)
3-1 功與功率