R2.03 : STATIQUE DES SOLIDES ET INTRODUCTION AU DIMENSIONNEMENT

Actions Mécaniques, PFS, résolution Analytique et Graphique

Statique des solides

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Introduction :

Domaine d’étude

Statique des solides

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Introduction :

La statique est l’étude des systèmes matériels et des solides immobiles ou en équilibre qui sont soumis à des actions mécaniques extérieures. L’objectif de la statique est de calculer l’ensemble des actions mécaniques appliquées à un solide en équilibre.

Cela implique 2 choses :

- Il faut commencer par faire l’inventaire de toutes les actions mécaniques exercées par l’environnement sur le solide, sans en oublier, en isolant le solide étudié.

- En supposant que le solide est en équilibre, on peut appliquer le principe fondamental de la statique (PFS) sur les résultantes et sur les moments des actions mécaniques pour les déterminer

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0.RAPPELS - Degrés de liberté et degrés de liaison:

-Etude dans le cadre d’un repère orthonormé

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0.RAPPELS – Coordonnées de vecteur:

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0.RAPPELS - Coordonnées de vecteur :

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0.RAPPELS - Coordonnées de vecteur :

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0.RAPPELS - Coordonnées de vecteur :

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0.RAPPELS – Produit vectoriel de deux vecteurs :

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a.Définition :

- On appelle action mécanique toute cause physique susceptible de :

• Maintenir un corps en équilibre,

• Mettre un corps en mouvement, modifier / stopper ce mouvement

• Déformer un corps.

- Il existe deux types d’actions mécaniques de base :

• Les actions mécaniques à distance (pesanteur, gravité, champ magnétique,…).
• Les actions mécaniques de contact (contact entre deux solides, liaisons, frottements,…).

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-Les actions mécaniques sont réparties en 2 familles :

• Les forces (pousser ou tirer suivant un axe)
• Les moments (tourner ou tordre autour d’un axe)

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b.Notion de force :

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c. Principe des actions mutuelles :

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d. Les composantes d’une force / Projection :

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d. Les composantes d’une force / Projection :

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques :

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a) Actions à distance - Le poids  :

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Force d’origine gravitationnelle. C’est une action mécanique a distance.

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques :

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Les types de contacts :

-Les contacts surfaciques :

0bis. Modélisation d’actions mécaniques :

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-Les contacts linéaires :

Linéaires rectilignes

Linéaires annulaires

0bis. Modélisation d’actions mécaniques :

​

Les types de contacts :

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-Les contacts ponctuels :

Les types de contacts :

0bis. Modélisation d’actions mécaniques :

​

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques particulières :

​

b) Les actions de contact ponctuelles :

On utilise l’hypothèse de liaison parfaite. Donc, si les composants sont indéformables, et lorsqu’il n’y a pas de frottement, l’action mécanique de contact entre les deux composants est perpendiculaire au plan tangent au contact

Caractéristiques d’une action de contact ponctuelle :

- Point d’application : point de contact entre les deux corps.

- Direction : perpendiculaire au plan tangent au contact.

- Sens : orienté du solide qui exerce l’effort vers le solide qui subit l’effort.

- Intensité : à déterminer

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques particulières :

​

Exemple :

b) Les actions de contact ponctuelles :

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques particulières :

​

c) Les actions de contact réparties :

- Actions réparties sur une ligne (contact linéique) :

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques particulières :

​

-Actions réparties sur une surface (contact surfacique) :

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques particulières :

​

-Actions réparties sur une surface (contact surfacique) :

Exemple :

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0bis. Modélisation d’actions mécaniques particulières :

​

d) Effort exercé par un ressort :

Un ressort est un objet mécanique déformable. Il absorbe de l’énergie mécanique lorsqu’on le déforme, et il est capable de restituer cette énergie ensuite.

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1.Notion de moment :

a)Définition d’un moment :

Le moment d'une force est le phénomène physique qui provoque la rotation d’une pièce, son l’arrêt ou sa torsion. Le moment s’exprime en Newton-mètre (N.m).

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1.Notion de moment :

a)Définition d’un moment :

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6. Notion de moment :

​

Dans le cas général, l’effort F n’est pas perpendiculaire au segment OA, mais incliné d’un certain angle α.

​

Pour déterminer le bras de levier, c’est-à-dire la distance d, il est nécessaire de projeter le point O sur la direction de l’effort F. Le bras de levier correspond ainsi au segment OH.

a)Définition d’un moment :

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6. Notion de moment :

a)Définition d’un moment :

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6. Notion de moment :

a)Définition d’un moment :

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1. Notion de moment :

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1. Notion de moment :

Exemple :

La main ci-contre exerce un effort de 10 daN sur la clef. Quel sera la valeur du moment de serrage sur la vis ?

d) Moment dans le cas général :

​

​

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2. Hypothèses de la statique :

​

 En statique, on considère les hypothèses suivantes pour les solides :

-Géométrie parfaite : les aspérités, les imperfections, les défauts de forme et de surface ne sont pas pris en compte.

-Indéformable : on ne tient pas compte des déformations.

-Homogène : tous les atomes sont supposés identiques.

-Isotrope : chaque morceau de matière a les mêmes caractéristiques mécaniques dans toutes les directions (contre-exemple : le bois).

- Liaisons parfaites

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3. Isolement d’un système :

Isoler un solide consiste à enlever tous les éléments extérieurs en contact avec ce système, et à les remplacer par les actions mécaniques qu’ils exercent.

Nb : Le graphe des liaisons dans lequel on a rajouté les actions à distance (les poids en particulier) peut être d'une grande utilité. En effet sur le graphe, tout trait qui traverse la ‘frontière d'isolement’ correspond à une action mécanique de contact direct.

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4. Bilan des actions mécanique extérieure (BAME):

Après avoir isolé le système on réalise le bilan des actions mécaniques extérieures, généralement sous la forme d’un tableau. Lorsqu’on n’a pas l’information nécessaire pour renseigner une case, on y note un point d’interrogation.

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5.Outil torseur :

Pour caractériser les actions mécaniques dans les liaisons entre 2 pièces on utilise l’outil mathématique torseur. Il permet de regrouper en un seul terme la notion de force et de moment. Un torseur est toujours relatif au repère et au point à partir duquel il est exprimé

-Exemple : Torseur des actions mécanique en A dans une liaison pivot entre deux pièces (1) et (2) :

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6.Outil torseur :

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5.Outil torseur :

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6. Formule de transport des moments:

Lorsque le moment d'une force est connu en un point A, il est possible de le recalculer en n'importe quel point B de l'espace. Cette opération est inévitable lors de la manipulation des torseurs d'actions mécaniques.

​

​

De là découle la formule de Varignon, aussi appelée formule de transport des moments :

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7. Enoncé du Principe Fondamental de la Statique (PFS) :

Le PFS s’applique aux solides en équilibre par rapport à un repère fixe absolu, ainsi qu’aux solides en mouvement de translation rectiligne uniforme. Son énoncé est le suivant :

‘’Un solide sous l’action de forces extérieures est en équilibre si et seulement si :

• La somme vectorielle des forces extérieures est nulle.
• La somme des moments résultants de ces forces est nulle en tout point.’’

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7. Enoncé du Principe Fondamental de la Statique (PFS) :

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12. Méthode globale de résolution d’un problème de statique plane :

• Isoler le système étudié :

- Colorier sur le dessin d’ensemble, redessiner le système seul à coté…

- Repérer les points ou zones de contact avec d’autres solides

- Modéliser les actions extérieures et les nommer, c’est-à-dire représenter ces actions par des vecteurs.

- Ne pas oublier les actions à distance !

- Le nom de l’action est généralement le nom du point d’application, et on précise quoi l’exerce sur qui, par exemple :

• Faire le bilan de ces actions mécaniques extérieures :

-On utilise généralement un tableau sur ce modèle :

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8. Méthode globale de résolution d’un problème de statique :

• Appliquer le principe fondamental de la statique (PFS) :

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-Pour pouvoir résoudre un problème de statique plane avec des forces quelconques, on ne doit pas avoir plus de 3 inconnues.

• Résoudre le problème :

-Deux méthodes possibles :

• Graphique : uniquement des tracés, aucun calcul autre que mise à l’échelle
• Analytique : uniquement des calculs avec les équations obtenue grâce au PFS.

• Exprimer ses résultats :

-On peut refaire un tableau de BAME complet ou utiliser l’outil torseur pour présenter les résultats. 

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9. Méthode de résolution graphique  :

• Solides soumis à deux forces :

Lorsqu’un solide est en équilibre sous l’action de 2 forces, ces 2 forces sont égales et opposées (même direction, même intensité, sens opposés). Le support des forces est la droite passant par les deux points d’application.

-Exemple : Les bielles de renvoi ci-dessous sont soumises à deux efforts (on supposera que les efforts en A et en J ont une intensité 20N). Faire le BAME et représenter ses efforts sur les figures ci-dessous (échelle 1cm = 10N).

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9. Méthode de résolution graphique  :

• Solides soumis à trois forces :

​

Lorsqu’ un solide est en équilibre sous l’action de 3 forces quelconques :

• les 3 forces sont concourantes

• leur somme vectorielle est nulle

​

​

​

​

​

​

Cela signifie que si l’on trace les trois vecteurs forces bout à bout, ils doivent former un triangle fermé, comme ci-dessus.

En statique, on appel cette figure le dynamique des forces.

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9. Méthode de résolution graphique  :

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9. Méthode de résolution graphique  :

• Solides soumis à trois forces :

​

-Exemple : 

+

+

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10. Méthode de résolution analytique   :

Pour résoudre de manière analytique un problème, il faut résoudre les équations obtenues grâce au PFS.

​

• Solides soumis à deux forces :

​

-Exemple : Sur le support d’étagère, le levier 1 exerce une force de 50N sur la biellette 2 en A. On néglige le poids de 2.

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10. Méthode de résolution analytique   :

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• Solides soumis à plusieurs forces :

​

-Exemple A :

On donne : AB = 150mm

BC = 240mm

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-BAME :

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10. Méthode de résolution analytique   :

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• Solides soumis à plusieurs forces :

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-Exemple A :

 On donne : AB = 150mm

BC = 240mm

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14. Méthode de résolution analytique   :

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• Solides soumis à trois forces :

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-Exemple A :

 On donne : AB = 150mm

BC = 240mm

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10. Méthode de résolution analytique   :

​

• Solides soumis à plusieurs forces :

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-Exemple A :

 On donne : AB = 150mm

BC = 240mm

​

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10. Méthode de résolution analytique   :

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• Solides soumis à plusieurs forces :

​

-Exemple A :

 On donne : AB = 150mm

BC = 240mm

​

​

On souhaite déterminer l’angle d’inclinaison du vecteur α. On projette sur l’axe x:

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10. Méthode de résolution analytique   :

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• Solides soumis à plusieurs forces :

​

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On a 3 inconnues : -X_A, X_B et Y_B.

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10. Méthode de résolution analytique   :

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• Solides soumis à plusieurs forces :

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​

(On choisit toujours de calculer les moments par rapport au point où l’on a le plus d’inconnues, ici c’est le point B).

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10. Méthode de résolution analytique   :

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• Solides soumis à plusieurs forces :

​

​