Uniform Continuity�[KONTINUITAS yang SERAGAM]

Dr. Trisnani Widowati, M.Si

​

Disusun Oleh:

Endah Pramurti

Ratna Prasetyaningsih

SECTION 5.4

Remember?

Misal A ⊆ ℝ dan f : A → ℝ. Definisi 5.1.1 menyatakan bahwa pernyataan berikut equivalen dengan:

(i) f kontinu di setiap titik u ϵ A;

(ii) diberikan ɛ > 0 dan u ϵ A, ada sebuah δ (ε, u) > 0 sehingga untuk semua x sedemikian sehingga x ϵ A dan |x – u| < δ (ε, u), maka |f(x) - f(u)| < s.

5.1.1 DEFINITION

contoh, jika f (x) := 2x untuk semua x ϵ ℝ , maka

|f(x) – f(u)| = 2|x – u|

Jadi kita dapat memilih δ(ε, u) := ε/2 untuk semua ε > 0, u ϵ ℝ.

(1)

Jika u ϵ A diberikan dan jika kita mengambil

​

(2)

​

Kemudian jika | x – u | < δ(ε, u) maka

|x – u| < ½u

½u < x < 3/2u

1/x < 2/u.

5.1.1 DEFINITION

Sehingga, jika |x – u| < ½u,

Dari persamaan (1) menghasilkan ketidaksamaan

(3) |g(x) – g(u)| ≤ (2/u²) |x – u|

Akibatnya,

jika |x – u| < δ(ε, u)

maka dari (2) dan (3) berarti bahwa�|g(x) – g(u) | < (2/u²) (½u²ε) = ε.

5.1.1 DEFINITION

5.4.1 Definisi

Misalkan A ⊆ ℝ dan f : A → ℝ. Kita katakan bahwa f adalah kontinu seragam pada A jika untuk setiap ε > 0 ada δ(ε) > 0 sedemikian sehingga jika x, u ϵ A adalah setiap bilangan yang memenuhi |x – u| < δ(ε), maka |f(x) – f(u) | < ε.

5.4.1 DEFINITION

5.4.2 Kriteria Nonuniform Continuity

Misalkan A ⊆ ℝ dan f: A → ℝ. Kemudian pernyataan berikut ini adalah ekuivalen dengan:

1. f tidak kontinu seragam pada A.
2. Terdapat sebuah ε₀ > 0 sehingga untuk setiap δ > 0 terdapat titik x_δ, u_δ dalam A sedemikian rupa sehingga |x_δ – u_δ| < δ dan |f(x_δ) – f(u_δ)| ≥ ε₀
3. Terdapat sebuah ε₀ > 0 dan 2 barisan (x_n) dan (u_n) dalam A sehingga lim(x_n – u_n) = 0 dan |f(x_n) – f(u_n)| ≥ ε₀ untuk semua n ϵ ℕ.

5.4.2 Kriteria

Nonuniform Continuity

5.4.3 Teorema Kekontinuan Seragam

Misalkan I adalah interval yang terbatas tertutup dan f : I → ℝ kontinu pada I. Maka f adalah kontinu seragam pada I.

5.4.3 Teorema

Kekontinuan Seragam

Bukti. Jika f bukan kontinu seragam pada I maka, dari hasil sebelumnya, terdapat ε₀ > 0 dan 2 barisan (x_n) dan (u_n) dalam I sedemikian sehingga |x_n – u_n| < 1/n dan |f(x_n) – f(u_n)| ≥ ε₀ untuk semua n ϵ ℕ.

5.4.3 Teorema

Kekontinuan Seragam

Karena I terbatas, barisan (x_n) terbatas,

menurut teorema 3.4.8 Bolzano-Weierstrass terdapat sebuah barisan dari (x_n) yang konvergen ke elemen z.

karena I tertutup, limit z terdapat di I, menurut teorema 3.2.6. Ini jelas bahwa barisan yang sesuai juga konvergen ke z, karena

​

​

Jika f kontinu di z, maka barisan dan harus konvergen ke f(z). tetapi ini tidak mungkin karena

|f(x_n) – f(u_n)| ≥ ε₀

untuk semua n ϵ ℕ. Dengan demikian hipotesis bahwa I tidak kontinu seragam pada selang yang terbatas tertutup I yang berarti bahwa f tidak kontinu di beberapa titik z ϵ I. Akibatnya, jika f kontinu pada setiap titik dari I, maka f kontinu seragam pada I.

Fungsi Lipschitz

Jika suatu fungsi kontinu seragam diberikan pada sebuah himpunan dengan interval yang tidak terbatas tertutup, maka kadang-kadang sulit untuk membangun kontinuitas seragam. Namun, ada suatu kondisi yang sering terjadi yang cukup untuk menjamin kontinuitas seragam.

Fungsi Lipschitz

5.4.4 Definisi

Misalkan A ⊆ ℝ dan f : A → ℝ. Jika terdapat konstanta K > 0 sedemikian rupa sehingga

(4) |f(x) – f(u)| ≤ K |x – u|

untuk semua x, u ϵ A, maka f dikatakan fungsi Lipschitz (atau untuk memenuhi kondisi Lipschitz) pada A.

***************************************

Kondisi (4) bahwa fungsi f: I → ℝ pada interval I adalah fungsi Lipschitz dapat diartikan secara geometris sebagai berikut.

5.4.4 Definisi

5.4.5. Teorema

Jika f : A → ℝ adalah fungsi Lipschitz, maka f adalah kontinu seragam pada A.

              

Bukti. Jika kondisi (4) terpenuhi, kemudian diberikan ε > 0, kita dapat mengambil δ := ɛ/K. Jika x, u ϵ A dipenuhi |x – u| < δ, maka

|f (x) – f(u)| < K. ɛ/K = ɛ.

Oleh karena itu f kontinu seragam pada A.

5.4.5. Teorema

5.4.6 Contoh

(a) Jika f (x) := x² pada A := [0, b], dimana b > 0, maka

|f (x) – f(u)| = |x + u| |x – u| ≤ 2b |x – u|

untuk semua x, u dalam [0, b]. Dengan demikian memenuhi f(4) dengan K := 2b pada A, dan karena f kontinu seragam pada A. Tentu saja, karena f kontinu dan A adalah interval yang terbatas tertutup, ini juga bisa disimpulkan dari Teorema Uniform Continuity. (Perhatikan bahwa f tidak memenuhi kondisi Lipschitz pada interval [0, ∞).)

5.4.6 Contoh

5.4.6 Contoh

(b) Tidak setiap fungsi kontinu seragam adalah fungsi Lipschitz.�Misalkan g(x) := √x untuk x pada interval yang terbatas tertutup I := [0, 2]. Karena g kontinu pada I, maka dari Teorema 5.4.3 Uniform Continuity bahwa g adalah kontinu seragam pada I. Namun, tidak ada bilangan K > 0 sedemikian rupa sehingga |g(x)| ≤ K |x| untuk semua x ϵ I. (Mengapa tidak?) Oleh karena itu, g bukan fungsi Lipschitz pada I.

5.4.6 Contoh

5.4.6 Contoh

(c) Teorema Uniform Continuity dan Teorema 5.4.5 kadang-kadang dapat dikombinasikan untuk membentuk kontinuitas seragam dari suatu fungsi pada himpunan.�Anggap g(x) := √x pada himpunan A := [0, ∞). G kontinuitas seragam pada interval I := [0, 2] (lihat (b)). Jika J := [1, ∞), maka jika kedua x, u berada di J, kita punyai

​

​

Jadi g adalah fungsi Lipschitz pada J dengan konstanta K = ½, dan karenanya menurut teorema 5.4.5, g adalah kontinu seragam pada [1, ∞). Karena A = I ⋃ J, maka [dengan mengambil δ(ε) := inf{1, δ_I(ε), δ_J(ε)}] bahwa g adalah kontinu seragam pada A.

5.4.6 Contoh

Teorema Ekstensi kekontinuan

Dalam kondisi apa fungsi kontinu seragam pada interval terbuka yang terbatas? Jawabannya menunjukkan kekuatan dari kontinuitas seragam, untuk itu akan ditunjukkan bahwa fungsi pada (a, b) adalah kontinu seragam jika dan hanya jika dapat didefinisikan pada titik ujung menghasilkan fungsi yang kontinu pada interval tertutup.

Teorema Ekstensi kekontinuan

5.4.7 Teorema

Jika f : A → ℝ adalah kontinu seragam pada himpunan bagian A di ℝ dan jika (x_n) adalah sebuah barisan Cauchy di A, maka (f(x_n)) adalah barisan Cauchy di ℝ.

5.4.7 Teorema

5.4.7 Teorema

Bukti. Misal (x_n) barisan Cauchy di A, dan diberikan ε > 0.

pilih δ > 0 sedemikian sehingga jika x, u di A dipenuhi |x – u| < δ,

maka |f(x) – f(u)| < ε.

Karena (x_n) barisan Cauchy, terdapat H(δ) sedemikian sehingga |x_n – x_m| < δ untuk semua n,m > H(δ).

Dengan memilih δ, ini berarti bahwa untuk n, m > H(δ), dipunyai |f(x_n) – f(x_m)| < ε.

Oleh karena itu barisan (f(x_n)) adalah barisan Cauchy.

5.4.7 Teorema

5.4.8. Teorema Ekstensi Kekontinuan

Fungsi f adalah kontinu seragam pada interval (a , b ) jika dan hanya jika dapat didefinisikan pada titik ujung a dan b sedemikian sehingga fungsi yang diperpanjang (diekstensi) adalah kontinu pada [a , b]

5.4.8. Teorema Ekstensi Kekontinuan

Bukti :

(⇒) Misalkan f adalah kontinu seragam pada (a, b). Kita akan menunjukkan bagaimana untuk memperpanjang f ke a; argumen untuk b sama. Hal ini dilakukan dengan menunjukkan bahwa ada , dan ini dilakukan dengan menggunakan kriteria barisan untuk limit. Jika (x_n) adalah barisan dalam (a, b) dengan lim (x_n) = a , maka itu adalah barisan Cauchy, dan dengan teorema sebelumnya, barisan (f(x_n) juga barisan Cauchy, dan konvergen menurut Teorema 3.5.5 . Jadi batas lim ( f (x_n) ) = L ada. Jika (u_n ) adalah barisan yang lain di (a , b ) yang konvergen ke a, maka lim (u_n - x_n ) = a - a = 0 , sehingga dengan kontinuitas seragam dari f dipunyai

5.4.8. Teorema Ekstensi Kekontinuan

Bukti :

sehingga dengan kontinuitas seragam dari f dipunyai

lim (f(u_n) = lim ( f (u_n ) - f (x_n) )+ lim ( f (x_n ))

= 0 + L = L

Karena mendapatkan nilai yang sama L untuk setiap barisan konvergen ke a, dapat disimpulkan dari kriteria barisan untuk limit bahwa f memiliki batas L pada a . Jika mendefinisikan f (a) := L , maka f kontinu pada a . Pernyataan yang sama berlaku untuk b, jadi disimpulkan bahwa f memiliki ekstensi kekontinuan untuk interval [a , b] .

5.4.8. Teorema Ekstensi Kekontinuan

Bukti :

Karena limit dari f (x) := sin (1/ x) pada 0 tidak ada, dapat disimpulkan dari Teorema Extensi Kekontinuan bahwa fungsi yang tidak kontinu seragam pada (0 , b] untuk setiap b > 0. Di sisi lain, karena ada, fungsi g(x) := x sin(1/x) adalah kontinu seragam pada (0 , b] untuk semua b > 0.

5.4.9 Definisi

Misalkan I ⊆ ℝ menjadi selang dan misalkan s : I → ℝ. Lalu s disebut fungsi tangga jika hanya memiliki jumlah terbatas nilai yang berbeda, masing-masing nilai yang diasumsikan pada satu atau lebih interval dalam I.

5.4.9 Contoh

Contohnya, fungsi s: [-2, 4] → ℝ didefinisikan sebagai

​

​

​

​

​

​

​

Adalah sebuah fungsi tangga. (lihat gambar 5.4.3)

5.4.9 Contoh

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Gambar 5.4.3 grafik y = s(x)

5.4.10 Teorema

Misalkan I interval terbatas tertutup dan f : I → ℝ kontinu pada I. Jika ε > 0 , maka terdapat fungsi tagga s_ε : I → ℝ sedemikian sehingga |f(x) - s_ε(x)| < ε untuk semua x ∈ I.

5.4.10 Teorema (Bukti)

Bukti: Karena (dari Teorema 5.4.3. Uniform Continuity) fungsi f kontinu seragam, maka diberikan ε > 0 ada bilangan δ(ε) > 0 sedemikian sehingga jika x, y ∈ I dan |x - y | < δ(ε),

maka | f(x) - f(y)| < ε.

Misalkan I := [a, b] dan m ∈ ℕ harus cukup besar sehingga h:= (b - a)/m < δ(ε).

Membagi I = [a , b] menjadi interval disjoin m dari panjang h , yaitu:

I₁ := [a , a + h] , dan I_k := (a + (k - l) h , a + kh ]

untuk k = 2 , ... , m .

5.4.10 Teorema (Bukti)

Karena panjang setiap subinterval I_k adalah h < δ(ε), perbedaan antara dua nilai f di I_k kurang dari ε . Didefinisikan

(5) s_ε(x) := f (a + kh) untuk x ∈ I_k , k ​​= 1 , . . . , m

sehingga s_ε konstan pada setiap interval I_k . (Bahkan nilai s_ε di I_k adalah nilai f pada titik ujung kanan I_k. Lihat gambar 5.4.4).

Akibatnya jika x ∈ I_k , maka

| f(x) - s_ε(x)|=| f (x) - f (a + kh) | < ε.

Oleh karena itu kita punya | f(x) - s_ε(x)| < ε .untuk semua x ∈ I.

5.4.10 Teorema (Bukti)

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Gambar 5.4.4 Pendekatan(Aproksimasi) dengan fungsi tangga

5.4.11 Akibat

​

​

Misalkan I := [a, b] interval terbatas tertutup dan misal f : I → ℝ kontinu pada I. Jika ε > 0, terdapat bilangan asli m sehingga jika kita membagi I ke interval disjoin m I_k memiliki panjang h := (b - a)/m , maka fungsi langkah s_ε didefinisikan dalam persamaan (5) yang memenuhi | f (x) - s_ε(x)| < ε untuk semua x ∈ I.

5.4.12 Definisi

​

​

Misalkan I := [a , b] merupakan interval. Kemudian fungsi g : I → ℝ dikatakan piecewise linear pada I jika I adalah gabungan (union) dari jumlah terbatas dari interval disjoin I₁, . . . , I_m sehingga pembatasan g untuk setiap interval I_k adalah fungsi linear .

5.4.13 Teorema

Misalkan I interval terbatas tertutup dan f : I → ℝ kontinu pada I. Jika ε > 0, maka terdapat sebuah fungsi piecewise linear kontinu g_ε : I → ℝ sedemikian sehingga |f(x) – g_ε(x)| < ε untuk semua x ∈ I.

5.4.13 Teorema (Bukti)

Bukti: Karena f adalah kontinu seragam pada I: = [a , b] , terdapat bilangan δ(ε) > 0

sehingga jika x , y ∈ I dan |x - y|< δ(ε),

maka |f (x) - f(y)| < ε.

Misal m ∈ ℕ harus cukup besar sehingga h: = (b - a)/m < δ(ε).

Bagilah I = [a, b] menjadi interval m menguraikan panjang h , yaitu

misal I₁ = [a , a + h] , dan misal I_k = (a + ( k - l ) h , a + kh ] untuk k = 2 , ... , m .

Setiap interval I_k didefinisikan g_ε fungsi linear yang menghubungkan titik-titik

(a + (k - l) h , I (a + (k - l) h)) dan (a + kh , I (a + kh )) .

Kemudian g_ε , adalah fungsi piecewise linear kontinu pada I .

Karena, untuk x ∈ I_k nilai f (x) adalah dalam ε dari f (a + (k - l) h) dan f (a + kh), itu menunjukkan bahwa |f(x) - g_ε(x)| < ε untuk semua x ∈ I_k , sehingga pertidaksamaan ini berlaku untuk semua x ∈ I. (Lihat Gambar 5.4.5))

5.4.13 Teorema (Bukti)

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Gambar 5.4.5 Pendekatan dengan fungsi piecewise linear

5.4.14 Teorema Aproksimasi Weierstrass

​

Misalkan I = [a , b] dan f : I → ℝ fungsi kontinu. Jika diberikan ε > 0, maka terdapat fungsi polinomial p_ε sehingga |f(x) - p_ε(x)| < ε .untuk semua x ∈ I.

5.4.14 Teorema Aproksimasi Weierstrass

Salah satu paling dasar bukti didasarkan pada teorema Serge Bernsteĭn, untuk fungsi kontinu pada [0 , 1].

Diberikan f : [0 , 1 ] → ℝ , Bernstein mendefinisikan barisan polinomial:

(6)

​

Fungsi Polinomial B_n disebut polinomial Bernsteĭn untuk f , itu adalah polinomial berderajat n dan koefisien yang bergantung pada nilai-nilai fungsi f pada n + 1 sama dengan titik 0 , 1/n , 2/n , . . . , k/n , . . . , 1 , dan pada koefisien binomial

5.4.15 Teorema Aproksimasi Bernsteĭn

Misalkan f : [ 0 , 1 ] → ℝ kontinu dan ε > 0 . Terdapat sebuah n_ε ∈ ℕ sehingga n ≥ n_ε maka dipunyai |f(x) – B_n(x)| < ε .untuk semua x ∈ [0, 1].

Teorema 5.4.14 Aproksimasi Weierstrass berasal dari Teorema 5.4.15 Aproksimasi Bernsteĭn dengan perubahan variabel .

Yaitu, mensubtitusikan f : [a, b] → ℝ oleh fungsi F : [0, 1] → ℝ, yang didefinisikan oleh

F (t) := f (a + (b - a) t) untuk t ∈ [0 , 1]

Fungsi F dapat didekati dengan polinomial Bernsteĭn untuk F pada interval [0, 1],�kemudian dapat menghasilkan polinomial pada [a , b] dengan pendekatan f .

Untuk Diketahui

TERIMA KASIH

Atas perhatiannya.....