TEORI PROBABILITAS�Pertemuan 1

Konsep Peluang (Probability Concept)

Pendahuluan

• Banyak kejadian-kejadian di dunia ini yang tidak pasti
• Misal:

• Akankah hujan sore hari ini?

• Akankah PSSI menang? dll

• Nilai Kejadian Walaupun TIDAK PASTI tetapi memiliki POLA
• POLA kejadian diperoleh dari beberapa kali percobaan
• Dari percobaan-percobaan diperoleh ukuran kemungkinan yang disebut sebagai PELUANG

Pendahuluan

• Peluang dapat diartikan sebagai ukuran kemungkinan terjadinya suatu kejadian
• Dalam hal ini: Ukuran kemungkinan dinyatakan dalam besaran numerik bernilai antara 0 (nol) sampai 1 (satu)
• 0 🡪 kejadian yang mustahil
• 1 🡪 kejadian yang pasti terjadi

Ruang Contoh

• Ruang Contoh adalah suatu gugus yang memuat semua hasil yang mungkin terjadi dari suatu percobaan.
• Notasi dari ruang contoh adalah sebagai berikut:
• S = {e1, e2, …, en}, n = banyaknya hasil
• n bisa terhingga atau tak terhingga
• e1…en = Titik Contoh atau anggota ruang contoh (Setiap kemungkinan hasil dalam suatu ruang contoh)

​

​

Percobaan

• Percobaan adalah proses yang membangkitkan/mendapatkan data
• Misalnya:

• Pelemparan sekeping mata uang

• Pelemparan sebuah dadu

• Pengukuran curah hujan dalam periode waktu tertentu

​

​

Contoh (1)

• Pelemparan sebutir dadu yang seimbang

​

​

​

​

• Pelemparan coin setimbang

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={1,2,3,4,5,6}

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={G, A}

Contoh (1) lanjutan…..

• Jenis Kelamin Bayi

​

​

​

• Pelemparan dua keping coin setimbang

​

​

​

​

​

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={Laki-laki,Perempuan}

Semua kemungkinan nilai yang muncul

S={GG, GA, AG, AA}

• Contoh-contoh Percobaan:
• Pelemparan sekeping uang logam (sisi Angka=A, sisi Gambar = G) sebanyak dua kali.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

S={AA, AG, GA, GG }

P1

P2

• Contoh-contoh Percobaan:
• Pelemparan sekeping uang logam (sisi Angka=A, sisi Gambar = G) sebanyak tiga kali.

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

​

S = {AAA, AAG, AGA, AGG, GAA, GAG, GGA, GGG}

Ruang kejadian

adalah bagian dari ruang contoh, yang memiliki karakteristik tertentu.

• Ruang kejadian biasanya dinotasikan dengan huruf kapital (A, B, …).
• Contoh: • Sisi Angka muncul dari pelemparan dua buah mata uang:

A = {AA, AG, GA}

Contoh (2)

• Percobaan : pelemparan 2 coin setimbang

Kejadian : munculnya sisi angka

​

​

​

​

• Percobaan : Pelemparan dua dadu sisi enam setimbang

Kejadian : munculnya sisi ganjil pada dadu I

​

B = {11, 12, 13, 14, 15, 16, 31, 32, …., 56}

Ruang

Kejadian

• RUANG NOL
• Ruang Nol adalah himpunan bagian ruang contoh yang tidak mengandung satu pun anggota.
• Ruang Nol disebut juga sebagai ruang kosong atau himpunan kosong.
• Ruang Nol dinotasikan dengan Ø.
• Hubungan antara kejadian dengan ruang contohnya dapat digambarkan melalui diagram Venn.

• Irisan Dua Kejadian:
• Kejadian yang mengandung semua unsur persekutuan kejadian.
• Irisan A dan B dilambangkan dengan A ∩ B
• Kejadian Saling Terpisah:
• adalah kejadian yang tidak memiliki unsur persekutuan.
• Bila kejadian A dan B saling terpisah maka A ∩ B = Ø
• Paduan Dua Kejadian:
• Kejadian yang mencakup semua unsur atau anggota kejadian.
• Paduan dua kejadian A dan B dilambangkan dengan A ⋃ B
• Komplemen Suatu Kejadian:
• Himpunan semua anggota S yang bukan kejadian dimaksud.
• Komplemen kejadian A dilambangkan dengan A’

Teladan

Bila: A = {1, 3, 5, 7}

B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

C = {9, 10}

Gambarkan himpunan-himpunan tersebut dalam diagram Venn.

Penyelesaian:

​

​

​

​

​

​

​

​

​

• Berdasarkan Gambar diagram Venn di atas maka:

1). B ⋂ C = Ø

3). B ⋂ C’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}

4). A ⋃ C = {1, 3, 5, 7, 9, 10}

5). A ⋃ B’ = {1, 3, 5, 7, 9, 10}

6). A ⋃ A’ = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}

• Dalil-dalil Kejadian:

A ⋂ Ø = Ø

A ⋃ Ø = A

A ⋃ A’ = S

S’ = Ø

Ø’ = S

(A’)’ = A

• Latihan :

​

​

​

​

​

​

​

​

​

Berdasarkan diagram venn tersebut, hitunglah:

1). A ⋂ A’ = 4). A ⋃ C =

2). B ⋂ C = 5). A ⋃ B’ =

3). B ⋂ C’ = 6). A ⋃ A’ =

​

Bagaimana cara menghitung banyaknya ruang contoh & kejadian?

Mengingat kembali apa itu Faktorial

• Jika n adalah bilangan bulat positif, maka

n! = n (n-1) (n-2) ... (3)(2)(1)

n! = n (n-1)!

• Kasus khusus 0! 🡪 0! = 1
• Contoh :
• 4! = 4.3.2.1 = 24
• 5! = 5.4.3.2.1 = 5.4! = 120
• 6! =6.5! = 720
• 7! =7.6! =
• 10! =……………..

​

• Pemecahan masalah peluang dapat dilakukan melalui pencacahan titik contoh dalam ruang contoh
• Prinsip dasar mencacah sering disebut sebagai kaidah penggandaan
• KAIDAH PENGGANDAAN:
• Bila suatu percobaan dapat dilakukan dalam n₁ cara, dan lalu dilakukan percobaan kedua dan dapat dilakukan dalam n₂ cara, maka kedua operasi itu secara bersama-sama dapat dilakukan dalam n₁n₂ cara
• Teladan:

Tentukan banyaknya titik contoh bila sepasang dadu dilemparkan dua kali dan susunlah kemungkinan pasangan dadu yang muncul

• Dadu pertama memiliki 6 kemungkinan (cara) angka muncul, yakni angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 sehingga n₁ = 6
• Dadu kedua memiliki 6 kemungkinan (cara) angka muncul, yakni angka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6 sehingga n₂ = 6
• Banyaknya titik contoh adalah n₁.n₂ = 6.(6) = 36

Dadu II

• Susunlah kemungkinan pasangan mata dadu yang muncul jika dua buah dadu dilemparkan sekali.

Penyelesaian:

​

​

​

​

​

​

Penggandaan (1)�

• Pengandaan dapat digunakan jika setiap kemungkinan dibentuk dari komponen-komponen yang saling bebas.

N(S) = n1 x n2 x … x nn

• Contoh

Melempar 3 buah mata uang:

N(S) = 2 x 2 x 2 = 8

Melempar 2 buah dadu

N(S) = 6 x 6 = 36

Permutasi (2)�

• Permutasi merupakan suatu susunan yang dibentuk oleh keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan benda; dinotasikan n!

​

• Misalkan terdapat 3 huruf a,b,c. sebutkan sususan yang bisa di bentuk dari 3 huruf tersebut?
• Jawab : 3! = 3x2x1 =6 🡪 6 titik contoh
• S = {abc, acb, bac, bca, cab, cba}

Lanjutan Permutasi (2)

• Misalkan terdapat 5 kandidat. Akan dibentuk susunan pengurus yang terdiri dari Ketua, Wakil Ketua, dan Bendahara :

​

​

• Banyaknya permutasi akibat pengambilan r benda dari n benda yang berbeda adalah:

Lanjutan Permutasi (2)

​

• Banyaknya permutasi n benda yang disusun dalam lingkaran=(n–1)!

Teladan:

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat bila 5 pohon yang berbeda disusun membentuk sebuah lingkaran?

n = 5

(n – 1)! = (5 – 1)! = 4! = 24 susunan

Lanjutan Permutasi (2)

• Banyaknya permutasi yang berbeda dari n benda yang n₁ diantaranya berjenis pertama, n₂ berjenis kedua, …, n_k berjenis ke-k adalah

​

​

​

​

• Teladan:

Berapa banyak susunan yang berbeda bila kita ingin membuat sebuah rangkaian lampu hias untuk pohon Natal dari 3 lampu merah, 4 kuning, dan 2 biru?

Penyelesaian:

n₁ = 3

n₂ = 4

n₃ = 2

​

Maka cara

​

Kombinasi (3)

• Kombinasi merupakan kejadian dimana SUSUNAN OBJEK yang terpilih TIDAK DIPERHATIKAN

​

• Misalkan memilih sejumlah orang untuk menempati suatu sejumlah kursi tempat duduk, dimana susunan tempat duduk tidak menjadi perhatian.

Lanjutan Kombinasi (3)

• Misalkan terdapat 5 orang yang akan dipilih 3 orang untuk masuk ke dalam tim cepat tepat

Kombinasi tingkat r dari n unsur/objek dapat dirumuskan sebagai berikut:

​

Kombinasi 3 dari 5

Contoh (3)

• Dalam satu kepengurusan terdiri dari 5 laki-laki dan 4 perempuan. Jika akan dipilih satu tim yang terdiri dari 2 orang laki-laki dan seorang perempuan untuk mewakili dalam munas, ada berapa susunan tim yang mungkin terbentuk!

TUGAS

1. Dua nomor diambil secara acak dari 50 nomor hadir dalam suatu pertemuan untuk menentukan hadiah pertama dan kedua dalam Door Prize. Hitunglah titik contoh dalam ruang contohnya.
2. Berapa banyak cara yang dapat disusun dari huruf “infinity”?
3. Terdapat sebuah percobaan yaitu pelemparan dadu dan mengambil satu huruf alfabet secara acak, sebutkan berapa dan apa titik contoh nya!
4. Berapa banyak susunan pertandingan sebuah regu bola basket dari 3 jadwal pertandingan pada 5 hari yang berbeda.

​

​

​

​