Media Pembelajaran

SISTEM PERSAMAAN LINEAR

DUA VARIABEL

Sumber: shutterstock.com

Andi membeli dua buku tulis dan sebuah pensil seharga Rp5.500,00, dan Rani membeli 2 buku tulis dan 2 pensil yang sama dengan Andi seharga Rp7.000,00. Dari dua keterangan di atas, kita peroleh dua model matematika:

Model Andi: 2 buku + 1 pensil = 5.500 ⇔ harga 2 buku = 5.500 – harga 1 pensil

Model Rani: 2 buku + 2 pensil = 7.000

Karena dibeli pada koperasi yang sama, sehingga model pada Andi, yakni

2 buku = 5.500 – 1 pensil dapat digunakan pada model Rani, diperoleh:

2 buku + 2 pensil = 7.000

(5.500 – 1 pensil) + 2 pensil = 7.000

5.500 – 1 pensil + 2 pensil = 7.000

1 pensil = 7.000 – 5.500

1 pensil = 1.500

5.1 PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

A. Tinjauan Kontekstual

Masalah

Misalkan Ali membeli sebuah apel dan dua jeruk di toko buah dengan harga Rp7.000,00. Di toko yang sama, Budi membeli dua apel dan sebuah jeruk seharga Rp8.000,00. Berapakah harga masing-masing untuk sebuah apel dan sebuah jeruk?

Pemecahan Masalah

a. Cara 1: Penyelesaian secara informal

b. Cara 2: Penyelesaian secara aljabar

c. Cara 3: Penyelesaian aljabar secara singkat

Diperoleh: x = 3.000 dan y = 2.000.

Jadi, harga sebuah apel = Rp3.000,00 dan harga sebuah jeruk = Rp2.000,00.

c. Cara 4: Penyelesaian dengan grafik

1. Terlebih dahulu, tentukan titik potong antara garis x + 2y = 7.000 dan 2x + y = 8.000 dengan sumbu X dan sumbu Y. Perhatikan tabel berikut.

Diperoleh titik potong garis x + 2y = 7.000 terhadap sumbu-X dan sumbu-Y adalah (7.000, 0) dan (0, 3.500) serta titik potong garis 2x + y = 8.000 terhadap sumbu-X dan sumbu-Y adalah (4.000, 0) dan (0, 8.000).

2. Buat grafik dari kedua garis tersebut seperti berikut.

Berdasarkan Gambar 5.6, terlihat bahwa titik potong kedua garis tersebut terletak pada koordinat (3.000, 2.000). Hal ini berarti penyelesaian dari model matematika:

​

​

​

adalah x = 3.000 dan y = 2.000. Jadi, harga sebuah apel = Rp3.000,00 dan harga sebuah jeruk = Rp2.000,00.

B. Tinjauan Formal (Matematis)

Diketahui sistem persamaan linear dua variabel berikut.

2x + 3y = 8

3x + 5y = 14

Jika penyelesaian persamaan tersebut x = a dan y = b, tentukan nilai 4a – 3b.

Jawab:

Eliminasi x sehingga diperoleh nilai y = 4, kemudian substitusi nilai y ke persamaan 2x + 3y = 8. Diperoleh nilai x = –2 .

​

Jika x = a dan y = b, maka nilai 4a – 3b adalah 4(–2 ) – 3(4) = –20.

5.2 MASALAH YANG BERKAITAN DENGAN SISTEM PERSAMAAN LINEAR DUA VARIABEL

​

Menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan SPLDV dapat menggunakan langkah-langkah berikut.

1. Menuliskan model matematika.
2. Menentukan penyelesaian model metematika tersebut.
3. Menggunakan penyelesaian yang telah kita peroleh untuk memecahkan masalah terkait yang lebih lanjut.

Diketahui harga tiga jeruk dan sebuah mangga Rp7.000,00. Sementara itu, harga sebuah jeruk dan dan 2 mangga Rp6.500,00.

1. Bentuklah model matematika dari soal cerita tersebut.
2. Tentukan harga masing-masing per buahnya.
3. Jika kita ingin membeli 10 jeruk dan 6 mangga, berapa rupiah harga yang harus kita bayar?

Jawab:

1. Model matematika yang dimaksud dari soal tersebut adalah sebagai berikut. (x = jeruk, y = mangga)
1. 3x + y = 7.000
2. x + 2y = 6.500
2. Pilih cara gabungan eliminasi dan subtitusi. Setelah dilakukan eliminasi variabel y diperoleh nilai variabel x, yaitu x = 1.500. Subtitusikan nilai x = 1.500 ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai y, yaitu y = 2.500. Jadi, harga per buahnya adalah jeruk Rp1.500,00 dan mangga Rp2.500,00.
3. 10x + 6y = 10 (1.500) + 6(2.500) = 30.000. Jadi, harga 10 jeruk dan 6 mangga adalah Rp30.000,00.