SMA/MA Kelas XI Semester 1
Matematika
�Disusun oleh:�Suparno
Mata Pelajaran Wajib
Disklaimer
DAFTAR ISI
BAB I Induksi Matematika
BAB II Program Linear
BAB III Matriks
BAB IV Transformasi Geometri
BAB V Barisan dan Deret
I
A. Pengantar Induksi Matematika
B. Induksi Matematika
BAGIAN BAB
Induksi Matematika
BAB
1. Notasi Sigma
2. Sifat-Sifat Notasi Sigma
A. Pengantar Induksi Matematika
3. Nilai Suatu Notasi Sigma
4. Mengubah Batas Bawah atau Batas Atas
1. Notasi Sigma
Notasi sigma (Σ) adalah cara singkat atau pelambangan dalam menuliskan penjumlahan beruntun suku-suku barisan bilangan yang mempunyai pola tertentu
Contoh Soal
2. Sifat-Sifat Notasi Sigma
Contoh Soal
3. Nilai Suatu Notasi Sigma
Untuk menentukan nilai dari suatu notasi sigma dapat menggunakan sifat-sifat notasi sigma atau menyatakan notasi sigma dalam bentuk deret terlebih dahulu.
Contoh Soal
4. Mengubah Batas Bawah atau Batas Atas
Untuk mengubah batas bawah atau batas atas suatu notasi sigma dapat menggunakan sifat notasi sigma berikut.
Contoh Soal
1. Induksi Matematika Sederhana
2. Induksi Matematika yang Diperluas
B. Induksi Matematika
3. Induksi Matematika Kuat
1. Induksi Matematika Sederhana
Langkah-Langkah Induksi:
b. Asumsikan P(n) benar untuk n = k, lalu buktikan P(n) benar untuk n = k + 1
Contoh Soal
Misalkan P(n) adalah sifat n3 + 2n habis dibagi 3
untuk setiap n bilangan asli.
2. Induksi Matematika yang Diperluas
Langkah-Langkah Induksi:
a. Buktikan P(n) benar untuk n = m
b. Asumsikan P(n) benar untuk n = k dengan k ≥ m, lalu buktikan P(n) benar untuk n = k + 1
Contoh Soal
Buktikan bahwa 2n < n! untuk setiap n ≥ 4.
3. Induksi Matematika Kuat
Langkah-Langkah Induksi:
b. Asumsikan P(n) benar untuk n = 1, 2, 3, · · ·, k – 1, k lalu buktikan P(n) benar untuk n = k + 1.
Contoh Soal
Program Linear
II
A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
B. Program Linear
BAGIAN BAB
BAB
1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
2. Menentukan Penyelesaian PtLDV
A. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel
3. Menyusun PtLDV Suatu Daerah Penyelesaian
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
1. Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (PtLDV)
Bentuk umum pertidaksamaan linear dengan dua variabel x dan y dapat dituliskan sebagai berikut.
ax + by ≤ c
ax + by ≥ c
ax + by < c
ax + by > c
dengan a, b, c ∈ bilangan real
Contoh Soal
Perhatikan contoh-contoh PtLDV dengan variabel x dan y berikut.
a. x – 2y > 2 e. 3y – x > 3
b. 2x – y < 4 f. 5x – y < 15
c. 3x + y ≤ 6 g. –x + 2y ≥ –4
d. x – 4y ≥ 8 h. x – y ≤ 1
2. Menentukan Penyelesaian PtLDV
Penyelesaian pertidaksamaan dua variabel merupakan himpunan pasangan bilangan (x, y) yang memenuhi pertidaksamaan linear tersebut. Jika digambarkan pada bidang koordinat kartesius, himpunan
pasangan bilangan (x, y) tersebut berada dalam suatu daerah yang disebut daerah penyelesaian (DP).
Contoh Soal
Tentukan daerah penyelesaian dari:
b. 3x + 4y ≥ 12
3. Menyusun PtLDV Suatu Daerah Penyelesaian
Langkah-langkah menyusun PtLDV:
b. Melakukan uji titik untuk menentukan tanda ketidaksamaan.
Contoh Soal
4. Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV)
Setiap SPtLDV terdiri atas dua atau lebih pertidaksamaan linear dua variabel. Daerah penyelesaian SPtLDV merupakan irisan daerah penyelesaian PtLDV penyusun SPtLDV tersebut.
Contoh Soal
1. Model Matematika
2. Fungsi Tujuan
B. Program Linear
3. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan
1. Model Matematika
Model matematika pada permasalahan program linear berupa SPtdLDV. SPtdLDV tersebut dinamakan pembatas atau kendala.
Contoh Soal
Seorang distributor buah akan mendistribusikan 80 ton buah dari gudang ke pedagang pengecer. Untuk keperluan tersebut ia menyewa dua jenis ruk. Truk jenis I dengan kapasitas 4 ton dan truk jenis II dengan kapasitas 3 ton. Distributor tersebut hanya dapat menyewa truk sebanyak 24 kali jalan. Jika x menyatakan banyak truk jenis I dan y menyatakan banyak truk jenis II, tentukan model matematika yang sesuai.
2. Fungsi Tujuan
Fungsi tujuan disebut juga fungsi sasaran atau fungsi objektif. Nilai fungsi tujuan f(x, y) = ax + by tergantung dari nilai-nilai x dan y yang memenuhi kendala. Nilai fungsi tujuan bisa minimum atau maksimum. Nilai minimum atau nilai maksimum disebut juga nilai optimum atau nilai ekstrim.
3. Menentukan Nilai Optimum Fungsi Tujuan
2. Menggambar daerah penyelesaian sistem pertidaksamaan dan garis selidik f0.
3. Menentukan persamaan garis selidik yang sejajar dengan f0.
b. Menggunakan Metode Uji Titik Pojok
Contoh Soal
Matriks
III
A. Pengertian dan Notasi Matriks
B. Operasi Matriks
BAGIAN BAB
C. Determinan dan Invers Matriks
D. Menyelesaikan Masalah Menggunakan Matriks
BAB
1. Pengertian Matriks
2. Notasi dan Ordo Matriks
A. Pengertian dan Notasi Matriks
3. Macam-Macam Matriks
4. Transpos Suatu Matriks
5. Kesamaan Dua Matriks
1. Pengertian Matriks
Matriks adalah susunan bilangan yang diatur menurut aturan baris dan kolom dalam suatu jajaran berbentuk persegi atau persegi panjang. Susunan bilangan-bilangan itu biasanya diletakkan dalam kurung biasa ( ) atau kurung siku [ ]. Bilangan-bilangan tersebut biasanya dinamakan anggota atau elemen matriks.
Contoh Soal
2. Notasi dan Ordo Matriks
Matriks dinyatakan dengan huruf besar dan elemen-elemennya dinyatakan dengan huruf kecil. Jika suatu matriks A terdiri atas m baris
dan n kolom maka m × n menyatakan ukuran atau ordo dari matriks A.
Contoh Soal
3. Macam-Macam Matriks
a. Matriks Berdasarkan Banyak Baris dan Banyak Kolom
1. Matriks baris adalah matriks yang hanya terdiri atas 1 baris.
2. Matriks kolom adalah matriks yang hanya terdiri atas 1 kolom.
3. Matriks persegi panjang adalah matriks yang banyak barisnya tidak sama dengan banyak kolomnya.
4. Matriks persegi adalah matriks yang mempunyai banyak baris dan kolom sama.
b. Matriks Berdasarkan Pola Elemen-Elemen
2. Matriks diagonal (D) adalah suatu matriks persegi dengan elemen pada diagonal utama tidak semuanya bernilai nol tetapi semua elemen yang lain bernilai nol.
3. Matriks identitas (I) adalah suatu matriks persegi dengan elemen-elemen pada diagonal utama ama dengan 1 (satu) dan elemen-elemen yang lain sama dengan nol.
4. Matriks segitiga adalah matriks persegi berordo n × n dengan elemen-elemen matriks di bawah atau di atas diagonal utama semuanya nol.
Contoh Soal
4. Transpos Suatu Matriks
Transpos matriks adalah perubahan posisi elemen matriks. Transpos matriks A adalah suatu matriks baru yang terbentuk dengan menuliskan elemen-elemen pada baris matriks A menjadi elemen-elemen pada kolomnya. Transpos matriks A dinyatakan dengan A′ atau AT.
Contoh Soal
5. Kesamaan Dua Matriks
Matriks A = (aij) dikatakan sama dengan matriks B = (bij) jika dan hanya jika:
b. setiap elemen yang seletak pada matriks A dan matriks B mempunyai nilai yang sama, aij = bij (untuk semua nilai i dan j).
Matriks A sama dengan matriks B dilambangkan dengan A = B.
Contoh Soal
1. Penjumlahan Matriks
2. Pengurangan Matriks
B. Operasi Matriks
3. Perkalian Skalar dengan Matriks
4. Perkalian Matriks
5. Pemangkatan Matriks
1. Penjumlahan Matriks
Dua atau lebih matriks dapat dijumlahkan jika ordo matriks-matriks tersebut sama. Penjumlahan atriks dilakukan dengan menjumlahkan elemen-elemen yang seletak.
Contoh Soal
2. Pengurangan Matriks
Dua atau lebih matriks dapat dikurangkan jika ordo matriks-matriks tersebut sama. Pengurangan atriks dilakukan dengan mengurangkan elemen-elemen yang seletak.
Contoh Soal
3. Perkalian Skalar dengan Matriks
Jika A adalah sebuah matriks dan k adalah suatu bilangan real, hasil perkalian skalar dan matriks (kA) berupa matriks baru yang diperoleh dengan mengalikan setiap elemen matriks A dengan k.
Contoh Soal
4. Perkalian Matriks
Contoh Soal
5. Pemangkatan Matriks
Pemangkatan matriks hanya berlaku pada matriks persegi. Misalkan matriks A adalah matriks persegi n × n maka:
A2 = AA
A3 = AA2
A4 = AA3
Contoh Soal
1. Determinan Matriks 2 x 2
2. Determinan Matriks 3 x 3
C. Determinan dan Invers Matriks
3. Invers Matriks 2 x 2
4. Invers Matriks 3 x 3
5. Persamaan Bentuk Matriks
1. Determinan Matriks 2 x 2
Contoh Soal
2. Determinan Matriks 3 x 3
Contoh Soal
3. Invers Matriks 2 x 2
Contoh Soal
4. Invers Matriks 3 x 3
Contoh Soal
5. Persamaan Bentuk Matriks
AX = B ⇒ X = A–1B
XA = B ⇒ X = BA–1
Contoh Soal
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
D. Menyelesaikan Masalah Menggunakan Matriks
1. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel
a. Menggunakan Cara Invers Matriks
b. Menggunakan Determinan (Aturan Cramer)
Contoh Soal
2. Sistem Persamaan Linear dengan Tiga Variabel
a. Menggunakan Cara Invers Matriks
b. Menggunakan Determinan (Aturan Cramer)
Contoh Soal
Transformasi Geometri
IV
A. Translasi (Pergeseran)
B. Refleksi (Pencerminan)
BAGIAN BAB
C. Rotasi (Perputaran)
D. Dilatasi (Perkalian)
E. Transformasi Matriks
BAB
1. Bentuk Translasi
2. Komposisi Translasi
A. Translasi (Pergeseran)
3. Translasi Kurva
1. Bentuk Translasi
Translasi (pergeseran) merupakan transformasi yang memindahkan titik dengan jarak dan arah tertentu. Pada translasi digunakan pendekatan koordinat.
Contoh Soal
2. Komposisi Translasi
Contoh Soal
3. Translasi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh translasi.
c. Substitusikan persamaan x dan persamaan y yang diperoleh pada langkah (b) ke dalam persamaan kurva. Kurva inilah yang disebut hasil translasi kurva.
Contoh Soal
1. Bentuk Refleksi
2. Komposisi Refleksi
B. Refleksi (Pencerminan)
3. Refleksi Kurva
1. Bentuk Refleksi
Refleksi (pencerminan) merupakan transformasi yang memindahkan titik menurut sifat-sifat cermin.
Refleksi | Titik Semula | Hasil Refleksi |
Sumbu X | (x, y) | (x, –y) |
Sumbu Y | (x, y) | (–x, y) |
Garis y = x | (x, y) | (y, x) |
Garis y = –x | (x, y) | (–x, –y) |
Garis x = a | (x, y) | (2a – x, y) |
Garis y = b | (x, y) | (x, 2b – y) |
Contoh Soal
2. Komposisi Refleksi
Komposisi refleksi merupakan gabungan dua atau lebih proses refleksi yang dilakukan secara berurutan.
Contoh Soal
3. Refleksi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh refleksi.
c. Substitusikan persamaan x dan persamaan y yang diperoleh pada langkah (b) ke dalam persamaan kurva. Kurva inilah yang disebut hasil refleksi kurva.
Contoh Soal
1. Bentuk Rotasi
2. Komposisi Rotasi
C. Rotasi (Perputaran)
3. Rotasi Kurva
1. Bentuk Rotasi
Rotasi (perputaran) merupakan putaran benda pada poros yang tetap. Rotasi termasuk transformasi geometri. Rotasi dapat diartikan sebagai transformasi yang memindahkan titik-titik dengan cara memutar titik-titik tersebut sejauh α terhadap titik pusat tertentu.
a. Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0)
b. Rotasi terhadap Titik Pusat (m, n)
Contoh Soal
2. Komposisi Rotasi
Komposisi rotasi yang berpusat sama akan ekuivalen dengan rotasi dengan pusat sama sebesar penjumlahan kedua sudut rotasinya.
a. Komposisi Rotasi terhadap Titik Pusat (0, 0)
b. Komposisi Rotasi terhadap Titik Pusat (m, n)
Contoh Soal
3. Rotasi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh rotasi.
c. Substitusikan persamaan x dan persamaan y yang diperoleh pada langkah (b) ke dalam persamaan kurva. Kurva inilah yang disebut hasil rotasi kurva.
Contoh Soal
1. Bentuk Dilatasi
2. Komposisi Dilatasi
D. Dilatasi (Perkalian)
3. Dilatasi Kurva
4. Faktor Skala k
1. Bentuk Dilatasi
Dilatasi (perkalian) merupakan perubahan ukuran suatu benda. Dilatasi dapat diartikan sebagai transformasi yang mengubah ukuran (memperbesar atau memperkecil) suatu bangun geometri, tetapi tidak mengubah bentuk bangun geometri tersebut.
a. Dilatasi terhadap Titik Pusat (0, 0)
b. Dilatasi terhadap Titik Pusat (m, n)
Contoh Soal
2. Komposisi Dilatasi
Komposisi dilatasi yang berpusat sama akan ekuivalen dengan dilatasi dengan pusat sama sebesar perkalian kedua faktor skalanya.
a. Komposisi Dilatasi terhadap Titik Pusat (0, 0)
b. Komposisi Dilatasi terhadap Titik Pusat (m, n)
Contoh Soal
3. Dilatasi Kurva
Langkah-langkah menentukan persamaan kurva oleh dilatasi.
a. Persamaan kurva yang akan dirotasikan memuat variabel x dan y. Misalkan bahwa titik (x, y) terletak pada kurva.
b. Tentukan hasil dilatasi titik (x, y) misalkan titik (x′, y′). Anda akan memperoleh hubungan x, x′, y, dan y′. Nyatakan x dan y sebagai persamaan dalam x′ dan y′.
c. Substitusikan persamaan x dan persamaan y yang diperoleh pada langkah (b) ke dalam persamaan kurva. Kurva inilah yang disebut hasil dilatasi kurva.
Contoh Soal
4. Faktor Skala k
Sifat dilatasi dapat dilihat dari nilai faktor skala k.
a. Untuk nilai k > 1 maka bangun akan diperbesar dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
b. Untuk 0 < k < 1 maka bangun akan diperkecil dan terletak searah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
c. Untuk –1 < k < 0 maka bangun akan diperkecil dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
d. Untuk k < –1 maka bangun akan diperbesar dan terletak berlawanan arah terhadap pusat dilatasi dengan bangun semula.
Contoh Soal
1. Transformasi Matriks
2. Komposisi Transformasi Matriks
E. Transformasi Matriks
1. Transformasi Matriks
Contoh Soal
2. Komposisi Transformasi Matriks
a. Komposisi transformasi (T2 o T1) artinya transformasi terhadap matriks T1 dilanjutkan transformasi terhadap matriks T2. Bentuk (T2 o T1) bersesuaian dengan perkalian matriks:
Komposisi transformasi merupakan gabungan dua atau lebih transformasi yang dilakukan pada suatu titik atau kurva.
b. Komposisi transformasi (T1 o T2) artinya transformasi terhadap matriks T2 dilanjutkan transformasi terhadap matriks T1. Bentuk (T1 o T2) bersesuaian dengan perkalian matriks:
Contoh Soal
Barisan dan Deret
V
A. Barisan dan Deret Aritmetika
B. Barisan dan Deret Geometri
BAGIAN BAB
C. Aplikasi Barisan dan Deret Bilangan
BAB
1. Barisan Aritmetika
2. Deret Aritmetika
A. Barisan dan Deret Aritmetika
1. Barisan Aritmetika
Barisan aritmetika disebut juga barisan hitung. Pada barisan aritmetika ditandai dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki beda yang sama.
Beda:
b = U2 – U1 = U3 – U2 = U4 – U3 = . . . = Un – Un – 1
Rumus suku ke-n:
Un = a + (n – 1)b
Contoh Soal
2. Deret Aritmetika
Jika suku-suku suatu barisan aritmetika dijumlahkan maka akan diperoleh deret aritmetika.
Rumus jumlah n suku pertama:
Suku ke-n:
Contoh Soal
1. Barisan Geometri
2. Deret Geometri
B. Barisan dan Deret Geometri
3. Deret Geometri Tak Hingga
1. Barisan Geometri
Barisan geometri disebut juga barisan ukur. Pada barisan geometri ditandai dengan setiap dua suku yang berurutan memiliki rasio yang sama.
Rumus suku ke-n:
Un = arn – 1
Rasio:
Contoh Soal
2. Deret Geometri
Jika suku-suku suatu barisan geometri dijumlahkan maka akan diperoleh deret geometri.
Suku ke-n:
Rumus jumlah n suku pertama:
Contoh Soal
3. Deret Geometri Tak Hingga
Barisan geometri yang mempunyai banyak suku tak hingga disebut barisan geometri tak hingga.
Rumus jumlah deret geometri tak hingga:
Contoh Soal
1. Pertumbuhan
2. Peluruhan
C. Aplikasi Barisan dan Deret Bilangan
3. Bunga Majemuk
4. Anuitas
1. Pertumbuhan
Kaidah barisan dan deret dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan pertumbuhan. Pada bahasan ini, pertumbuhan yang dimaksud adalah pertumbuhan eksponensial, yaitu pertumbuhan menurut deret ukur (geometri). Pertumbuhan selalu bertambah dengan suatu persentase yang tetap dalam jangka waktu tertentu.
Secara umum, pertumbuhan setelah t tahun:
Contoh Soal
2. Peluruhan
Kaidah barisan dan deret juga dapat digunakan untuk memudahkan penyelesaian perhitungan peluruhan. Peluruhan yang dimaksud adalah peluruhan eksponensial, yaitu peluruhan menurut deret ukur (geometri). Peluruhan selalu berkurang dengan suatu persentase yang tetap dalam jangka waktu tertentu.
Secara umum, peluruhan setelah t tahun:
Contoh Soal
3. Bunga Majemuk
Bunga majemuk adalah bunga yang dihitung atas jumlah pinjaman pokok ditambah bunga yang diperoleh sebelumnya. Uang yang dibungakan dengan bunga majemuk akan bertambah sebagaimana pertumbuhan.
Nilai uang setelah t periode dirumuskan:
Contoh Soal
4. Anuitas
Anuitas adalah suatu pembayaran atau penerimaan uang setiap jangka waktu tertentu dalam jumlah sama atau tetap. Jangka waktu tertentu tersebut dinamakan periode. Pembayaran secara anuitas dilakukan setiap akhir periode.
Nilai anuitas A dari suatu pinjaman M dengan suku bunga i% dirumuskan dengan:
Contoh Soal
Terima Kasih