“Математика володіє не лише істиною, але і вищою красою - красою вигостреною і строгою, піднесено чистою і прагнучою до справжньої досконалості, яка властива лише найбільшим зразкам мистецтва”.
Бертран Рассел
Куля
Кулею називається тіло, яке складається з усіх точок простору, які знаходяться на відстані не більшої за данну (яка називається радіусом) від даної точки (яка називається центром)
R
O
Довільний відрізок, який з’єднує центр кулі з точкою кулевої поверхні , називаєть-ся радіусом. A – точка кулевої поверхні
Відрізок, який з’єднує дві точки кулевої поверхні і проходить через центр кулі, називається діаметром.
A
R
d
Границя кулі називається кулевою поверхнею або сферою. Т.ч., точками сфери є всі точки кулі, які віддалені від центра на відстані, що дорівнює радіусу.
Кінці довільного діаметру називаються діаметрально протилежними точками кулі.
На малюнку точки А і В є діаметрально протилежними.
A
B
C
D
L
K
Сфера може бути отримана обертанням півкола навколо її діаметру AB як вісі, а куля – обертанням пів- круга навколо його діаметра.
A
B
Переріз кулі площиною
Теорема. Будь-який переріз кулі площиною є круг. Центр цього круга є основою перпендикуляра, опущеного з центра кулі на січну площину.
Площина, що проходить через центр кулі, называється діаметральною площиною.
Перетин кулі діаметральною площиною называється великим кругом, а перетин сфери – великим колом.
Симетрія кулі
Теорема. Люба діаметральна площина кулі є його площиною симетрії. Центр кулі є його центром симетрії.
O
A
Х
a
Y
Z
Дотична площина до кулі
Площина, що проходить через точку А кулевої поверхні і перпендикулярна радіусу, проведеному в точку А, називається дотичною площиною.
Точка А називається точкою дотику.
Пряма в дотичній площині кулі, що проходить через точку дотику, називається дотичною до кулі в цій точці.
Теорема.
Дотична площина має з кулею тільки одну спільну точку – точку дотику.
Задача 1
Радіус кулі дорівнює 3 см.
Знайдіть:
1. діаметр кулі;
2. довжину великого кола;
3. площу великого круга.
Задача 2
На дотичній площині до сфери взято точку М і з'єднано з центром сфери О. Відрізок МО перетнув сферу у точці К. Чому дорівнює довжина відрізка МК?
Задача 3
Кулю радіуса 5 см перетнуто площиною на відстані 3 см
від центра.
Знайти площу перерізу.
Задача 4
Вершини прямокутника лежать на сфері радіуса 10 см.
Знайдіть відстань від центра сфери до площини прямокутника, якщо діагональ прямокутника дорівнює 16 см.
Задача 5
Катети прямкутного трикутника дорівнюють 30 і 40 см.
На якій відстані від площини трикутника знаходиться центр сфери, яка має радіус 65 см і проходить через всі вершини трикутника?
Підведення підсумку заняття
1.Назвіть приклади кулі і сфери в природі.
2. Назвіть основні елементи кулі і сфери.
3. Скільки площин симетрії має куля?
4. Що ми називаємо діаметрально протилежними точками?
5. Скільки центрів симетрії має куля?
6. Яка площина називається дотичною до кулі?
7. Яку властивість має площина дотична до кулі?
8. Чим є перетин двох сфер?