09.11.2025

Сьогодні

Урок

№19

Геометрія

Розділ . Подібність трикутників

Теорема Фалеса.

Теорема про пропорційність відрізків

09.11.2025

Сьогодні

Організація класу

«Теорема Фалеса — це коли геометрія каже: “Поділи чесно, і буде тобі рівність»»

​

«Теорема Фалеса — це як геометричний нотаріус: усе фіксує, ділить і гарантує рівність.»

Геометричний креатив

09.11.2025

Сьогодні

Повідомлення теми уроку та мотивація

навчально-пізнавальної діяльності учнів

Мета уроку:� засвоєння теореми Фалеса, формування вмінь застосовувати теорему при поділі відрізка на рівні частини та закріпити свої практичні навички в застосуванні теореми при розв’язуванні типових задач.

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Теорема Фалеса.

Теорема про пропорційність відрізків

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Фалес Мілетський — давньогрецький математик і астроном. Його вважають одним з так званих семи мудреців світу. Ще в молоді роки допитливий юнак вирушив у подорож до Єгипту, щоб ознайомитися з єгипетською культурою та вивчати природничі науки. Там здібний та обдарований Фалес не тільки швидко вивчив те, що на той час уже було відомо єгипетським ученим, а й зробив низку власних наукових відкриттів. Він самостійно визначив висоту єгипетських пірамід за їхньою тінню. А повернувшись на батьківщину, заснував у Мілеті філософську школу. Фалес передбачив сонячне затемнення, яке відбулося 28 травня 585 року до н. е. На гробниці Фалеса вирізьблено: «Наскільки є малою ця гробниця, настільки великою є слава цього царя астрономії в царині зірок».

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Відношення й пропорції в геометрії використовувалися давніх-давен. Про це свідчать давньоєгипетські храми, деталі гробниці Менеса в Накаді, піраміди в Гізі (III ст. до н. е.), перські палаци, давньоіндійські пам’ятки тощо.

У п’ятій книзі Евклід виклав загальну теорію відношень і пропорцій, яку приблизно за 100 років до Евкліда розробив давньогрецький математик, механік і астроном Евдокс (408 р. до н. е. – 355 р. до н. е.). Пропорційність відрізків прямих, які перетнуто кількома паралельними прямими, була відома ще вавилонським ученим, хоча багато істориків математики вважають, що це відкриття належить Фалесу Мілетському.

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Практичне застосування:

Фалес, використовував властивості подібних трикутників для вимірювання висоти пірамід за довжиною їх тіні та відстаней до кораблів, чим немало здивував єгипетського фараона Амазіса.

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Якщо паралельні прямі, які перетинають сторони кута, відтинають на одній його стороні рівні між собою відрізки, то вони відтинають рівні між собою відрізки і на другій його стороні.

Теорема Фалеса

Паралельні прямі, які перетинають дві дані прямі

та відтинають на одній з них рівні відрізки, відтинають рівні відрізки і на другій прямій.

Наслідок:

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Теорема

Фалеса

Доведення. Нехай паралельні прямі А₁В₁, А₂В₂, А₃В_з перетинають сторони кута з вершиною О (мал.), причому

А₁А₂ = А₂А_з. Доведемо, що В₁В₂ = В₂B₃.

1. Проведемо через точки А₁ і А₂ прямі А₁М і А₂N, паралельні прямій ОВ₃. А₁А₂ = А₂А_з (за умовою), ∠А₂A₁M = ∠A₃A₂N (як відповідні кути при паралельних прямих A₁M i A₂N), ∠A₁A₂M = ∠A₂A₃N (як відповідні кути при паралельних прямих). Тому ∆А₁А₂М = ∆A₂A₃N (за стороною і двома прилеглими кутами), а значить А₁М = A₂N (як відповідні сторони рівних трикутників).

2) Чотирикутник А₁МВ₂В₁ паралелограм (за побудовою). Тому -A₁M = B₁B₂. Аналогічно А₂NB₃B₂ паралелограм, тому А₂N = B₂B₃. Отже, А₁М = A₂N, A₁M = B₁B₂, A₂N = B₂В₃. Звідки В₁В₂ = В₂В₃, що й треба було довести.

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Поділ відрізка

на кілька рівних частин

Задача. Поділити відрізок АВ на 6 рівних частин.

Розв’язання: 1) Нехай АВ – даний відрізок (мал.). Проведемо довільний промінь АС і відкладемо на ньому циркулем послідовно 6 відрізків:

AC₁ = C₁C₂ = C₂C₃ = C₃C₄ = C₄C₅ = C₅C₆.

2) Через точки С₆ і В проведемо пряму.

3) Через точки С₁, C₂, C₃, C₄, C₅ проведемо за допомогою косинця і лінійки прямі, паралельні прямій ВС₆.

За теоремою Фалеса, ці прямі поділять відрізок АВ на 6 рівних між собою частин:

AD₁ = D₁D₂ = D₂D₃ = D₃D₄ = D₄D₅ = D₅B.

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Відношення та пропорційність відрізків

Паралельні прямі, що перетинають сторони кута, відтинають на його сторонах пропорційні відрізки.

Узагальнена теорема Фалéса та наслідки з неї

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

2) Розіб’ємо відрізок AC на p рівних частин завдовжки h, а відрізок CC₁ – на q рівних частин завдовжки h. Проведемо через точки розбиття прямі, паралельні прямій BC (мал.). За теоремою Фалеса, вони розіб’ють відрізок AB₁ на (p + q) рівних відрізків завдовжки h₁, причому AB складатиметься з p таких відрізків, а BB₁ –з q таких відрізків. Маємо: AB = ph₁, BB1 = qh₁.

3) Знайдемо відношення АВ:ВВ₁ і АС:СС₁. Матимемо:

Отже, АВ:ВВ₁ = АС:СС.

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудова четвертого пропорційного відрізка

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Побудова четвертого пропорційного відрізка

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

На якому з наведених рисунків допущено помилку в зображенні паралельних прямих а і b ?

09.11.2025

Сьогодні

Гімнастика для очей

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 369

Підручник.

Сторінка

94

1 рівень

Накресліть довільний відрізок і поділіть його на п’ять рівних частин.

Розв‘язання:

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 369

Підручник.

Сторінка

94

1 рівень

Розв‘язання:

В

A

x

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 374

Підручник.

Сторінка

95

1 рівень

На рисунку 123 АВ = ВС, EF = 5 см. Знайдіть відрізок ED.

A

За умовою АВ = BC, EF = 5 см. За теоремою Фалеса маємо: CF Ʇ FN, AD Ʇ FN, тоді CF ǁ BE ǁ AD, AB тоді FE = ED = 5 см.

Відповідь: 5 см.

Розв‘язання:

B

C

E

D

F

N

5 см

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 375

Підручник.

Сторінка

95

1 рівень

Знайдіть відношення відрізків АВ і CD, якщо їхні довжини відповідно дорівнюють 12 см і 18 см. Чи зміниться це відношення, якщо довжини даних відрізків виразити в дециметрах? У міліметрах? Обговоріть це питання в класі.

Розв‘язання:

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 376

Підручник.

Сторінка

95

1 рівень

Чи пропорційні відрізки АВ і CD відповідно відрізкам EF і МК, якщо:

Розв‘язання:

1) AB = 16 см, CD = 6 см, EF = 24 см, MK = 9 см.

2) AB = 8 см, CD = 20 см, EF = 10 см, MK = 35 см?

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання № 386

Підручник.

Сторінка

96

1 рівень

Відрізок BD є бісектрисою трикутника АВС, АВ = 40 см, AD = 30 см, CD = 12 см. Знайдіть сторону BC.

A

B

C

30 см

12 см

D

Розв‘язання:

40 см

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

1 рівень

Розв‘язання:

O

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

3 рівень

Поділіть заданий відрізок на дві частини, відношення яких дорівнює 2: 5.

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

3 рівень

Розв‘язання:

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

3 рівень

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

3 рівень

Розв‘язання:

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

3 рівень

Розв‘язання:

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

4 рівень

M і N – відповідно середини сторін АВ і CD паралелограма ABCD. Відрізки MD і BN перетинають діагональ АС у точках L і K відповідно.

Доведіть, що AL = LK = KC.

A

B

C

D

N

M

L

K

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

4 рівень

Розв‘язання:

A

Чотирикутник MBND – паралелограм за ознакою(МВ ‖ ND, MB = ND як половини рівних сторін).

Тоді BN ‖ MD.

Розглянемо кут ВАС.

За теоремою Фалеса АМ : МВ = AL : LK.

Оскільки АМ = МВ, то AL = LK.

Аналогічно CN : ND =CK : LK, звідки CK = LK.

Отже, AL = LK = CK.

B

C

D

N

M

L

K

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

Завдання

4 рівень

A

Точка К – середина медіани AD трикутника ABC. Промінь ВК перетинає сторону АС у точці М. Знайдіть АМ : МС.

D

B

C

M

K

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

4 рівень

Розв‘язання:

A

D

B

C

M

N

K

За умовою D – середина ВС, K – середина AD.

Проведемо DN ‖ BK. Паралельні прямі ВМ і DN перетинають сторону трикутника DAC. AK = KD, значить, АМ = MN.

Паралельні прямі BM і DN перетинають сторону кута ВСА. За умовою BD = DC, значить, MN = NC.

Отже, AM = MN = NC. Тоді AM : MC = 1 : 2.

09.11.2025

Сьогодні

Завдання для домашньої роботи

Опрацювати сторінки підручника с. 89-102

​

Виконати завдання

№ . 372, 377

09.11.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Висота футбольних воріт — відстань від нижнього контура перекладини до поверхні землі — 8 футів. Ширина футбольних воріт -

відстань між стійками – 8 ярдів.

Знайдіть в інтернеті, як перевести фути та ярди в метри, й обчисліть площу футбольних воріт у м². Результат округліть до десятих м².

09.11.2025

Сьогодні

Закріплення матеріалу

Розв’язання

Висота – 8 футів

Ширина – 8 ярдів

S - ? м²

8 футів = 243 см = 2,43 м;

8 ярдів = 731 см = 7,31 м

S = 2,43 ∙ 7,31 = 17,8 (м²) – площа воріт.

Відповідь: площа воріт 17,8 м².

09.11.2025

Сьогодні

Вивчення нового матеріалу. Формування вмінь

1. На малюнку

А₁В₁ || A₂ B₂ || A₃B₃,

A₁A₂ = 4 см,

A₂A₃ = 4 см, В₁B₂ = 7 см.

Знайдіть B₂B₃.

​

2. Чи подібні трикутники АВС і DNC?�Відповідь поясніть.

​

09.11.2025

Сьогодні

Підсумок уроку. Усне опитування

1. Сформулюйте теорему Фалеса.
2. Що називають відношенням двох відрізків?
3. У якому випадку говорять, що відрізки АВ і CD пропорційні відрізкам А₁ B₁, i C₁D₁?
4. Сформулюйте теорему про пропорційні відрізки.
5. Сформулюйте узагальнену теорему Фалеса.
6. За якої умови відрізок x є четвертим пропорційним відрізків a, b і c?

​

09.11.2025

Сьогодні

Рефлексія. Вправа «Плюс – мінус – цікаво»

Що сподобалось на уроці? Що здалося цікавим та корисним?

Що не сподобалось? Що здалося важким, незрозумілим?

Про які факти дізналися на уроці? Чого б ще хотіли дізнатися?

+

_

?