12.1.1 ข้อกำหนดในการคำนวณหาค่าความเค้นของคาน
ในการคำนวณหาค่าความเค้นดังกล่าวในหน่วยนี้จะคำนวณคานที่มีลักษณะเบื้องต้น ดังนี้
1. ต้องมีเนื้อวัสดุทำคานเดียวกันตลอดคาน ดังรูปที่ 12.1
2. ความเค้นสูงสุดที่เกิดขึ้นต้องไม่เกินค่าพิกัดความเป็นสัดส่วน (รายละเอียดในหน่วยที่ 2)เนื่องจากหากความเค้นสูงเกินพิกัด ความเป็นสัดส่วนรูปทรงของคานจะเปลี่ยนรูป
ลักษณะโมเมนต์ดัดในคาน
3. คานมีขนาดลักษณะสมมาตรในแนวระดับแสดงตัวอย่างดังรูป ซึ่งคานอาจมีรูปร่างต่างจากนี้ก็ได้ แต่พื้นที่หน้าตัดเหนือเส้น N–A กับพื้นที่หน้าตัดใต้ N–A ต้องสมมาตรกัน
ลักษณะพื้นที่หน้าตัดของคานที่สมมาตรในแนวระดับ
(ต่อ) ลักษณะพื้นที่หน้าตัดของคานที่สมมาตรในแนวระดับ
4. คานต้องมีรูปทรงพื้นที่หน้าตัดเดิมทั้งก่อนและขณะรับแรง หากพื้นที่หน้าตัดมีรูปทรงเปลี่ยนแปลงขณะรับแรงดังรูป แล้วไม่สามารถใช้สูตรในการคำนวณที่กำลังจะทำการศึกษานี้ได้
พื้นที่หน้าตัดของคานที่เปลี่ยนไปขณะรับแรง
12.1.2 วิธีการคำนวณความเค้นดัดในคาน
แนวยืด–หดของคานในระดับต่าง ๆ
(ต่อ) แนวยืด–หดของคานในระดับต่าง ๆ
จากรูป คานรองรับอย่างง่าย (Simply Supported Beam) ถูกแรงแบบจุดกระทำผลของแรงทำให้คานรับความเค้นดัดสูงสุดที่จุดรับแรง (F) ทำให้คานโค้งงอ
พิจารณาส่วนของคานบริเวณที่ต้องการหาค่าความเค้น ดังนี้
1. ก่อนดัด
ความยาวคานที่ระดับ m–p, a–b, c–d และ n–q มีความยาวเท่ากัน ที่ระดับ a–b เป็นระดับที่อยู่ในระดับแนว N–A พอดี จึงเป็นระดับที่ไม่เกิดการยืดหรือหด
2. ขณะถูกดัด
ผิวด้านบนหดเข้า แสดงว่ารับแรงอัดทำให้เกิดความเค้นอัด
ผิวด้านล่างยืดออก แสดงว่ารับแรงดึงทำให้เกิดความเค้นดึง
เนื่องจากหน้าตัดคานมีรูปทรงที่สมมาตรในแนวระดับ จึงทำให้บริเวณระดับกึ่งกลางคาน�ไม่เกิดการยืดหรือหด ถึงแม้จะมีลักษณะโค้งงอไปตามคานก็ตาม แนวระดับนี้เรียกว่า แกนสะเทิน (Neutral Axis) เรียกย่อว่า แกน N–A ถ้าพื้นที่หน้าตัดของคานไม่สมมาตรกันในแนวระดับ แกน N–A อาจไม่อยู่กึ่งกลางคานได้
พิจารณาความยาวคานที่ระดับ c–d อยู่ต่ำกว่าระดับ N–A เท่ากับ y
ความยาวคาน a–b มีค่าเท่ากับความยาว a'–b' = Rdθ เท่ากับความยาวเดิมก่อนรับโมเมนต์ดัด
ความยาวคานระดับ c'–d' ยืดออกจนมีค่าเท่ากับ (R+y)dθ
ความสัมพันธ์ระหว่างความเค้นที่เกิดขึ้นในเนื้อพื้นที่หน้าตัดคานกับระยะห่างจากแนวสะเทิน (Neutral Axis)
สมการที่ 12.4 แสดงให้เห็นว่ายิ่งระยะห่างจากแนว N–A มาก ยิ่งทำให้ความเครียดมากขึ้นอย่างเป็นปฏิภาคโดยตรงจากกฎของฮุก (Hook’s Law) ความเค้นของเนื้อคานที่ระดับต่าง ๆ ก็ให้ผลเช่นเดียวกันซึ่งแสดงให้เห็นดังรูป
พิจารณาพื้นที่เล็ก ๆ ขนาดยาว b สูง dy อยู่ต่ำจากแนว N–A เท่ากับ y
มีพื้นที่หน้าตัด dA = bdy
พื้นที่ dA มีแรงเท่ากับ dF
จึงมีความเค้น คือ
กำหนดให้ผลของแรง dF มีผลทำให้เกิดโมเมนต์เท่ากับ dM
พื้นที่หน้าตัดคานรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้า กว้าง b สูง h
คานหน้าดัดสี่เหลี่ยมผืนผ้า ขนาดกว้าง b สูง h จะได้ค่าโมเมนต์ดัดดังนี้
ค่า ∫y dA เรียกว่า ค่าโมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia; I) ทำให้สมการ (12.5) สามารถเขียนใหม่ได้เป็น
2
สูตรที่ 12.8 ใช้หาค่าความเค้นที่ในเนื้อวัสดุที่จุดใด ๆ ห่างจากแนว N–A เท่ากับ y บนระนาบพื้นที่หน้าตัด
ความเค้นดึงและความเค้นอัดบนคานสี่เหลี่ยมคางหมูที่เกิดจากโมเมนต์ดัด
จากรูป กำหนดให้
c เป็นระยะจากแนวแกนสะเทินไปยังผิวนอกสุดด้านรับความเค้นอัด
2
c เป็นระยะจากแนวแกนสะเทินไปยังผิวนอกสุดด้านรับความเค้นดึง
1
ดังนั้น
สูตรที่ (12.12) และ (12.13) ใช้หาค่าความเค้นในเนื้อวัสดุบนคานและใต้คาน ตามลำดับ
ในการหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อย (Moment of Inertia) ของพื้นที่หน้าตัดคานรูปสี่เหลี่ยมผืนผ้าดังสมการ (12.6) นั้น หากจะต้องทำการอินทิเกรตทุกครั้ง จะเป็นการยุ่งยาก จึงมีผู้จัดทำเป็นสูตรสำเร็จสำหรับพื้นที่หน้าตัดรูปทรงต่าง ๆ ดังตารางที่ 12.1 ซึ่งผู้เรียนจะต้องประยุกต์ใช้ให้ถูกต้อง
กำหนดให้
แกน x เป็นแนว N–A ของพื้นที่หน้าตัดของโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x
แกน y เป็นแนว N–A ของพื้นที่หน้าตัดของโมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน y
I = โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน x
X
I = โมเมนต์ความเฉื่อยรอบแกน y
y
ตารางที่ 12.1 สูตรคำนวณหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดรูปทรงต่าง ๆ
ตารางที่ 12.1 (ต่อ) สูตรคำนวณหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดรูปทรงต่าง ๆ
ตารางที่ 12.1 (ต่อ) สูตรคำนวณหาค่าโมเมนต์ความเฉื่อยของพื้นที่หน้าตัดรูปทรงต่าง ๆ
ตัวอย่างที่ 12.1
ตัวอย่างที่ 12.1
y
ตัวอย่างที่ 12.1