Графы на плоскости. Дерево случайного эксперимента
Урок №3
Повторение
Графы на плоскости
Граф на плоскости – это граф, вершины и рёбра которого расположены на двумерной плоскости.
В графах на плоскости рёбра могут пересекаться, но если пересечения нет (кроме как в вершинах), то такой граф называется планарным.
Графы на плоскости
Граф называется вероятностным, если рядом с каждым его ребром записать соответствующую вероятность.
P1
P2
P3
P4
P5
P6
P7
P8
P9
P10
P11
Графы на плоскости
Дерево - связный граф без циклов. Очень важное понятие для подхода изложения теории вероятностей. При помощи дерева удобно изображать исходы того или иного испытания.
Корень
Лист
Лист
Лист
Лист
Ветвь
Примеры деревьев
Дерево | Корень дерева | Ветви | Листья |
Семейное | Общий предок | Потомки(дети, внуки и т.д.) | Конечные члены семьи (без потомков) |
Структура файлов на компьютере | Корневой каталог (например, диск С) | Каталоги и подкаталоги | Файлы |
Решения в бизнесе | Начальная ситуация или решение | Возможные действия или решения | Конечные исходы или результаты |
При игре в казино | Начальная ставка | Выигрыш или проигрыш в каждой игре | Конечные результаты после нескольких игр |
Алгоритмы в информатике | Начальный элемент | Действия или переходы | Конечные элементы после завершения алгоритма |
Свойства деревьев
Задача
Ковбой Джек попадает в муху на стене с вероятность 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джек стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает с муху с вероятность 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джек видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джек промахнется
Задача
Ковбой Джек попадает в муху на стене с вероятность 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джек стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает с муху с вероятность 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 4 пристрелянные. Ковбой Джек видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джек промахнется
Джек
Решение:
Непристрелянный
Пристрелянный
0,4
0,6
Попал
Промах
Попал
Промах
0,9
0,1
0,2
0,8
Нас интересует промах,
значит нас устраивают две ветви, с листьями в промахах.
То есть Джек стреляет из пристрелянного И промахивается ИЛИ стреляет из непристрелянного И промахивается:
0,4 ∙ 0,1 + 0,6 ∙ 0,8 = 0,52
Ответ: 0,52
Задача
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным
Задача
Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 45% этих стекол, вторая – 55%. Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным
Фабрики
Решение:
Вторая
Первая
0,45
0,55
Брак
Хорошее
Брак
Хорошее
0,03
0,97
0,01
0,99
Нас интересует брак,
значит нас устраивают две ветви, с листьями «Брак».
То есть стекло произведено на первой фабрике И бракованное ИЛИ произведено на второй фабрике И бракованное:
0,45 ∙ 0,03 + 0,55 ∙ 0,01 = 0,019
Ответ: 0,019
Задача
Игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Задача
Игральный кубик бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 3. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых.
Решение:
Второй
бросок
Первый
бросок
1
Нас интересует превышение суммы 3 за два броска,
значит нас устраивают три ветви.
То есть первым броском выкинули 1 И вторым любое больше двух ИЛИ первым 2 И вторым любое больше одного ИЛИ первым 3 И вторым любое:
1/6 ∙ 4/6 + 1/6 ∙ 5/6 + 1/6 ∙ 1 = 15/36 = 5/12 ≈ 0,41666… ≈ 0,42
Ответ: 0,42
2
3
4,5,6
1,2
3,4,5,6
1
2,3,4,5,6
1,2,3,4,5,6
Решить самостоятельно
Задача 1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 30% этих стекол, а вторая – 70%. Первая фабрика выпускает 4% бракованных стекол, а вторая – 1%. Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным.
Задача 2. В волшебной стране бывает два типа погоды: хорошая и отличная, причем погода, установившись утром, держится потом весь день. Известно, что с вероятностью 0,9 погода завтра будет такой же, как и сегодня. 9 мая погода в Волшебной стране отличная. Найдите вероятность того, что 12 мая в Волшебной стране будет отличная погода.
Задача 3. Агрофирма закупает куриные яйца в двух домашних хозяйствах. 65 % яиц из первого хозяйства – яйца высшей категории, а из второго хозяйства – 85% яиц высшей категории. Всего высшую категорию получает 80 % яиц. Найдите вероятность того, что яйцо, купленное у этой агрофирмы, окажется из первого хозяйства.
Ответ к задаче 1: 0,019 Ответ к задаче 2: 0,756 Ответ к задаче 3: 0,25
Задание на дом
Задача 1. Две фабрики выпускают одинаковые стекла для автомобильных фар. Первая фабрика выпускает 35% этих стекол, вторая – 65% Первая фабрика выпускает 3% бракованных стекол, а вторая – 5% Найдите вероятность того, что случайно купленное в магазине стекло окажется бракованным. Ответ: 0,043
Задача 2. Ковбой Джон попадает в муху на стене с вероятностью 0,9, если стреляет из пристрелянного револьвера. Если Джон стреляет из непристрелянного револьвера, то он попадает в муху с вероятностью 0,2. На столе лежит 10 револьверов, из них только 3 пристрелянные. Ковбой Джон видит на стене муху, наудачу хватает первый попавшийся револьвер и стреляет в муху. Найдите вероятность того, что Джон промахнётся. Ответ: 0,59
Задача 3. Игральную кость бросали до тех пор, пока сумма всех выпавших очков не превысила число 5. Какова вероятность того, что для этого потребовалось два броска? Ответ округлите до сотых. Ответ: 0,56