CONTENIDO DE LA ASIGNATURA

• MATRICES
• DETERMINANTES
• SISTEMAS DE ECUACIONES

• VECTORES EN EL ESPACIO
• RECTAS Y PLANOS EN EL ESPACIO
• PROBLEMAS MÉTRICOS

• LÍMITES Y CONTINUIDAD
• DERIVADA Y APLICACIONES
• INTEGRAL INDEFINIDA
• INTEGRAL DEFINIDA. ÁREAS

• PROBABILIDAD
• DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDAD

BLOQUE 2 ÁLGEBRA

BLOQUE 3 GEOMETRÍA

BLOQUE 4 ANÁLISIS

BLOQUE 5 PROBABILIDAD

P.E.1

P.E.3

P.E.2

P.E.4

EXÁMENES DE PAU

EXPLICACIÓN PROBLEMAS

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Cada prueba computará sobre la nota final en función de las unidades que contenga

TEMA 1 MATRICES

INTRODUCCIÓN

CONCEPTOS BÁSICOS. TIPOS DE MATRICES

OPERACIONES CON MATRICES

POTENCIA DE UNA MATRIZ

MATRIZ INVERSA

ECUACIONES MATRICIALES

RANGO DE UNA MATRIZ

INTRODUCCIÓN

Al-Juarismi 780 – 850 DC

Al-jabr wa’l muqabalah

El principal objetivo del algebra clásico fue la resolución de ecuaciones hasta prácticamente la Edad Media

Este curso será una herramienta de aplicación a muchos campos de la vida como biología, tecnología, ingeniería, economía… geometría

CONCEPTOS BÁSICOS. TIPOS DE MATRICES

Se llama matriz de dimensión m x n a todo conjunto de m × n números reales ordenados en filas y columnas de la forma:

Se designa por a_ij al elemento que ocupa la fila i y columna j

m x n

Se representa por letras mayúsculas A,B,…

Nº de filas

Nº de columnas

Dimensión

EJEMPLO 1

EJEMPLO 2

En un Instituto rural, están matriculados alumnos de tres pueblos diferentes.

En primer curso hay 100 alumnos del pueblo A, 80 del B y 30 del C.

En segundo curso hay 65 del A, 50 del B y 20 del C.

En tercer curso hay 50 del A, 35 del B y 12 del C.

En cuarto hay 40 del A, 25 del B y 8 del C.

Disponer estos datos en una matriz.

DEFINICIONES

Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y coinciden todos sus elementos en la misma posición.

Se dice que una matriz es cuadrada cuando su dimensión es n x n, es decir tiene el mismo número de filas que de columnas.

Dada una matriz A, se llama matriz opuesta de A, a la matriz –A, cuyos elementos son los opuestos de A.

Dada una matriz A, de dimensión m x n, se llama matriz traspuesta de A, a la matriz A^t, de dimensión n x m que resulta de cambiar filas por columnas en A.

PROPIEDAD: La matriz traspuesta de la traspuesta es la matriz inicial

TIPOS DE MATRICES

MATRIZ FILA: Consta de una sola fila, es decir, es de orden 1 x n

OPERACIONES CON MATRICES

SUMA Y RESTA

DEFINICIÓN: Dadas dos matrices A (a_ij) y B (b_ij) del mismo orden mxn, se define su suma como otra matriz del mismo orden, cuyos elementos se obtienen sumando los respectivos elementos de A y B que ocupan la misma posición en la matriz, es decir:

EJEMPLO 7

Las exportaciones expresadas (en miles de euros) de tres Comunidades Autónomas C₁, C₂ y C₃ de cuatro productos agrícolas A, B, C y D en los años 2019 y 2020, vienen expresados, respectivamente, por las matrices:

¿Cuáles son las exportaciones de las comunidades según el producto exportado?

EJEMPLO 8

Una fábrica de café vende tres tipos de cafés, normal, intenso y descafeinado a tres conocidos establecimientos: A, B y C. Las ventas en el primero y segundo semestre del año tres fueron (en miles de uds):

¿Cuáles fueron las ventas de esta fábrica durante estos dos años clasificadas por tipos de café?

PROPIEDADES

ASOCIATIVA: (A + B) + C = A+ (B + C)

CONMUTATIVA: A + B = B + A

ELEMENTO NEUTRO: La matriz nula ha de ser del mismo orden (A + 0 = A)

ELEMENTO OPUESTO: Toda matriz A tiene una matriz opuesta (–A) que hace cumplir que

A + (-A) = 0

Por cumplir estas propiedades, se dice que el conjunto de las matrices de orden mxn es un Grupo abeliano o conmutativo respecto de la suma.

DEFINICIÓN: La resta de matrices es la suma de una matriz con la opuesta de otra:

A – B = A + (-B)

PRODUCTO DE UN NÚMERO REAL POR UNA MATRIZ

EJEMPLO 9

En una fábrica se hacen dos diseños de productos de librería en dos plantas de fabricación. La producción en la planta de Murcia en un día es la siguiente:

Mientras que en la planta de Alicante la producción asciende a:

1. ¿Cuántos artículos de cada diseño se producen entre las dos plantas combinadas?

b) Estos diseños tienen un buen mercado y se decide crear otra fábrica en Valencia. Estima que la producción de esta planta será el triple de la producción de la fábrica de Murcia. ¿Cuál será la producción en Valencia? ¿Y en las tres plantas a la vez?

La producción de las tres fábricas a la vez resultará la de sumar ésta a las dos anteriores:

DEFINICIÓN: Dadas dos matrices A = (a_ij) de orden mxn y B = (b_ij) de orden nxp, se define el producto de A y B como otra matriz C = (c_ij) de orden mxp, donde cada elemento c_ij se obtiene multiplicando escalarmente la fila i de A por la columna j de B. Es decir:

DEFINICIÓN: Dos matrices A de orden m x n y B de orden s x t son multiplicables, si el nº de columnas de A coincide con el nº de filas de B, es decir, n = s.

PRODUCTO DE MATRICES

VÍDEO-TUTORIAL

EJEMPLO

Multiplicar las siguientes matrices:

Dadas las matrices A y B. Calcula: a) A+B; b) A-B; c) A²;d) B²; e) A·B; f) B·A.

R.P. 2 al 5

EJEMPLO 11

EJEMPLO 12

La compañía "Motor Crack" fabrica tres modelos de automóviles: "Saleroso", "Brioso" y "Sinforoso". Diariamente produce 500 turismos "Saleroso" de lujo y 350 turismos "Saleroso" de tipo normal. Asimismo, fabrica 400 L. y 200 N. de su modelo "Brioso" y 300 L. y 550 N. de su modelo "Sinforoso". Cada coche de lujo lleva 2 bocinas y 10 lámparas y cada uno del tipo normal lleva 1 bocina y 6 lámparas.

a) Representa en dos matrices diferentes ambas informaciones.

b) Halla el número de bocinas que se necesitan diariamente para equipar los modelos "Saleroso".

c) Halla el número de lámparas necesarias cada día para equipar los modelos "Sinforoso".

d) Representa en una matriz las bocinas y lámparas que precisamos diariamente para equipar los tres modelos (independientemente del modelo).

EJEMPLO 13

Un constructor tiene cuatro estilos de casas que construye en tres diferentes lugares. Cada casa tiene varios modelos de puertas como se describe en la tabla 1, y el costo unitario de cada tipo de puerta en cada lugar se describe en la tabla 2:

Determinar la matriz que muestre el costo de las puertas en cada

casa de cada lugar

PROPIEDADES DEL PRODUCTO DE MATRICES

ASOCIATIVA:

(A · B) · C = A · (B · C)

DISTRIBUTIVA RESPECTO DE LA SUMA

A · (B + C) = A · B + A · C

(A + B) · C = A · C + B · C

El producto de matrices no es, en general, conmutativo. Nótese que dos matrices pueden, en un determinado orden, multiplicarse, pero invirtiendo el orden puede no tener ni siquiera sentido el producto.

EXISTENCIA DE ELEMENTO NEUTRO

A_nm . I_m = A_nm ; I_n . A_nm = A_nm

POTENCIA n-ésima DE UNA MATRIZ

Se define la potencia n-ésima de A, matriz cuadrada, como:

n veces

Para calcular Aⁿ dada la matriz A, nos serviremos del método de inducción.

VÍDEO-TUTORIAL

EJEMPLO

1. Calculamos las primeras 3 ó 4 potencias: A², A³, A⁴…

2) Por observación directa, podemos intuir que la potencia n-ésima, que será la que representa a todas las potencias

3) Demostramos que la siguiente potencia Aⁿ⁺¹ , sigue también la misma regla en cuyo caso, como n representa cualquier potencia, demostraríamos que si una potencia sigue ese patrón, la siguiente también, por lo que sería un patrón válido para todo valor de n.

Vamos a comprobarlo:

PROBLEMA 15

Calcula la potencia n-ésima de la siguiente matriz

R.P. 31 al 37

JUNIO 2018

JUNIO 2019

c) Determine, si existe la inversa de A. En caso afirmativo, calcúlela.

MATRIZ INVERSA

DEFINICIÓN: Se define matriz inversa de A cuadrada y de orden n, y se escribe A^-1, como la matriz de orden n que cumple:

A · A^-1 = A^-1 · A = I

VÍDEO-TUTORIAL

MÉTODO (Gauss - Jordan)

(A/I_n )

(I_n/A^-1)

Mediante transformaciones elementales en filas

EJEMPLO

EJEMPLO 15

Hallar la matriz inversa de:

Hallar la matriz inversa de esta matriz y comprobar que lo es.

​

​

R.P. 1

EJEMPLO 16

JULIO 2023

Como el determinante de la matriz producto de dos matrices cuadradas es

el producto de los determinantes:

Al ser este determinante igual a cero, la matriz no es inversible.

Es 2-nilpotente.

a) Justifique razonadamente que una matriz 2-nilpotente nunca puede ser regular.

c) Determine los valores de a y b de la matriz

para que sea 2-nilpotente.

Si a=-9 y b=-6, la matriz será 2-nilpotente.

ECUACIONES MATRICIALES

Una ecuación matricial es una igualdad en la que las incógnitas que figuran en ella son matrices.

VÍDEO-TUTORIAL

Resuelve la ecuación matricial siendo:

VÍDEO-TUTORIAL

EJEMPLO 17

R.P. 11 al 29

Resuelve la ecuación matricial 2A = AX + B, siendo:

EJEMPLO 18

SEPTIEMBRE 2017

JUNIO 2017

RANGO DE UNA MATRIZ

Una fila no nula F_i, de una matriz depende linealmente de las otras filas F₁, F₂, ….F_n, si se cumple que:

DEPENDENCIA LINEAL

VÍDEO-TUTORIAL

DEFINICIÓN: Se define el rango de una matriz A y se escribe rg A o Ran A, al número de filas o de columnas no nulas, linealmente independientes que tiene la matriz.

• El rango de una matriz no varía cuando ésta se somete a transformaciones elementales, por tanto, los rangos de dos matrices equivalentes coinciden.

Así, se pueden suprimir las filas o columnas nulas y las que sean combinación lineal de otras para determinar el rango.

• Si una matriz es de dimensión mxn, su rango no puede ser mayor que m ni mayor que n. Así, el rango de una matriz cuadrada de orden n es siempre menor o igual a n. Evidentemente también es positivo por definición.

Utilizaremos el método de Gauss

convertir la matriz inicial en una matriz cuyos elementos por debajo de la diagonal principal sean ceros, utilizando transformaciones elementales.

El rango de la matriz, será el número de filas no nulas que hayamos obtenido

EJEMPLO 19

Puesto que en la matriz hay dos filas no nulas, el rango será igual a 2

MÉTODO DE GAUSS

R.P. 38 al 42

EJEMPLO 20

Hallar el rango de

Ran (B) = 3

EJEMPLO 21

Hallar el rango de

Ran (C) = 4

Hallar el rango de las siguientes matriz según valores de x:

Discusión:

EJEMPLO 22

EJEMPLO 23

Discute el rango de la siguiente matriz en función del parámetro m

Discutir el rango de la siguiente matriz en función de los parámetros a y b:

JUNIO 2014

Considere las siguientes matrices:

SEPTIEMBRE 2015

JULIO 2022

JUNIO 2022