Коло і круг
Ольга ФЕНЕНКО
Означення
Колом називають геометричну фігуру, яка складається з усіх точок площини, рівновіддалених від даної точки.
O
K
радіус
M
N
хорда
A
B
діаметр
Елементи кола
Відскануйте Qr-код або натисніть на коло на малюнку, щоб перейти за покликанням.
Доведення
Нехай AB– довільний діаметр кола, радіус якого дорівнює r, а MN – відмінна від діаметра хорда кола.
Доведемо, що AB > MN.
AB = 2r. У ΔMON, використовуючи нерівність трикутника, маємо MN < MO + ON.
Отже, MN < 2r. Тому AB > MN. Теорему доведено.
Властивості елементів кола
Теорема 1 (про порівняння діаметра і хорди).
Діаметр є найбільшою з хорд.
№ 612
Обчисліть діаметр кола, якщо його радіус дорівнює:
№ 614
Знайдіть радіус кола, якщо його діаметр дорівнює:
№ 620
Радіус кола дорівнює 5 см. Чи може хорда цього кола дорівнювати:
1) 2 см
2) 5 см
3) 7 см
4) 9,8 см
5) 10,2 см
За теоремою про порівняння діаметра і хорди
У колі проведено діаметри AB і CD. Доведіть, що ΔAOD = Δ BOC.
№622
Розглянемо ΔAOD і Δ BOC.
AO = BO – як радіуси;
DO = CO– як радіуси;
∠AOD = ∠BOC – як вертикальні.
ΔAOD = Δ BOC – за двома сторонами та кутом, між ними (за І ознакою).
Доведено.
№ 624
№ 626
Дано коло радіусом 5 см.
1) Проведіть у ньому хорду 6 см завдовжки. Скільки таких хорд можна провести?
№628
Відповідь: Безліч.
5 см
Дано коло радіусом 5 см.
2) Точка А належить даному колу. Скільки хорд 6 см завдовжки можна провести з даної точки?
№628
Відповідь: Дві.
5 см
А
Вправа для очей
Означення
Нехай точка Р не належить відрізку АВ.
Тоді ∠APB називають кутом, під яким відрізок АВ видно з точки Р.
Теорема 2 (про кут, під яким видно діаметр з точки кола).
Діаметр з будь – якої точки кола видно під прямим кутом.
№ 616
Накресліть коло, радіус якого дорівнює 4 см. Проведіть у ньому діаметр MN та хорду MK. Знайдіть ∠NKM.
O
N
4 см
M
K
№ 629
Доведіть, що коли хорди рівновіддалені від центра кола, то вони між собою рівні.
№631
O
A
B
C
D
E
F
Теорема 3 (властивість діаметра кола, перпендикулярного до хорди).
Діаметр кола, перпендикулярний до хорди, ділить її навпіл.
Доведення
Нехай AB – діаметр кола, MN – відмінна від діаметра кола, АВ⊥MN.
Доведемо, що ML = LN, де L – точка перетину АВ і MN.
Δ MON – рівнобедрений, бо MO = ON (як радіуси), OL – його висота, проведена до основи. Тому OL є також і медіаною. Отже, ML = LN.
Якщо хорда MN є діаметром кола, то твердження теореми є очевидним.
Теорему доведено.
Теорема 4 (властивість діаметра кола, що проходить через середину хорди).
Діаметр кола, що проходить через середину хорди, яка не є діаметром, перпендикулярний до цієї хорди.
Доведення
Нехай діаметр AB проходить через точку L – середину хорди MN, яка не є діаметром кола. Доведемо, що АВ ⊥ MN.
Δ MON – рівнобедрений, бо MO = ON (як радіуси), OL – медіана рівнобедреного трикутника, проведена до основи. Тому OL є також і висотою. Отже, OL ⊥ MN, а тому і АВ ⊥ MN.
Теорему доведено.
№633
O
A
B
C
D
E
F
K
Рефлексія «Синквейн»
1. Тема або предмет
(одне слово - іменник)
2. Опис предмета
(два слова - прикметники)
3. Опис дії (три дієслова)
4. Вислів, що відображає відношення до предмету
5. Синонім, що узагальнює тему
(одне слово)