Albrecht Dürer (1471-1528)

Amedeo Modigliani (1884 – 1920)

Автопортрет в одежде, отделанной мехом, 1500

Автопортрет, 1919

2. Правила сложения

и умножения вероятностей

и их следствия

- правило сложения для несовместных событий

- сумма вероятностей событий полной группы

- вероятности противоположных событий

- зависимые и независимые события

- условная и безусловная вероятность

- правило умножения

- условие независимости

Ключевые слова

- надежность

- система без резервирования

- система с резервированием

- вероятность хотя бы одного из событий

- правило сложения для совместных событий

- неравенство вероятностей

- формула Бернулли

- формула полной вероятности

- формула Бейеса

​

Правило сложения для несовместных событий

Вероятность суммы двух несовместных событий

(т.е., одного из них) равна сумме их вероятностей:

P(A + B) = P(A) + P(B), если A ⋅ B = ∅

Из аксиоматического определения:

​

​

​

​

​

(только для него − «как получено»)

Ω

B

Эта сумма равна сумме двух первых

По классическому определению:

​

пусть в эксперименте с равновозможными исходами

m_A элементарных событий благоприятны событию А,

m_B – событию B, (m_A + m_B) – событию (A + B).

Тогда:

P(A + B) = (m_A + m_B) / n = m_A/n + m_B/n = P(A) + P(B)

​

→ теорема доказана

Вероятность наступления одного из попарно несовместных событий

равна сумме

их вероятностей:

Обобщается на k несовместных событий (k > 2)

Пример: в ящике 2 белых, 3 синих, 4 красных шара и

1 зеленый

Вероятность вынуть наугад шар цвета французского флага: 0.2 + 0.3 + 0.4 = 0.9

+ 0.1 – вероятность вынуть зеленый шар

= 1 – вероятность достоверного события ? –

«вынуть шар одного из возможных цветов»

Эта ситуация иллюстрирует следующее правило

​

Важный частный случай –

противоположные события

​

Сумма вероятностей противоположных событий равна единице

P( A ) + P(A ) = 1

p

q

Часто на практике оценивается вероятность отказа объекта q, а затем определяется надежность p

− вероятность безотказной работы

p = 1 − q

Зависимые и независимые события. Условная и безусловная вероятность

Два события называют независимыми, если наступление одного из них не изменяет вероятности другого

Пример

Эксперимент: из коробки с 5 белыми и 3 черными шарами извлекаются наугад 2 шара.

События: В – 1-ый шар черный, А – 2-ой шар белый.

2 разные схемы эксперимента:

а) «схема с возвращением»

(1-ый шар возвращается перед доставанием 2-го);

б) «схема без возвращения» (1-ый шар не возвращается)

Вероятности:

а) P(А) = 5 / 8 (не зависит от того, было ли В)

P(В) = 3 / 8 → А и В – независимые

б) P(А) = 4 / 7, если В не произошло, но

P(А) = 5 / 7, если В произошло

→ вероятность наступления А

зависит от наступления или не наступления В

Условная вероятность − P(A/B) или P_B(A)

есть вероятность события А, вычисленная при условии, что событие В имело место.

Вероятность независимого события – безусловная

(абсолютная)

Как следует из определений вероятности,

​

условная вероятность равна вероятности

совместного наступления двух событий,

деленной на вероятность события,

о котором предполагается, что оно имело место:

P(A/B) = P(A⋅B) / P(B)

Отсюда cледует

правило умножения вероятностей !

Правило умножения

Вероятность произведения двух событий

(т.е., их совместного наступления)

равна вероятности одного из них,

умноженной на условную вероятность другого

при условии, что первое имело место:

P(A⋅B) = P(B) ⋅ P(A/B)

P(A⋅B) = P(А) ⋅ P(В/А)

Пример. В эксперименте с шарами по схеме (б), когда 1-ый шар не возвращается, P(A⋅B) = (3/8)⋅(5/7) = 15/56 − вероятность того, что 1-ый черный, а 2-ой белый

Для независимых событий выполняется

(по определению) условие независимости:

P(A/B) = P(А), P(В/А) = P(B)

В этом случае правило умножения

принимает следующую форму

P(A⋅B) = P(А) ⋅ P(В)

Вероятность произведения двух независимых событий равна произведению их вероятностей

Пример. В ситуации с возвращением шара (а)

P(A⋅B) = (5/8)⋅(3/8) = 15/64

Правило умножения обобщается на любое число взаимонезависимых событий

​

Вероятность совместного наступления независимых событий равна

произведению их вероятностей

P(А₁A₂… А_k) = P(А₁) ⋅ P(А₂) ⋅ … ⋅ P(А_k)

Все последующие формулы для расчета вероятностей событий можно рассматривать как следствия правил сложения и умножения

Важные примеры

Работа системы – произведение

рабочих состояний всех k элементов

(функционирует, только если все действуют).

Вероятность работы системы в целом

определяется по правилу умножения

Надежность системы независимых последовательных элементов

P = p₁ ⋅ p₂ ⋅…⋅ p_j ⋅…⋅ p_k ,

p_j – надежность j-го элемента

Это «системы без резервирования»

Если надежность элементов одинакова, т.е.,

p_j = p, j = 1…k → P = p^k

Надежность системы без резервирования

падает с ростом количества элементов

Вероятность отказа такой системы:

Q = 1 – P = 1 – p₁ p₂…p_j…p_k

Отказ системы независимых элементов, работающих параллельно – произведение отказов элементов.

Откажет, только когда

откажут все элементы

Это « система с резервированием »

Вероятность отказа

Q = q₁q₂…q_j…q_k

Q = q^k , если q_j = q ( j = 1…k )

P = 1 – Q = 1 – q₁ q₂…q_j…q_k

Надежность системы с резервированием

растет с ростом количества элементов

В практических расчетах надежности

и вероятности отказа

наиболее удобно определить:

​

1)  для последовательной системы – сначала P потом Q

​

2) для параллельной системы –

сначала Q затем P

NB!

Пример:

Вероятности отказа элементов системы q₁ = 0.1, q₂ = 0.2

1) Если элементы последовательны,

то надежность P = p₁⋅ p₂ = (1 – q₁)⋅(1 – q₂)

= 0.9 ⋅ 0.8 = 0.72;

вероятность отказа Q = 1 – P = 0.28

​

​

2) Если элементы действуют параллельно,

то Q = q₁ ⋅ q₂ = 0.1⋅0.2 = 0.02;

надежность P = 1 – Q = 1 – 0.02 = 0.98

Q ← «откажет хотя бы 1»

P ← «работает хотя бы 1»

Вероятность наступления хотя бы одного

из нескольких независимых событий равна единице без произведения вероятностей противоположных событий:

P(A = A₁ + A₂ + … + A_k)

= 1– p(Ā₁)⋅p(Ā₂)⋅ … ⋅p(Ā_k)

Общее правило для расчета вероятности

«хотя бы одного из событий»

(как совместных, так и не совместных)

Если событий лишь два, то вероятность

«по крайней мере одного» можно определить

по правилу сложения для совместных событий

(при k > 2 существенно усложняется)

Вероятность наступления хотя бы одного

из двух совместных событий

равна сумме их вероятностей

без вероятности их совместного наступления:

P(A + B) = P(A) + P(B) – P(A⋅B)

Пример

Вероятности попасть в каждом из 2-х выстрелов 0.7 и 0.8.

Вероятность хотя бы одного попадания определяется по одной из двух формул:

Пример. Какова вероятность хотя бы одного попадания при 3-х выстрелах, если вероятность попасть в каждом равна 0.7?

P(хотя бы 1 из 3-х) = 1 – q³ = 1 – 0.3³ = 0.973

P(хотя бы 1 из 2-х) =

1 – q₁q₂ = 1 – 0.3⋅0.2 = 0.94;

P(хотя бы 1 из 2-х) =

p₁ + p₂ – p₁p₂ = 0.7 + 0.8 – 0.56 = 0.94

to be continued

Правило сложения для совместных А и В выражает вероятность суммы произвольных событий,

и совместных, и несовместных:

если А и В не пересекаются, P(A⋅B) = 0

Поскольку во всех случаях P(A⋅B) ≥ 0, можно записать

P(A + B) ≤ P(A) + P(B)

Это неравенство вероятностей обобщается на k > 2 событий:

Вероятность суммы нескольких событий не превосходит суммы

их вероятностей

Формула Бернулли

от «хотя бы 1»

к «ровно 1, ровно 2, ...»

Позволяет определять вероятности «ровно одного», «ровно двух» и т.д. наступлений события в нескольких независимых экспериментах

(попаданий при выстрелах, успехов в сделках и др.)

Если событие А может произойти в каждом

из n независимых опытов с вероятностью p,

то вероятность его наступления ровно k раз

в данной серии опытов

выражается формулой Бернулли:

Пояснение →

Cледует из правил умножения и сложения вероятностей:

вероятность, что А наступит

в некоторых k опытах и не наступит

в n-k остальных равна p^kq^n-k − по правилу умножения для независимых событий;

по правилу сложения P_n(k) равна сумме

таких вероятностей для всех вариантов

k наступлений и n-k ненаступлений А;

количество таких вариантов есть число сочетаний из n элементов по k, т.е., С_n^k

В серии из 3-х независимых выстрелов

с вероятностью попадания в каждом 0.7:

Пример

вероятность только одного попадания P₃(1) = C₃¹ ⋅ 0.7 ⋅ 0.3² = 0.189,

вероятность ровно двух попаданий

P₃(2) = C₃² ⋅ 0.7² ⋅ 0.3 = 0.441

Albrecht Dürer (1471-1528)

Vincent Willem van Gogh(1853 – 1890)

Ирис, 1503 ?

Ирисы, 1889

Формула полной вероятности

и формула Байеса

связаны с ситуациями,

в которых эксперимент

как бы состоит из 2-х стадий:

на 1-ой «разыгрываются»

взаимоисключающие условия,

на 2-ой – определяется исход, когда имеет место одно из условий

Пример. Имеются 3 урны

с белыми и черными шарами.

Шар можно вынуть случайным образом

из одной из них.

​

Какова вероятность события A – того,

что извлеченный наугад шар белый,

если: в 1-ой урне 2 белых и 3 черных шара,

во 2-ой 4 белых и 1 черный,

в 3-ей – 3 белых шара?

1) Выбор урны (условий) – это

гипотеза H_j ,

что шар берется из j-ой урны

(hypothesis, предположение).

События H₁, H₂, H₃ образуют полную группу:

они несовместны (альтернативны),

одно из них обязательно произойдет →

H₁ + H₂ + H₃ = Ω,

P(H₁) + P(H₂) + P(H₃) = 1

Выбор случайный →

P(H₁) = P(H₂) = P(H₃) = 1/3

Вероятность вынуть белый шар

P(A) = 1/3 ⋅ (2/5 + 4/5 + 3/3) = 11/15

2) Выбор белого из j-ой

А_j – это выбор

и j-ой урны,

и белого шара из нее →

по правилу умножения

P(A_j) = P(H_j) ⋅ P(A/H_J)

По правилу сложения

P(A) = P(A₁)+P(A₂)+P(A₃)

= P(H₁) ⋅ P(A/H₁) + P(H₂) ⋅ P(A/H₂) + P(H₃) ⋅ P(A/H₃)

В общем случае

Абсолютная, безусловная вероятность события

в эксперименте с гипотетическими условиями

рассчитывается как сумма произведений

вероятностей гипотез на условную вероятность

события при соответствующей гипотезе

Если об условиях эксперимента можно сделать

k исключающих друг друга предположений – гипотез H₁ , H₂ , …, H_k , и событие А

может иметь место при одной из этих гипотез,

то вероятность события А определяется

по формуле полной вероятности

Нормальный режим работы устройства наблюдается в 80% случаев,

в 20% – режим аномальный.

Пример

Вероятность отказа устройства (А)

в 1-ом режиме 0.1, во 2-ом – 0.7

Безусловная вероятность отказа,

независимо от того,

в каком режиме он произошел:

P(A) = 0.8⋅0.1+ 0.2⋅0.7 = 0.22

Где гипотезы, где условные вероятности?

В условиях предыдущей задачи

пусть событие имело место – устройство прекратило работу. Какова вероятность,

что отказ произошел в нормальном режиме?

Для ответа на подобные вопросы используется формула Байеса

(для вероятностей гипотез)

P(H_j / A) =

Доля, шансы гипотезы в наступлении А

В общем случае

Пусть А может произойти при наступлении

одногоиз событий, образующих полную группу

− при гипотезах H₁ , H₂ , …, H_k

Если до опыта вероятности гипотез были

P(H₁), P(H₂), …, P(H_k),

а в результате опыта событие А произошло,

то «новые» условные вероятности гипотез рассчитываются по формуле Байеса

В «примере с устройством»

вероятность того,

что отказ случился

при работе в нормальном режиме,

равна

​

P(H₁/A) = 0.8 ⋅ 0.1 / [0.22 = 0.8 ⋅ 0.1 + 0.2⋅0.7] = 0.36

The End