Standar Kompetensi:
Memecahkan masalah yang berkaitan dengan bentuk pangkat, akar, dan logaritma
Kompetensi Dasar:
pangkat, akar, dan logaritma.
BAB 1
�Bentuk Pangkat, Akar,
dan Logaritma
1-1 BENTUK PANGKAT NEGATIF
Perkalian bilangan-bilangan yang sama disebut sebagai perkalian berulang.
Contoh:
2 × 2 × 2 = 23
5 x 5 x 5 = 53
9 x 9 x 9 = 93
Definisi
Jika a adalah bilangan real (a2 ∈ R) dan n adalah bilangan bulat positif lebih dari 1, maka a pangkat n (ditulis an) adalah perkalian n buah bilangan a.
an = a × a × a × . . . × a × a × a
perkalian n buah bilangan
Bentuk an adalah bentuk bilangan berpangkat dengan bulat positif.
a disebut bilangan pokok atau basis
n (bilangan asli >1) disebut pangkat atau eksponen
Catatan:
Contoh
a4 = a × a × a × a = a
a3 a × a × a
Jadi, a4 = a
a3
ap : aq = ap-q
dengan a ∈ R, p dan q adalah bilangan-bilangan bulat positif.
B. Pangkat Bulat Negatif
Misalkan a ∈ R dan a ≠ 0, maka a-n adalah kebalikan dari an atau sebaliknya.
Definisi
1 1
an
a-n
a-n
=
an
=
atau
Contoh:
Nyatakan bilangan-bilangan berikut ini dalam bentuk pangkat bulat positif!
3 × 5-2
3 ×
1
52
3
52
=
=
3
b-6
=
4b6
a)
b)
1-2 BENTUK AKAR DAN PANGKAT PECAHAN
Bentuk akar adalah akar dari bilangan rasional yang hasilnya merupakan bilangan irasional.
1-2-1 Bentuk Akar
Contoh:
bukan bentuk akar, sebab = 3 (bilangan rasional)
bukan bentuk akar sebab = 0,5 (bilangan rasional)
b)
Menyederhanakan Bentuk Akar
Untuk setiap a dan b bilangan positif, maka berlaku:
Dengan a atau b harus dapat dinyatakan dalam bentuk kuadrat murni.
Contoh:
a.
b.
1-2-2 Operasi Aljabar pada Bentuk Akar
Untuk setiap a, b, dan c bilangan rasional positif, maka berlaku hubungan
dan
Contoh:
A. Perkalian Bentuk Akar
a dan b masing-masing bilangan positif
Contoh:
B. Menarik Akar Kuadrat
Menarik akar kuadrat dapat dilakukan dengan bentuk:
atau
Contoh:
a.
b.
1-2-3 Merasionalkan Penyebut Sebuah Pecahan
A. Pecahan Berbentuk
Contoh:
B. Pecahan Berbentuk
atau
Pecahan
diubah menjadi
Pecahan
diubah menjadi
Contoh:
C. Pecahan Berbentuk
atau
Penyebut pecahan yang berbentuk dapat dirasionalkan dengan cara:
Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan
menjadi
a.
Contoh:
Pecahan pembilang dan penyebut dikalikan dengan
menjadi
b.
Contoh:
1-2-4 Pangkat Pecahan
Pangkat Pecahan
Misalkan n bilangan bulat positif, a dan b bilangan-bilangan real sehingga berlaku hubungan bn = a, maka b disebut akar pangkat n dari a.
- Jika a < 0 dan n genap, maka bukan
bilangan real.
Definisi Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan positif, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n dari bilangan a.
merupakan bilangan real.
Contoh:
Definisi Pangkat Pecahan
Misalkan a bilangan bilangan real tidak nol dan n bilangan
asli ≥ 2, maka pangkat pecahan sama akar pangkat n
dari bilangan a.
merupakan bilangan real.
Contoh:
1-3 Sifat-sifat Bilangan Berpangkat Bulat Positif
Jika a dan b bilangan real serta n, p, dan q bilangan bulat positif, maka berlaku:
a)
dengan p > q
b)
c)
d)
dengan b ≠ 0
e)
f)
1-3-2 Sifat-sifat Pangkat Rasional
Jika a dan b ∈ R (a ≠ 0), p dan q bilangan rasional, maka berlaku:
a)
b)
d)
c)
e)
Logaritma merupakan invers dari perpangkatan, yaitu mencari pangkat dari suatu bilangan pokok sehingga hasilnya sesuai dengan yang telah diketahui.
Misalkan a bilangan positif (a > 0) dan g bilangan positif yang tidak sama dengan 1 (0 < g < 1)
glog a = x jika dan hanya jika gx = a
dengan:
Pengertian Logaritma
Sifat-sifat Logaritma
Contoh:
a)
b)
glog (a × b) = glog a + glog b
Contoh:
= 2 log 32
= 5
2. 5 log + 5 log 8 = 5 log ( × 50)
= 5 log 25
= 2
1
2
1
2
Sifat 1
glog ( ) = glog a − glog b
a
b
Contoh:
= 7log 7
= 1
217
31
= log 0,01
= -2
0,04
4
Sifat 2
glog an = n × glog a
Contoh:
2log 25 − 3log 5 + log 20 = log 252 − log 53 + log 20
= ( ) + log 20
= log ( × 20)
= log 100
= 2
252
52
52
252
Sifat 3
Mengubah bilangan pokok logaritma:
Jika p = a, sifat logaritma di atas menjadi:
g log a =
p log a
p log g
g log a =
a log g
1
Sifat 4
Contoh:
a.
b.
Sifat 5
i)
ii)
iii)
Contoh:
a.
b.
i)
ii)
Sifat 6
Contoh:
a)
b)
c)