Математика путешествий.

Математический марафон

Многомерна и многогранна.

Апрель 2013 г.

​

Авторы презентации:

Команда "Дельтоидальный икоситетраэдр" - слайды 3-7.

Команда "Десяточка" - слайды 8-12.

Команда 2Много - слайды 12-16.

Команда "Апофемы" - слайды 17-21.

Команда "Профи"- слайды 22-26.

Команда "Интеграл" - слайды 23-27.

Команда "Великая Галактика"-слайды33-37

Команда "Звезда" - слайды 33-36

Математика времени

Мы все знаем, что чтобы совершить любое путешествие, необходимо расписать свое время. "Самолет вылетает из Москвы в 9 часов утра. Он летит в Мадрид 6 с половиной часов. Укажите местное время прибытия самолета." Такие задачи в основном на счет и на учёт поясности. Здесь мы видим, что в Мадриде местное время отличается на 3 часа от московского. Значит, на момент вылета в Испании 9-3 = 6 часов утра, а на момент прибытия 6+6,5 = 12 с половиной часов.

Математика расстояний

Так же, говоря о путешествиях, нужно не забывать про расстояния. Обратимся к геометрии: "Два города решили соединить абсолютно прямым подземным тоннелем. Вычислите длину тоннеля, если расстояние между городами на поверхности равно 4000 километров. Радиус Земли равен 6366,2 километрам" Используем L = 2πr = 40000. 40000/360 = 4000/x. x = 36˚ = O. (180-36)/2 = 72˚ 72/6366 = 36/x x=3183км.

Математика движения

Движение - а значит и скорость - связующий атрибут между временем и расстоянием. "Автомобиль едет в другой город (расстояние 660 километров) и вдруг случается поломка. Она устраняется через 1 час, но время потеряно. Раньше автомобиль ехал со скоростью 60 км/час. С какой скоростью надо ехать теперь, чтоб уложиться в срок (11 часов), если поломка случилась на 5 часу после выезда?" Автомобиль ехал 5 часов и проехал 300 километров. 1 час выпал. Значит нам надо разделить оставшийся путь (660-300 = 360км) на 5 часов и получить 360/5 = 72 километра в час

​

​

Математика пространства

В разных случаях у пространства в задаче разные свойства. Если в пределах города можно пользоваться евклидовой геометрией, причём и это непозволительно, если речь идет о наклонных поверхностях (например в зданиях), то в больших масштабах пользоваться геометрией Евклида тем более нельзя. "Вертолёт вылетел из Новосибирска и пролетел 500 км на север, потом 500 км на восток, затем 500 км на юг и еще 500 км на запад. Где окажется вертолёт?" Очевидно, не над тем же аэродромом, откуда вылетел, а восточнее примерно на два градуса, а почему, вы можете догадаться сами.

​

Математика планирования

Каждое путешествие надо планировать. В это входит многое, включая деньги и багаж. Рассмотрим задачу: "Путешественнику необходимо совершить шестидневный переход через пустыню. Сам путешественник и сопровождающий его носильщик могут взять лишь четыёхдневный запас пищи и воды на одного человека каждый. Какое наименьшее число носильщиков потребуется для перехода?" Для удачного перехода потребуется 2 носильщика, не считая путешественника.

Рим? Прага? Или Париж?

Два друга планируют неделю отдохнуть за пределами России. Сколько будет стоить самый бюджетный вариант?

​

Решение:

Чтобы рассчитать стоимость

поездки, необходимо найти стоимость билетов на 2 человек, найти стоимость аренды гостиницы за 7 дней и учесть визовый сбор.

Италия: 18106*2+2822*7+3655*2=63276 руб

Чехия: 19742*2+2109*7+3440*2=61127 руб

Франция: 20967*2+3173*7=64145 руб.

Самый бюджетный вариант - Чехия (Прага).

Ответ: 61127

Летим Адлер...

Мы летом хотим отдохнуть в Сочи. Из Омска мы вылетаем 8 июля в 07:05 (по местному времени) и прилетаем в Сочи 8 июля в 19:20 (время московское). Сколько времени (в часах) мы потратим на дорогу, с учетом пересадки?

Решение:

Переводем время вылета из Омска в московское время.

07:05 по омскому времени - это 04:05 по московскому времени. Следовательно, на дорогу мы потратим 15 ч 15 мин или 15,25 ч.

Ответ: 15,25

Иркутск или Москва?

Рассчитайте самую дешевую поездку. В ответе укажите стоимость поездки в рублях, если 1 литр бензина стоит 25 рублей.

​

​

​

Ответ: 7824

Апофемы

Мы решили впятером поехать в Санкт-Петербург на 10 дней.

Поездка на поезде стоит 3700 рублей, на самолете – в 2,5 раза дороже, причем 55% стоимости билетов на самолет для школьников оплачивает агентство.

В гостинице, которую мы выбрали, 5-местный номер стоит 5000 рублей/сутки, двухместный дешевле его на 2050 рублей, а трехместный дороже двухместного на 25%.

Основной экскурсионный план «10 экскурсий за 10 дней» агентство А предлагает на одного человека по цене 2850 рублей, агентство В – на 450 рублей дороже. Мы решили также посетить две дополнительные экскурсии и узнали, что агентство А не даёт скидок на дополнительную экскурсию стоимостью 500 рублей с человека, а агентство В предоставляет скидку 15% от цены основного плана и две дополнительные экскурсии, по 1000 рублей за каждого туриста.

Обратная дорога обойдется нам в ту же сумму, что и самый выгодный путь туда.

​

Апофемы

1. В каких гостиничных номерах нам будет выгоднее

остановиться?

5-местный: 5000 руб./сутки

2-местный: на 2050 руб. дешевле, чем 5-местный

3-местный: на 25% дороже, чем 2-местный

5000 - 2050 = 2950 (руб./сутки) – стоит 2-местный номер

2950 * 1,25 = 3687,5 (руб./сутки) – стоит 3-местный номер

2950 + 3687,5 = 6637,5 (руб./сутки) – потратим мы, если

остановимся в двух номерах.

Значит, выгоднее остановиться в

одном 5-местном номере. Это обойдется нам в 50000 руб. за

все 10 дней.

​

2. С каким агенством нам договориться, чтобы потратить меньше денег на экскурсии?

Агенство А: 2850 + 1000 = 3850 руб. – основные экскурсии + дополнительные

Агенство В: 2850 + 450 = 3300 руб. – основные экскурсии

3300 * 0,85 = 2805 руб. – основные экскурсии со скидкой

2805 + 1000 = 3805 руб. - основные экскурсии + дополнительные

Дешевле будет договориться с агенством В, в этом случе мы потратим 3805 * 5 = =19025 руб.

​

Апофемы

3. На каком транспорте дешевле

отправиться обратно?

Билет на поезд: 3700 руб.

Билет на самолет: в 2,5 раза дороже, чем

билет на поезд, 45% скидки

3700 * 2,5 = 9250 руб. - билет на самолет без

скидки

9250 * 0,45 = 4162,5 руб. – билет на самолет

со скидкой

И туда, и обратно выгоднее ехать на поезде,

мы заплатим за путь в оба конца 3700 * 5 * 2 = 37000 руб.

​

4. Сколько денег останется у каждой из нас на карманные расходы, если всего у нас 125 тыс. рублей, причем у всех денег поровну?

125 – (50000 + 19025 + 37000) = 18975

18975 : 5 = 3795 руб. – останется у каждой из нас на карманные расходы

​

​

Апофемы

5. Какой вариант путешествия наиболее выгоден для нас?

(поезд или самолет, один пятиместный номер или

2- и 3-хместные, экскурсии с агенством А или В)

По нашим расчетам выгоднее ехать на поезде, снимать 5-местный номер и воспользоваться услугами агентства "В".

Апофемы

Совсем недавно мы побывали в Питере, и ещё до того, как придумать эту задачу, перед нами стояли такие же вопросы. Мы удачно все рассчитали и остались довольны поездкой.

Команда"ПРОФИ" Задание В1

Группа людей отправилась на экскурсию в Москву. Железнодорожный билет для взрослого стоит 550 рублей. Стоимость билета для школьника составляет 50% от стоимости билета для взрослого. Группа состоит из 14 школьников и 2 взрослых. Сколько рублей стоят билеты на всю группу?

Решение:

Пусть Х руб.- стоит билет для школьника, тогда составим пропорцию

550руб.-100%

Хруб.-50%,

следовательно Х=550*50:100=275руб.

14*275+2*550=3960 руб.-стоят билеты на всю группу. Ответ: 3960

​

​

Команда "ПРОФИ" Задания В4

№1. Семья из трех человек планирует поехать из Санкт-Петербурга в Вологду. Можно ехать поездом, а можно — на своей машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 8 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 700 км, а цена бензина равна 19,5 рубля за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на троих?

​

Ответ: 1092

№2. Турист хочет арендовать автомобиль на сутки для поездки на отдых протяженностью 500 км. В таблице приведены характеристики трех автомобилей и стоимость их аренды. Помимо аренды клиент обязан оплатить топливо для автомобиля на всю поездку. Какую сумму в рублях заплатит клиент за аренду и топливо, если выберет самый дешевый вариант?

Цена дизельного топлива — 19 рублей за литр, бензина —- 22 рублей за литр, газа — 14 рублей за литр.

Решение:

​

​

А= 35*19+3700=4365

Б=50*22+3200=4300

В=70*14+3200=4180- самый дешевый вариант

Ответ: 4180

Команда"ПРОФИ" Задание В10

Молодая семья отправилась на отдых. Поезд Новосибирск-Красноярск отправляется в 15:20, а прибывает в 04:20 на следующий день. Сколько часов они находятся в пути?

​

​

​

​

Ответ: 13

Железнодорожный билет для взрослого из Омска до Москвы стоит 7000руб, а от Москвы до Санкт-Петербурга на скоростном экспрессе 5000 руб. Стоимость билетов для школьников составляет 50% от стоимости билета взрослого. Мы планируем посетить этот город в составе группы из 15 школьников и двух взрослых. Сколько стоят все билеты на группу? Ответ:104000 рублей

​

Путешествие в

Санкт-Петербург

​

Поезд Омск- Москва отправляется из города Омска в воскресенье в 10:09 часов и прибывает в Москву во вторник в 1:20 ( московского времени) . Сколько времени поезд находится в пути?

Ответ: 43 часа

В таблице даны тарифы на услуги трех фирм такси. Предполагается поездка длительностью 120 минут. Нужно выбрать фирму, в которой заказ будет стоить дешевле всего. Сколько рублей будет стоить этот заказ?

Ответ:1910 рублей

Теплоход проходит по течению реки Невы до пункта назначения 200 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость течения, если скорость теплохода в неподвижной воде равна 15 км/ч, стоянка длится 10 часов, а в пункт отправления теплоход возвращается через 40 часов после отплытия из него. Ответ дайте в км/ч.

Ответ:5 км/ч

Также после посещения Санкт-Петербурга наша команда планирует поехать в Тверь.

Можно поехать поездом (расстояние 483 километра), а можно — на легковой машине. Билет на поезд на одного человека стоит 660 рублей. Автомобиль расходует 9 литров бензина на 100 километров пути, расстояние по шоссе равно 551 километр, а цена бензина равна 27,30 рубля за литр. Сколько рублей придется заплатить за наиболее дешевую поездку на пятерых?(учесть скидку 50% на стоимость школьного билета)

Ответ: 1353,81 рублей

Великая Галактика

​

​

В «Путешествии из Петербурга в Москву»А.Н.Радищев пишет о деревенских девушках: «Посмотрите, как все члены у моих красавиц круглы, рослы, не искривлены, не испорчены. Вам смешно, что у них ступни в пять вершков…»

Оказывается , в XVIIIв. Девушка с длиной стопы5 вершков считалось довольно высокой. Каким примерно был ее рост в сантиметрах, и какого размера обувь она должна была носить, если известно, что у женщины длина стопы составляет в среднем 15,5% от роста и определяет размер обуви(см.таблицу)? 1 Вершок=4,445 см

​

Девичья ножка

ОТВЕТ : 145 см; 34 размер.

Великая Галактика

​

Путешествие в космос

Наибольшее расстояние от Земли до Плутона (самой далекой известной планеты нашей системы)≈7527000000км, расстояние до звезды Сириус ≈ 81900000000000 км, до звезды Вега ≈249500000000000 км, до самых удаленных туманностей , едва видимых в современные телескопы, ≈ 200 000 000 000 000 000 000 км. Запишите эти числа в стандартной форме.

Ответ : Расстояние от Земли до Плутона≈7,527×10 км, до звезды Сириус ≈8,10 км, до звезды Вега ≈2,495×10 км, до самых удаленных туманностей ≈2×10 .

​

Масса Солнца ≈1,99×〖10〗^33 г

Масса Земли≈5,976*10²⁷г.

​

​

Запишите эти числа обычным способом (в тоннах).

​

​

​

Ответ: Масса Солнца ≈1 990 000 000 000 000 000 000 000 000 т.

Масса Земли ≈5 976 000 000 000 000 000 000т.

​

.

​

Земля при своем движении вокруг Солнца проходит путь в 936 250 000 км в год. Какое расстояние проходит Земля за сутки ? (Считайте год в среднем равным 365,25 суток.)

Ответ : 2563312,8 км

Масса Большого Тунгусского метеорита, по подсчетам ученых, достигала 50 000т. Какой длины ребро имел бы железный куб той же массы? ( 1 м³ железа имеет массу 7,8 т.)

Ответ : Длина ребра куба была бы больше 18 м, но меньше 19 м.

​

Математика

путешествий_Звезда_25_2

Математика в путешествии

Математические задачи - самая обширная категория среди логических задач. Обычно сложность заключается не в математических вычислениях (для решения этих задач не требуются знания высшей математики, интегрального счисления, матана и пр.), но в сложности подбора самого алгоритма вычисления. Иногда авторы математических задач специально запутывают условия, но чаще задачи основаны на невозможности закостенелого мозга среднестатистического человека изменить привычные шаблоны мышления.

​

Задача №1

​

Маша решила съездить в гости к своей бабушке во Владивосток. Билет на одного человека стоит 10000руб. Если билеты приобретает семья из трех человек, то каждый билет обходится дешевле на 15%. Сколько придется заплатить за поездку к бабушке, если Маша едет вместе с родителями?

​

Задача №2

​

Из пункта А в пункт В выехал автомобиль со скоростью 200 км/ч. Через 7 часов автомобиль прибыл в пункт В. Какое расстояние между пунктом А и В? Сколько потребовалось топлива автомобилю, если расход топлива составляет 12 литров на 100 километров?

​

Задача №3

​

Туристы на лодке гребли один час по течению реки и 30 минут шли по течению, сложив вёсла. Затем они 3 часа гребли вверх по реке и прибыли к месту старта. Во сколько раз скорость течения реки меньше собственной скорости лодки? Скорость лодки при гребле в стоячей воде и скорость течения реки постоянны.

​