NT UE4 -

Poly de calculs

15/04/19

​

Nassima

Tania

Lina

25/09/2024

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Nathan DEGIORGI L3 - Pharmacie

Sara VAILLANT P2 - Médecine

Noor TASSOUMT P2 - Médecine

Grandeur

et

dimension

GRANDEURS

Question 1 - Parmi les assertions suivantes, laquelle ou lesquelles est ou sont vraie(s) ? SUJET DÉCEMBRE 2013

​

1. La température thermodynamique a pour symbole dimensionnel T.

​

• Le kilogramme est une grandeur de base du système international d’unité.

​

• La position d’un point dans l’espace est une grandeur mesurable.

​

• L’ensemble des unités légales utilisé en France ne contient que les unités du système international.

​

• La distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/c₀ seconde (c₀ vitesse de la lumière dans le vide) définit le mètre depuis 1983.

QCM

Question 1 - Parmi les assertions suivantes, laquelle ou lesquelles est ou sont vraie(s) ? SUJET DÉCEMBRE 2013

​

• La température thermodynamique a pour symbole dimensionnel T.

​

• Le kilogramme est une grandeur de base du système international d’unité.

​

• La position d’un point dans l’espace est une grandeur mesurable.

​

• L’ensemble des unités légales utilisé en France ne contient que les unités du système international.

​

• La distance parcourue par la lumière dans le vide en 1/c₀ seconde (c₀ vitesse de la lumière dans le vide) définit le mètre depuis 1983.

DÉFINITION

Définition :

Une grandeur est une caractéristique physique, chimique ou biologique qui est mesurée ou repérée. Celle-ci peut être de nature scalaire ou vectorielle.

On mesure les grandeurs :

​

• Scalaires (longueur, masse, température…)

​

• Vectorielles (polaires et axiaux…)

​

On repère les grandeurs :

​

• Scalaires (position, date, énergie, température MACRO…)

​

• Vectorielles (position dans l’espace…)

On mesure avec un instrument (règle par exemple) et on peut quantifier.

On localise l’endroit où se trouve le point.

Les Grandeurs du Système International :

​

• Grandeurs de base : 7 grandeurs de base -> longueur, masse, temps ...

​

• Grandeurs dérivées -> volume, fréquence, masse volumique…

​

• Grandeurs sans dimension -> angle plan et angle solide

Les Symboles d’une grandeur :

​

• Sept grandeurs de base -> l,m,t,i…

​

• Deux grandeurs supplémentaire -> α,Ω…

​

• Grandeurs dérivées -> V,ρ…

PURE

Les étalons de mesure : Grandeur de référence qui sert à définir ou à matérialiser l’unité de mesure :

​

Précis

Universel

Reproductible

Exact

​

• Element importants :

​

° Seul le kilogramme est représenté matériellement par un étalon unique

​

° Mesure de masse : précision de 10^-6

​

° Il n’existe pas de représentation matérielle d’un mètre

​

°Mesure du temps : précision 10^-14

​

​

CONSTANTES

GRANDEURS REPÉRABLES

Deux points fixes :

​

• Le point glace : équilibre solide-liquide

​

• Le point vapeur : équilibre liquide-vapeur d’eau

T(K) = T(°C) + 273,15

QCM

Question 2 - Par définition, le watt est l'unité de puissance qui donne lieu à une production d'énergie égale à un joule par seconde. Parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ?

​

1. La puissance a pour dimension : ML2T-3.

​

• La puissance a pour dimension : M2LT-3.

​

• Le watt est une unité dérivée : m.kg2.s-3.

​

• Le watt est une unité dérivée : m2.kg.s-3.

​

• Le watt est une unité maintenue temporairement dans le système international d’unités.

QCM

Question 2 - Par définition, le watt est l'unité de puissance qui donne lieu à une production d'énergie égale à un joule par seconde. Parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ?

​

• La puissance a pour dimension : ML2T-3.

​

• La puissance a pour dimension: M2LT-3.

​

• Le watt est une unité dérivée : m.kg2.s-3.

​

• Le watt est une unité dérivée : m2.kg.s-3.

​

• Le watt est une unité maintenue temporairement dans le système international d’unités.

DIMENSIONS !

Puis, en découle les équations aux dimensions :

​

Ex : Vitesse = l/t donc dim v = dim l/dim t = LT-1

​

​

Système d’Unités de Mesure

et

Convention d'Écriture des Nombres

​

​

Définition : un système d’unités de mesure est défini par un choix conventionnel de grandeurs de base auxquelles sont associées des unités.

​

• Système CGS (trois grandeurs et unités)

​

• Système MSKA ou de GIORGI (quatre grandeurs et unités)

​

• Système International ou SI (sept grandeurs et unités)

​

Un système est cohérent avec des unités de bases et des unités dérivées.

​

​

Rappel : une unité est dite légale par un décret gouvernemental.

LES UNITÉS DE BASE

LES UNITÉS DÉRIVÉES

Question 2 - Parmi les assertions suivantes, laquelle ou lesquelles est ou sont vraie(s) ? SUJET DÉCEMBRE 2013

​

1. Le nombre 1,201 contient 2 chiffres significatifs.

​

• Le nombre 1,201 contient 3 chiffres significatifs.

​

• Le résultat final arrondi du calcul 2,456 + 1,2 + 2,31 comporte 2 chiffres après la virgule.

​

• Le résultat du calcul arrondi 1,25 × 4,5 intervenant dans un calcul comporte 3 chiffres significatifs.

​

• Le résultat final arrondi du calcul 12,68 / 15,3146 = 0,8279464 est 0,8279.

Question 2 - Parmi les assertions suivantes, laquelle ou lesquelles est ou sont vraie(s) ? SUJET DÉCEMBRE 2013

​

• Le nombre 1,201 contient 2 chiffres significatifs.

​

• Le nombre 1,201 contient 3 chiffres significatifs.

​

• Le résultat final arrondi du calcul 2,456 + 1,2 + 2,31 comporte 2 chiffres après la virgule.

​

• Le résultat du calcul arrondi 1,25 × 4,5 intervenant dans un calcul comporte 3 chiffres significatifs.

​

• Le résultat final arrondi du calcul 12,68 / 15,3146 = 0,8279464 est 0,8279.

CHIFFRES SIGNIFICATIFS

Définition : la précision d’une mesure d’un phénomène physique ou biologique se traduit dans l’expression du résultat par le nombre de chiffres dits “significatifs”.

​

Ce sont :

​

• Les chiffres différents de zéro

​

• Les zéros placés entre les chiffres (ex : 1,02 ou 102)

​

• Les zéros placés derrière les autres chiffres quand ils sont le résultat de la mesure (ex valeur mesurée exactement est 120,0 cm)

​

Cas d’une addition ou soustraction :

​

• Arrondir tous les autres nombres à n+1 chiffres après la virgule
• Effectuer les opérations
• Arrondir le résultat à n chiffres après la virgule

​

Exemple :

​

Le calcul 2,456 + 1,2 + 2,31 : on a n = 1

​

donc on mets tout à n+1 donc n=2

​

S = 2,46 + 1,20 + 2,31 = 5,97

​

Et on remet le résultat final à n=1 donc S = 6,0

​

Cas d’une multiplication ou division :

​

• Arrondir tous les autres nombres à n+1 chiffres
• Effectuer les opérations
• Arrondir à n chiffres si ≤ à 9 OU à n+1 chiffres si > à 9

​

Exemple :

​

1,25

× 4,50

-----------

6,25

+ 5,00..

----------

5,625

​

​

Ici on a n = 2

On met tout à n+1 = 3

La somme partielle est ≤ 9

ATTENTION ici le calcul n’est pas final donc on arrondi à n+1

Puis S=5,625 donc on arrondit à n+1 = 3

​

S = 5,63

Cas d’une Puissance ou Racine :

​

Autant de chiffres significatifs que la grandeur mesurée sauf si

​

• Si intervient dans une opération : résultat → n+1

​

Ex : 12,68 / 15,3146 = 0,8279464 est 0,82795.

​

• Si n’intervient pas dans une opération : résultat → n

​

Ex : 12,68 / 15,3146 = 0,8279464 est 0,8279.

​

​

​

​

​

​

​

Fonctions usuelles

Sara VAILLANT P2 - Médecine

Puissances : a^m

Rappel des opérations sur les puissances

​

Fonction exponentielle : e^x

Rappel des opérations sur les fonctions exponentielles

Fonction logarithme

BASE e

BASE 10

Fonction logarithme

Logarithme népérien ln

Logarithme décimal log

=> S’annule par la FONCTION EXPONENTIELLE.

=> S’annule par PUISSANCE 10.

Pour mettre en pratique tout ça… QCM !

Soit la fonction y(x) qui devient par transformation logarithme décimale :

log (y(x)) = 2 - 0,2 · x.

​

Parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s)?

​

A. y(x)= y(x)= 2×e^-0.2x

​

B. y(x)= 2×10^0.2x

​

C. y(x)=10^2-0.2x

​

D. y(x)= 100 -10^0.2x

​

E. y(x)= 100×10^-0.2x

​

Pour mettre en pratique tout ça… QCM !

Soit la fonction y(x) qui devient par transformation logarithme décimale :

log (y(x)) = 2 - 0,2 · x.

​

Parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s)?

​

A. y(x)= y(x)= 2×e^-0.2x Ce n’est pas la fonction exponentielle qui annule le LOG !

​

B. y(x)= 2×10^0.2x

​

C. y(x)=10^2-0.2x

​

D. y(x)= 100 -10^0.2x

​

E. y(x)= 100×10^-0.2x

​

=> On va calculer !

Pour mettre en pratique tout ça… QCM !

Log -> fonction logarithme décimal base 10 -> s’annule par PUISSANCE 10

​

log (y(x)) = 2 - 0,2 · x

​

10 ^{log y(x)} = 10 ^{2- 0,2x}

​

​

​

y (x) = 10 ^{2- 0,2x} <- Réponse C

y (x) = 10 ² / 10 ^0,2x

y (x) = 100 × 10 ^-0,2x <- Réponse E

​

​

​

La puissance 10 a annulé le log

On applique les règles de calcul des puissances

Fonction logarithme : représentations

​

Représentation SEMI-LOG :

Abscisse OU ordonnée en LOG

​

Relations de la forme :

​

y= Ae^bx

​

log (y) = log(A) + b×x

​

Représentation LOG-LOG :

Abscisse ET ordonnée en LOG

​

Relations de la forme :

​

y = Ax^b

​

log (y) = log(A) + b×log (x)

​

Fonction logarithme : représentations

​

Question type : On porte des données dans un repère logarithmique-logarithmique. On obtient une relation linéaire entre les ordonnées (y) et abscisses (x). �Dans ce cas, parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) :

​

A. Il existe des constantes A et b telles que y= A× e ^-bx.

​

B. Il existe des constantes A et b telles que y= A× x^b.

​

C. Il existe des constantes A et b telles que log (y) = log(A) – b×x.

​

D. Il existe des constantes A et b telles que log(y) = b × log(A) + x.

​

E. Il existe des constantes A et b telles que log(y) = log(A) – b × log x.

Fonction logarithme: représentations

​

Question type : On porte des données dans un repère

logarithmique-logarithmique. On obtient une relation linéaire entre les ordonnées (y) et abscisses (x). �Dans ce cas, parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) :

​

A. Il existe des constantes A et b telles que y= A × e ^-bx.

​

B. Il existe des constantes A et b telles que y= A × x^b.

​

C. Il existe des constantes A et b telles que log (y) = log(A) – bx.

​

D. Il existe des constantes A et b telles que log(y) = b × log(A) + x.

​

E. Il existe des constantes A et b telles que log(y) = log(A) – b × log x.

y = Ax^b

log (y) = log(A) + b×log(x)

​

Fonctions trigonométriques

FONCTION COSINUS COS

​

Fonction périodique 2π

​

PAIRE

​

Symétrique par rapport à l’AXE DES ORDONNÉES

​

​

FONCTION SINUS SIN

​

Fonction périodique 2π

​

IMPAIRE

​

Symétrique par rapport à l’ORIGINE

Fonctions trigonométriques: primitives et dérivées

Primitive

Dérivée

cos

-cos

sin

- sin

Primitives et dérivées avec les fonctions trigonométriques ?

La méthode miracle !

​

Dérivées partielles

Sara VAILLANT P2 - Médecine

Qu’est ce que c’est?

Quand une fonction a PLUSIEURS VARIABLES : x et y.

​

​

Dérivée partielle : dérivée de la fonction par rapport à UNE SEULE variable.

Dérivée partielle par rapport à x: f’_x (x,y).

Dérivée partielle par rapport à y: f’_y(x,y).

​

Dérivée totale : somme des dérivées partielles.

Dérivée partielle par rapport à x f’_x (x,y) + Dérivée partielle par rapport à y f’_y(x,y).

​

​

=> Traduction : on va dériver la fonction variable par variable pour obtenir les dérivées partielles, puis on fera la somme des dérivées partielles pour obtenir la dérivée totale !

Voyons ça avec un exemple

f(x,y)= 2xy + 7xy² + 3x² + 9x

​

Dérivée partielle par rapport à x :

y devient une constante

​

Etape 1 : on identifie les constantes

f(x,y)= 2yx + 7y²x + 3x² + 9x

​

Etape 2 : on dérive tout !

f’_x (x,y) = 2y+ 7y²+ 2×3x+ 9

​

​

Dérivée partielle par rapport à y :

x devient une constante

​

Etape 1 : on identifie les constantes

f(x,y)= 2xy + 7xy² + 3x² + 9x

​

Etape 2 : on dérive tout !

f’_y(x,y)= 2x + 2×7xy

​

​

​

Dérivée totale : somme des 2 dérivées partielles !

f’(x) = f’_x (x,y) + f’_y(x,y)

​

f’(x) = 2y + 7y²+ 6x+ 9 + 2x + 14xy

QCM

À propos de la fonction ci dessous, choisissez la ou les affirmations exactes :

f(x,y)=4xy+8x²+14y²x+3x

​

1. La dérivée par rapport à X est f’x(x,y) = 4y+16x+14y²+3.

​

• La dérivée par rapport a Y est f’y(x,y) = 8x+28xy.

​

• La dérivée totale est f’(xy) = 4y+16x+14y²+3.dx + 8x+28xy.dy.

​

• La dérivée totale est f’(xy) = 4y+16x+14y²+3.dx + 4x+28xy.dy.

​

• La dérivée totale est égale à 16y+4x+14y²+3.dx + 8x+28xy.dy.

QCM : correction

À propos de la fonction ci dessous, choisissez la ou les affirmations exactes :

f(x,y)=4xy+8x²+14y²x+3x

​

1. La dérivée par rapport à X est f’x(x,y) = 4y+16x+14y²+3.

​

• La dérivée par rapport a Y est f’y(x,y) = 8x+28xy.

​

• La dérivée totale est f’(xy) = 4y+16x+14y²+3.dx+8x+28xy.dy.

​

• La dérivée totale est f’(xy) = 4y+16x+14y²+3.dx+4x+28xy.dy.

​

• La dérivée totale est égale à 16y+4x+14y²+3.dx+8x+28xy.dy.

​

QCM: correction petit à petit

f(x,y)=4xy+8x²+14y²x+3x

Dérivée partielle par rapport à x :

y devient une constante

​

Etape 1 : on identifie les constantes

f(x,y)= 4yx + 8x² + 14y²x + 3x

​

Etape 2 : on dérive tout !

f’_x (x,y) = 4y+ 16x + 14y² + 3

​

Dérivée partielle par rapport à y :

x devient une constante

​

Etape 1 : on identifie les constantes

f(x,y)= 4xy + 14xy² + 8x² + 3x

​

Etape 2 : on dérive tout !

f’_y(x,y)= 4x + 28xy

​

​

Dérivée totale : somme des 2 dérivées partielles !

f’(x) = f’_x (x,y) + f’_y(x,y)

​

f’(x) = 4y+ 16x + 14y² + 3 + 4x + 28xy

QCM avec la loi des gaz parfaits : type annale!

La loi des gaz parfaits est définie par P.V = n.R.T où P, V, n, R, T sont respectivement la pression, le volume, la quantité de matière, la constante des gaz parfaits et la température. On exprime les variations de pression par P = n.R.T/V. Parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ?

​

1. La dérivée partielle de P par rapport à T est égale à : n.R.V^{– 2}.
2. La dérivée partielle de P par rapport à V est égale à : – n.R.V^{– 2}.
3. La dérivée partielle de P par rapport à V est égale à : – n.R.T.V^{– 2}.
4. La différentielle totale dP est égale à : n.R.V^-2dT – n.R.T.V^-2dV.
5. La différentielle totale dP est égale à : n.R.V^-1dV – n.R.T.V^-2dT.

QCM avec la loi des gaz parfaits : type annale! CORRECTION

La loi des gaz parfaits est définie par P.V = n.R.T où P, V, n, R, T sont respectivement la pression, le volume, la quantité de matière, la constante des gaz parfaits et la température. On exprime les variations de pression par P = n.R.T/V. Parmi les assertions suivantes, laquelle est (ou lesquelles sont) exacte(s) ?

​

1. La dérivée partielle de P par rapport à T est égale à : n.R.V^{– 2}.
2. La dérivée partielle de P par rapport à V est égale à : – n.R.V^{– 2}.
3. La dérivée partielle de P par rapport à V est égale à : – n.R.T.V^{– 2}.
4. La différentielle totale dP est égale à : n.R.V^-2dT – n.R.T.V^-2dV.
5. La différentielle totale dP est égale à : n.R.V^-1dV – n.R.T.V^-2dT.

QCM avec la loi des gaz parfaits : type annale ! CORRECTION

P = n.R.T/V

2 variables T et V donc 2 dérivées partielles

Dérivée partielle par rapport à T

​

Etape 1 : on identifie les constantes

P(T,V)= n.R.T/ V

​

Etape 2 : on dérive tout !

P’T(T,V) = n.R / V = n.R.V^-1

​

Dérivée partielle par rapport à V

​

Etape 1 : on identifie les constantes

P(T,V)= n.R.T/ V = n.R.T.V^-1

​

Etape 2 : on dérive tout !

P’V(T,V) = -n.R.T.V^-2

​

​

Règle mathématique : DIVISER c’est MULTIPLIER par l’inverse

Dérivée totale : somme des 2 dérivées partielles !

P’(T,V)=n.R.V^-1 -n.R.T.V^-2

​

Dérivée, Intégrales, Primitives et Intégrations

Les rappels

Définition à savoir par coeur + petite explication

Intégrales, les formules à connaître

Intégrales (-> calculer une aire)

​

Dériver et Intégrer sont des opérations inverses !!

​

Rappel

Méthode des trapèzes : (n intervalles)

​

​

​

​

​

​

​

​

Méthode de Simpson : (n entier pair)

Rappel

Méthode de Simpson :

Rappel

Maintenant, place aux exos ^^

Donnez la dérivée logarithmique pour :

​

y = (x² + e^x) / (x-3)

​

​

Maintenant, place aux exos ^^

Donnez la dérivée logarithmique pour :

​

y = (x² + e^x) / (x-3)

​

Réponse :

y’ = (2x/x²) + (e^x/e^x) - 1/(x-3)

​

​

​

Maintenant, place aux exos ^^

Donnez la dérivée logarithmique pour :

​

y = (x² + e^x) / (x-3)

​

Réponse :

y’ = (2x/x²) + (e^x/e^x) - 1/(x-3)

​

​

y = (cos x + 3x² + e^2x³) / (x² + 7)

​

​

Maintenant, place aux exos ^^

Donnez la dérivée logarithmique pour :

​

y = (x² + e^x) / (x-3)

​

Réponse :

y’ = (2x/x²) + (e^x/e^x) - 1/(x-3)

​

​

y = (cos x + 3x² + e^2x³) / (x² + 7)

​

Réponse :

y’ = (-sin x/cos x) + (6x/3x²) + (6x²e^2x³) - (2x/x² + 7)

​

​

​

Les Équations différentielles

Lola Champon

L2 Pharmacie

Qu’est-ce qu’une équation différentielle ?

Une équation différentielle est une équation qui relie une fonction qui est l’inconnue de l’équation, ses dérivées et la variable dont dépend la fonction.

Exemple : y = y’

​

Dans cette équation , la fonction inconnue est y et y’ est la dérivée de la fonction.

​

Ici on a une équation différentielle du premier ordre SANS second membre. On détermine l’ordre de l’équation en fonction du nombre de dérivées que l’on fait intervenir. Si on ait eu y’’, on aurait eu une équation du second ordre.

QCM

Parmis les assertions suivantes, cocher la ou les réponse(s) exacte(s) :

Soit y - 4y’ = 3x+5 :

1. Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre.

​

• La solution générale de cette équation est : y(x) = Ke^4x + 3x+ 17.

​

• La solution de cette équation Homogène de cette équation est : yH(x) =Ke^-4x.

​

• La solution homogène de cette équation est : yH(x) =Ke^1/4x.

​

• La méthode de la variation de la constante de Lagrange est une méthode de résolution d'équations qui prend en compte la nature du second membre.

QCM

Parmis les assertions suivantes, cocher la ou les réponse(s) exacte(s) :

Soit - 4y’ + y = 3x+5 :

• Cette équation est une équation différentielle linéaire du premier ordre avec second membre.

​

• La solution générale de cette équation est : y(x) = Ke^1/4x + 3x+ 17.

​

• La solution homogène de cette équation est : yH(x) =Ke^4x.

​

• La solution homogène de cette équation est : yH(x) =Ke^-1/4x.

​

• La méthode de la variation de la constante de Lagrange est une méthode de résolution d'équations qui prend en compte la nature du second membre.

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

Les deux principales méthodes de résolution d’une équation différentielle sont :

La première méthode que l’on va voir consiste à tenir compte de la nature du second membre et de chercher une solution similaire à ce second membre.

La seconde méthode est la méthode de la méthode de la variation de la constante de Lagrange.

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°1 : tenir compte de la nature du second membre.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’ + 4 = 3x + 5.

​

Etape 1 : identifier la nature du second membre et déterminer une forme similaire de y que l’on nommera y1.

​

• 3x+5 est une fonction de la forme ax+b avec a et b qui appartiennent à l’ensemble des Réels.

​

• y1 sera donc aussi de cette forme là. On pose : y1(x) = ax + b.

​

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°1 : tenir compte de la nature du second membre.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5.

​

Etape 2 : chercher une solution particulière avec y1.

​

​

• b

​

→ On détermine maintenant par identification les valeurs de a et b.

​

​

​

​

et

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°1 : tenir compte de la nature du second membre.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’ + y = 3x + 5.

​

Etape 3 : calculer la solution homogène de l'équation: y = 4y’

​

​

​

​

​

​

​

​

Attention à ne pas se tromper dans l’identification de a et b dans l'équation : -4y’ +y = 3x+5

​

a est le facteur de y’ et b celui de y : ay’ + by = 3x+5.

QCM

Parmis les assertions suivantes, cocher la ou les réponse(s) exacte(s) :

Soit - 4y’ + y = 3x+5 :

​

​

​

​

​

​

C. La solution homogène de cette équation est : yH(x) =Ke^4x.

​

D. La solution homogène de cette équation est : yH(x) =Ke^-1/4x.

​

→ Les réponses C et D sont donc fausses.

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°1 : tenir compte de la nature du second membre.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’- y = 3x + 5.

​

Etape 4 : déterminer la solution générale de l’équation.

​

​

​

​

​

​

​

→ La réponse B est donc juste.

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E).

​

Cette méthode est la méthode la plus puissante pour résoudre des équations différentielles.

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QCM

Parmis les assertions suivantes, cocher la ou les réponse(s) exacte(s) :

Soit - 4y’ + y = 3x+5 :

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E. La méthode de la variation de la constante de Lagrange est une méthode de résolution d'équations qui prend en compte la nature du second membre.

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Cette réponse est fausse car les méthodes de Lagrange et la méthode qui prend en compte la nature du second membre sont deux méthodes différente. Nous avons vu la méthode qui prenait en compte la nature du second membre nous allons maintenant voir celle de Lagrange.

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

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Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

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Etape 1 : intégrer l’équation différentielle sans le second membre : y -4y’ = 0.

Pour cela on va appliquer la formule du cours :

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Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

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Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

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​

Etape 1 : intégrer l’équation différentielle sans le second membre : y -4y’ = 0.

Pour cela on va appliquer la formule du cours :

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Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

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Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

​

​

Etape 1 : intégrer l’équation différentielle sans le second membre : y -4y’ = 0.

Pour cela on va appliquer la formule du cours :

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Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

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Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

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Etape 2 : rechercher une solution particulière de -4y’ + y = 3x + 5, tient compte de .

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C’est à dire que l’on traite K non plus comme une constante mais comme une fonction de la variable x.

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Donc y = K(x)* f(x) et y’ = Kf’ +K’f

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On applique ensuite ces fonctions dans (E).

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Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

​

Etape 2 : rechercher une solution particulière de -4y’ + y = 3x + 5, tient compte de .

​

On obtient alors :

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Avec :

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

​

Etape 2 : rechercher une solution particulière de -4y’ + y = 3x + 5, tient compte de .

​

On obtient alors :

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Or : puisque f(x) est solution de -4y’+y=0

Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

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Etape 2 : il reste donc :

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Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

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Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

​

Etape 3 : déterminer la solution générale de l’équation.

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Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

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Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

​

Etape 3 : déterminer la solution générale de l’équation.

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Soit :

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Méthodes de résolution d’une équation différentielle

→ Méthode n°2 : méthode de la variation de la constante de Lagrange.

​

Soit l’équation différentielle suivante : - 4y’+ y = 3x + 5. (E)

​

Etape 3 : déterminer la solution générale de l’équation.

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Donc :

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On fait un exemple ensemble ?

• Appliquez les deux méthodes étudiées à l’équation différentielle suivante :

Récapitulatif des méthodes

Merci pour votre attention