Geometría Euclidea

y no Euclidea

Germán Combariza

Platón

“Αγεωμέτρητος

μηδείς

εἰσίτω”

https://translate.google.com/?sl=auto&tl=es&text=%E2%80%9C%CE%91%CE%B3%CE%B5%CF%89%CE%BC%CE%AD%CF%84%CF%81%CE%B7%CF%84%CE%BF%CF%82%20%CE%BC%CE%B7%CE%B4%CE%B5%CE%AF%CF%82%20%CE%B5%E1%BC%B0%CF%83%CE%AF%CF%84%CF%89%E2%80%9D%0A&op=translate

Tabla de contenido

1

2

3

4

Historia

G. Plana

G. Esférica

Geo.

Hiperbólica

Historia

1

En el principio todo era…

• Longitudes
• Áreas
• Volúmenes
• Hasta…

https://euclides.org/los-elementos/

Definiciones:

5 Postulados:

¡500 teoremas en geometría!

• Puntos
• Rectas
• Planos
• ….

1. Dos puntos distintos cuales quiera determinan un segmento de recta.
2. Un segmento de recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Se puede trazar una circunferencia dados un centro y un radio cualquiera.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.

En 1763 revisó examinó 28 pruebas

Gauss (1777-1855)

Lobachevsky (1793-1856)

Bolyai

(1802-1860)

Geometría

Plana

2

El Plano Cartesiano

https://www.geogebra.org/calculator/bspgtbxd

Distancia

Líneas

Paralelas y Perpendiculares

Geometría

¿Cómo “medimos” la geometría?

Isometrías

Grupos

Reflexion

Reflexiones

Rectas paralelas

Reflexiones

Traslación

Reflexiones

Rectas No-paralelas

Reflexiones

Rectas No-paralelas

Rotación

​

Reflexiones trasladadas

Clasificación de las isometrías

Los puntos fijos de una Isometría deben ser alguno de los siguientes:

​

• Un punto:
• Rotación.
• Un línea:
• Reflexión.
• El conjunto Vacio:
• Traslación
• Reflexión trasladada.
• Todo el plano:
• La identidad

Geometría

Esférica

3

La Esfera

https://www.geogebra.org/3d/j8gmtynh

Líneas

Líneas

Teorema

Dos líneas distintas siempre se intersectan.

Corolario

¡No hay paralelas!

Distancia

Paralelas y Perpendiculares

Geometría

¿Cómo “medimos” la geometría?

Reflexiones

Traslaciones

No hay paralelas.

La segunda no es línea.

​

​

Rotaciones

Antipodal

Reflexiones trasladadas

Clasificación de las isometrías

Los puntos fijos de una Isometría son:

​

• Una rotación no trivial tiene exactamente …

dos puntos fijos antipodales.

• Una reflexión tiene …

Una línea de puntos fijos: su eje.

• Una reflexión trasladada tiene…

Ningún punto fijo.

• La identidad fija
• Toda la esfera.
• La aplicación antipodal fija…

La línea con polo (0,0,1).

Geometría

Hiperbólica

4

El Plano Hiperbólico

https://www.geogebra.org/calculator/uvskq4qe

Vectores

• X es espacial si b(x,x) > 0.
• X es temporal si b(x,x) < 0.
• X es luminoso si b(x,x) = 0.

​

Distancia

Líneas

Paralelas, Perpendiculares y más..

Paralelas

Se intersectan

Ultraparalelas

Geometría

¿Cómo “medimos” la geometría?

Reflexiones

Rotaciones

Traslación

​

Desplazamiento paralelo

Reflexiones trasladadas

Reflexión+Traslación

​

Clasificación de las isometrías

Los puntos fijos de una Isometría deben ser alguno de los siguientes:

​

• Una traslación
• No tiene puntos fijos.
• Una Rotación
• Tiene un punto fijo (el eje de rotación).
• Un desplazamiento paralelo:
• No tiene puntos fijos.
• Una reflexión
• Fija la línea que la define (el eje de reflexión)
• Una reflexión trasladada
• No tiene puntos fijos.

¡GRACIAS!

¿Preguntas?

german.combariza@uexternado.edu.co

https://sites.google.com/site/combariza/

​

Please keep this slide for attribution

CREDITS: This presentation template was created by Slidesgo, including icons by Flaticon, and infographics & images by Freepik