Различные способы доказательства теоремы Пифагора.
Навигация
Краткая биография Пифагора
Великий ученый Пифагор родился около 570 г. до н.э. на острове Самосе. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери Пифагора не известно. По многим античным свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора традиция называет имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно Гермодамант и Ферекид были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Таким образом, если Гермодамант ввел юного Пифагора в круг муз, то Ферекид обратил его ум к логосу. Ферекид направил взор Пифагора к природе и в ней одной советовал видеть своего первого и главного учителя. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, и он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Фалес советует ему отправится за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.
Более интересную и подробную информацию можно узнать по этому видео ИСТОЧНИКУ
Теорема Пифагора
Теорема Пифагора-важнейшее утверждение геометрии. Площадь квадрата, построенного на гипотенузе прямоугольного треугольника, равна сумме площадей квадратов, построенных на его катетах. Обычно открытие этого утверждения приписывают древнегреческому философу и математику Пифагору (6 в. до н.э.). Но изучение вавилонских клинописных таблиц и древних китайских рукописей показало, что это утверждение было известно ещё задолго до Пифагора, возможно за тысячелетие до него. Заслуга же Пифагора состояла в том, что он открыл доказательство теоремы.
Пифагоровы штаны
Шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрои мужских штанов, что породило следующее стихотворение: «Пифагоровы штаны на все стороны равны».Шуточное название теоремы Пифагора, возникшее в силу того, что раньше в школьных учебниках эта теорема доказывалась через доказательство равенства суммы площадей квадратов, построенных на катетах прямоугольного треугольника, площади квадрата, построенного на гипотенузе этого треугольника. Построенные на сторонах треугольника и расходящиеся в разные стороны квадраты напоминали школьникам покрои мужских штанов, что породило следующее стихотворение: «Пифагоровы штаны на все стороны равны».
Доказательства теоремы Пифагора
Доказательство №1
Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с��Докажем, что с²=а²+в².
Доказательство.�Достроим треугольник до квадрата со стороной а + в
Площадь S этого квадрата равна (а + в)² . С другой стороны, этот квадрат составлен из четырех равных прямоугольных треугольников, площадь каждого из которых равна ½ав, и квадрата со стороной с, поэтому S= 4 * ½ав + с² =2ав + с².
Таким образом: (а + в)² = 2ав + с² => с²=а²+в².
Теорема доказана.
Доказательство №2
Катет прямоугольного треугольника есть среднее пропорциональное для гипотенузы и отрезка гипотенузы, заключенного между катетом и высотой, проведенной из вершины прямого угла.��Рассмотрим прямоугольный треугольник с прямым углом С, СD– высота. Докажем, что АС² +СВ² = АВ².��На основании утверждения о катете прямоугольного треугольника: АС =√AB*√DB, СВ =√AB*AD .��Возведем в квадрат и сложим полученные равенства: � � С² = АВ * АD, СВ² = АВ * DВ;�� АС² + СВ² = АВ * ( АD + DВ), где АD+DB=AB, тогда �� АС² + СВ² = АВ * АВ �� АС² + СВ² = АВ².
Теорема доказана.
Доказательство №3
Определение косинуса острого угла прямоугольного треугольника. ��Пусть АВС – данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту СD из вершины прямого угла С.
По определению косинуса угла:
cos А = АD/АС = АС/АВ. Отсюда АВ * АD = АС²
cos В = ВD/ВС = ВС/АВ. Отсюда АВ * ВD = ВС² .
Складывая полученные равенства почленно и замечая, что АD + DВ = АВ, получим:
АС² + ВС² = АВ (АD + DВ) = АВ²��Доказательство завершено.
Доказательство №4
«Соотношения между сторонами и углами прямоугольного треугольника»��Рассмотрим прямоугольный треугольник с катетами а, в и гипотенузой с.�Докажем, что с²=а²+в².
sinВ= в/с ; cosВ= a/с, то, возведя в квадрат полученные равенства, получим:
sin²В= в²/с²; cos²В= а²/с².
Сложив их, получим:
sin²В + cos²В= в²/с²+ а²/с², где sin²В + cos²В=1,
1= (в²+ а²) / с² => с²= а² + в².
Доказательство завершено.�
Доказательство №5
Площадь данного прямоугольного треугольника, с одной стороны, равна ½*ab, с другой, ½*pr, где р - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной в него окружности.��� 1) (r=1/2(a+b+c))���� 2) 1/2ab=1/2pr=1/2(a+b+C)*1/2(a+b-c)
��Отсюда следует, что с2 = а2 + b2 .���Доказательство завершено.
Доказательство №6
На рисунке три прямоугольных треугольника составляют трапецию. Поэтому площадь этой фигуры можно находить по формуле площади прямоугольной трапеции, либо как сумму площадей трех треугольников. В первом случае эта площадь равна = 1/2(a+b)(a+b)��Во втором: -1/2ab+1/2ab+1/2*c^2��Приравнивая эти выражения, получаем теорему Пифагора:�� 1/2(a+b)(a+b) = -1/2*ab+1/2*ab+1/2*c^2�� а2 + b2 = с2���Доказательство завершено.
Задачи по планиметрии с практическим применением
12 апреля 1961 года Ю.А. Гагарин на космическом корабле “Восток” был поднят над землей на максимальную высоту 327 километров. На каком расстоянии от корабля находились в это время наиболее удаленные от него и видимые космонавтом участки поверхности Земли? (Радиус Земли ≈6400 км). ( применяя т.Пифагора получаем 6408 км)
Строительство крыши
При строительстве домов и коттеджей часто встает вопрос о длине стропил для крыши, если уже изготовлены балки. Например: в доме задумано построить двускатную крышу (форма в сечении). Какой длины должны быть стропила, если изготовлены балки AC=8 м., и AB=BF.
Решение:
Треугольник ADC - равнобедренный AB=BC=4 м., BF=4 м. Если предположить, что FD=1,5 м., тогда:
А) Из треугольника DBC: DB=2,5 м.,
Б) Из треугольника ABF: АF=5.6м
Молниеотвод
Известно, что молниеотвод защищает от молнии все предметы, расстояние которых от его основания не превышает его удвоенной высоты. Необходимо определить оптимальное положение молниеотвода на двускатной крыше, обеспечивающее наименьшую его доступную высоту.
Решение:
По теореме Пифагора h2≥ a2+b2, значит h≥(a2+b2)1/2.
Астрономия
На этом рисунке показаны точки A и B и путь светового луча от A к B и обратно. Путь луча показан изогнутой стрелкой для наглядности, на самом деле, световой луч - прямой.
Какой путь проходит луч? Поскольку свет идет туда и обратно одинаковый путь, спросим сразу: чему равно расстояние между точками?
Решение задачи по астрономии:
На этом рисунке показан путь светового луча только с другой точки зрения, например из космического корабля. Предположим, что корабль движется влево. Тогда две точки, между которыми движется световой луч, станут двигаться вправо с той же скоростью. Причем, в то время, пока луч пробегает свой путь, исходная точка A смещается и луч возвращается уже в новую точку C.
Мобильная связь
Какую наибольшую высоту должна иметь антенна мобильного оператора, чтобы передачу можно было принимать в радиусе R=200 км? (радиус Земли равен 6380 км.)
Решение:
Пусть AB= x, BC=R=200 км, OC= r =6380 км.
OB=OA+AB
OB=r + x.
Используя теорему Пифагора, получим
Ответ: 2,3 км.