Середня лінія трикутника
Геометрія 8 клас
Бісектриса
А
В
С
L
ABL =
LBC
BL – бісектриса АВС
Бісектрисою трикутника
називається відрізок бісектриси кута трикутника, що сполучає його вершину з точкою на протилежній стороні трикутника.
Позначається бісектриса lв
Б І С Е КТ Р И С А
Пригадаємо:
А
В
С
Н
ВН
АС
ВН – висота АВС
Висотою трикутника називається перпендикуляр,проведений з вершини трикутника до прямої, що містить його протилежну сторону.
Позначається висота hв
Висота
1
В И С О Т А
Пригадаємо:
В
А
С
М
АМ = СМ,
ВМ – медіана АВС,
Медіаною трикутника називається відрізок, що сполучає вершину трикутника із серединою протилежної сторони.
Позначається медіана mв
Медіана:
М Е Д І А Н А
Пригадаємо:
В
Означення. Середньою лінією трикутника називається відрізок, який сполучає середини двох його сторін.
Скільки середніх ліній можна провести в трикутнику?
Властивості:
1. У будь-якому трикутнику можна провести 3 середні лінії.
2. Середня лінія трикутника паралельна одній із його сторін та дорівнює половині цієї сторони.
3.Периметр трикутника,утвореного
всіма його середніми лініями,
дорівнює половині периметра
даного трикутника.
4.Три середні лінії трикутника
ділять його на чотири рівних
трикутники.
MN║AC,
Назвіть трикутники, в яких проведено середню лінію:
B
F
C
E
M
F
P
N
E
5
5
3
3
B
A
C
K
L
5
7
6
6
P
M
A
L
A
B
5
3
3
5
Вірно!
Невірно!
Вірно!
Невірно!
1)
2)
3)
4)
УСНО:
Задачі за готовими рисунками :
1.
8
?
2.
?
2,5
3.
7
10
9
4.
Дано: ΔАВС,
KL - середня лінія,
KА = 4см, AL=3,5 см, KL=3 cм
Знайти :
Задача № 1
B
K
L
С
А
Розв’язання
За властивістю середньої лінії трикутника маємо:
1) СВ=2 ⋅KL= 2⋅ 3 = 6(см)
2) АС=2 ⋅KА= 2⋅ 4 = 8(см)
3) АВ=2 ⋅АL= 2⋅ 3,5 = 7(см)
4) АС+АВ+СВ= 8+7+6=21 (см)
Відповідь:
4
3,5
3
Задача №2
10
Сторони трикутника відносяться як 4:3:5. Знайдіть його сторони, якщо периметр трикутника, утвореного середніми лініями даного трикутника дорівнює 60см.
Розв’язання :
Нехай Х – коефіцієнт пропорційності .
Тоді АВ=4Х см, ВС=3Х см, АС=5Х см .
За властивістю середньої лінії трикутника маємо :
Складемо рівняння:
3Х+5Х+4Х=120; 12Х=120; Х=10
Отже, АВ=40см, ВС=30см, АС=50см.
Відповідь: 40см, 30см, 50см.
4х
3х
5х
Довести: EH|| FG
A
H
D
G
E
B
F
C
Задача № 3
Дано: ABCD – чотирикутник,
AE =EB, BF = FC,
AH=HD,DG=GC
Доведення
1. ABCD – чотирикутник,
AE =EB, BF = FC,
AH=HD,DG=GC
2.Проведемо BD.
4.Розглянемо HE i FG- середні лінії цих трикутників.
HE || BD i FG||BD за властивістю середньої лінії, тому EH|| FG ( за властивістю паралельних прямих)
Ключова задача !
Середини сторін будь-якого довільного
чотирикутника є вершинами паралелограма.
MNPK- паралелограм !
Тестові завдання�Середня лінія трикутника
А) 15см, Б) 2,5см, В) 5см, Г) 7,5см.
2. Основа рівнобедреного трикутника дорівнює 8см, а бічна сторона – 10см. Чому дорівнює довжина відрізка, який сполучає середини бічних сторін трикутника?
А) 5см, Б) 9см, В) 4см, Г) 8см.
3. Середня лінія рівностороннього трикутника дорівнює 4см. Знайдіть сторони цього трикутника.
А) 2см, Б) 8см, В) 12см, Г) 1см.
4. Знайдіть периметр рівностороннього трикутника, середня ліня якого дорівнює 4см.
А) 6см, Б) 24см, В) 30см, Г) 15см.
13
Дидактична гра “Вірю – не вірю”� Середня лінія трикутника
Твердження | Так чи ні |
Середньою лінією трикутника називають відрізок, кінцями якого є середини двох сторін трикутника. | |
У кожному трикутнику можна провести безліч середніх ліній | |
Якщо дві середні лінії трикутника перпендикулярні, то трикутник – прямокутний. | |
Існують трикутники, у яких немає жодної середньої лінії. | |
Середні лінії трикутника ділять його на чотири рівні трикутники. | |
Якщо послідовно сполучити середини сторін будь-якого ромба, то дістанемо прямокутник. | |
14
Точку перетину медіан ще називають центром мас трикутника, або центроїдом трикутника.
15
Домашнє завдання:
1) § 1, п.7, відповідати на запитання;
2) Виконати №193, 197, 201.