การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
วิชาคณิตศาสตร์
1. นักเรียนสามารถให้เหตุผลอย่างเป็นระบบและสามารถสื่อความหมาย
ได้อย่างถูกต้อง
2. นักเรียนสามารถสร้างรูปเรขาคณิตพื้นฐานและให้เหตุผลประกอบการสร้างได้
3. นักเรียนสามารถนำความรู้เกี่ยวกับการสร้างทางเรขาคณิตไปใช้ในชีวิตจริง
จุดประสงค์การเรียนรู้
หน่วยการเรียนรู้
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
หน่วยการเรียนรู้
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
บทที่ 1 ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับการให้เหตุผลทางเรขาคณิต
1.1 ประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไข� 1.2 การให้เหตุผลทางเรขาคณิตและการพิสูจน์
บทที่ 2 การสร้างและการให้เหตุผลเกี่ยวกับการสร้าง
2.1 ส่วนของเส้นตรงและการแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง
2.2 มุมและการแบ่งครึ่งมุม
2.3 การสร้างเส้นตั้งฉาก
2.4 การสร้างเส้นขนาน
สาระการเรียนรู้
บทที่ 3 การสร้างรูปเรขาคณิต
3.1 การสร้างรูปสามเหลี่ยม
3.2 การสร้างรูปสี่เหลี่ยม
หน่วยการเรียนรู้
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
ความรู้พื้นฐานเกี่ยวกับ
�การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
ประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไข
ประโยคเงื่อนไข (conditional statement) คือ ประโยคที่ประกอบด้วยข้อความสองข้อความที่เชื่อมด้วย ถ้า... แล้ว...
ประโยคเงื่อนไข
กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็ม
เหตุ
ผล
ประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไข
ในชั้นนี้ จะพิจารณาเฉพาะกรณีต่อไปนี้
ถ้าเหตุเป็นจริง แล้วทำให้เกิดผลที่เป็นจริงเสมอ
ถ้าเหตุเป็นจริง แล้วไม่ทำให้เกิดผลที่เป็นจริงเสมอไป
ประโยคเงื่อนไขเป็นจริง
ประโยคเงื่อนไขไม่เป็นจริง
ถ้าจำนวนนับใดหารด้วย 4 ลงตัว
แล้วจำนวนนับนั้นหารด้วย 2 ลงตัว
ถ้าจำนวนนับใดหารด้วย 2 ลงตัว
แล้วจำนวนนับนั้นหารด้วย 4 ลงตัว
ประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไข
บทกลับของประโยคเงื่อนไข
ถ้านักเรียนลองนำ “ผล” มาเป็น “เหตุ” และนำ “เหตุ” มาเป็น “ผล” จะได้ประโยคเงื่อนไขใหม่ ซึ่งเรียกประโยคเงื่อนไขใหม่ว่า บทกลับของประโยคเงื่อนไข
กำหนดให้ a เป็นจำนวนเต็ม
เหตุ
ผล
ประโยคเงื่อนไขและบทกลับของประโยคเงื่อนไข
ถ้าประโยคเงื่อนไขเป็นจริงและมีบทกลับของประโยคเงื่อนไขเป็นจริง
จะเขียน ...ก็ต่อเมื่อ... เชื่อมข้อความสองข้อความของประโยคเงื่อนไขได้ เช่น
a เป็นจำนวนคู่
ก็ต่อเมื่อ
การให้เหตุผลทางเรขาคณิตและการพิสูจน์
การให้เหตุผลทางเรขาคณิตเป็นเรื่องเกี่ยวกับการนำรากฐานของคณิตศาสตร์มาใช้ในการพิสูจน์ข้อความต่าง ๆ ว่าเป็นจริงหรือไม่ โดยมีองค์ประกอบดังนี้
การให้เหตุผลทางเรขาคณิตและการพิสูจน์
คำอนิยาม(undefinition)
คำหรือข้อความที่มีการตกลงกันว่า
ไม่ต้องให้ความหมาย แต่เข้าใจตรงกัน
เช่น จุด เส้นตรง
บทนิยาม(definition)
คำหรือข้อความที่มีการตกลงกันว่า
ต้องให้ความหมาย เพื่อให้ทุกคนเข้าใจตรงกัน
การให้เหตุผลทางเรขาคณิตและการพิสูจน์
บทนิยาม(definition)
คำหรือข้อความที่มีการตกลงกันว่า
ต้องให้ความหมาย เพื่อให้ทุกคนเข้าใจตรงกัน
ตัวอย่างบทนิยามในเรขาคณิต
ส่วนของเส้นตรง
ส่วนหนึ่งของเส้นตรงที่มีจุดปลายสองจุด
รูปสามเหลี่ยมหน้าจั่ว
รูปสามเหลี่ยมที่มีด้านสองด้านยาวเท่ากัน
เส้นขนาน
เส้นตรงสองเส้นที่อยู่บนระนาบเดียวกัน ไม่ตัดกัน
และมีระยะห่างระหว่างเส้นทั้งสองเส้นเท่ากันเสมอ
การให้เหตุผลทางเรขาคณิตและการพิสูจน์
สัจพจน์
(axiom; postulate)
ข้อความที่กำหนดให้ เป็นจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์
โดยมีจุดประสงค์ในการสร้างทฤษฎี
1. มีเส้นตรงเพียงเส้นเดียวเท่านั้นที่ลากผ่านจุดสองจุดที่กำหนดให้
2. เส้นตรงสองเส้นที่ตัดกัน จะตัดกันเพียงจุดเดียวเท่านั้น
3. เมื่อกำหนดจุดศูนย์กลางและความยาวของส่วนของเส้นตรงที่เป็นรัศมี สามารถสร้างวงกลมได้เพียงวงเดียวเท่านั้น
การให้เหตุผลทางเรขาคณิตและการพิสูจน์
ทฤษฎีบท
(theorem)
ข้อความที่ พิสูจน์แล้วว่าเป็นจริง
ทฤษฎีบท
ถ้าเส้นตรงสองเส้นตัดกัน แล้วมุมตรงข้ามมีขนาดเท่ากัน
ทฤษฎีบท
ขนาดของมุมภายในทั้งสามมุมของรูปสามเหลี่ยมรวมกันเท่ากับ 180 องศา
ทฤษฎีบท
เมื่อเส้นตรงเส้นหนึ่งตัดเส้นตรงคู่หนึ่ง เส้นตรงคู่นั้นขนานกัน
ก็ต่อเมื่อ มุมแย้งมีขนาดเท่ากัน
หน่วยการเรียนรู้
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
การสร้างและการให้เหตุผล
�เกี่ยวกับการสร้าง
ส่วนของเส้นตรงและการแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรง
การให้เหตุผล เนื่องจากในขั้นตอนการสร้างกางวงเวียนรัศมียาวเท่ากัน
การสร้างส่วนของเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรงที่กำหนด
การสร้างการแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนด
การให้เหตุผล ลากส่วนของเส้นตรงให้เกิดรูปสามเหลี่ยมและใช้ความเท่ากันทุกประการของรูปสามเหลี่ยมทั้งความสัมพันธ์แบบ ด.ด.ด. และ ด.ม.ด. ใน การให้เหตุผล
มุมและการแบ่งครึ่งมุม
การสร้างมุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนด
การให้เหตุผล ลากส่วนของเส้นตรงให้เกิดรูปสามเหลี่ยมและใช้ความเท่ากัน�ทุกประการของรูปสามเหลี่ยมทั้งความสัมพันธ์แบบ ด.ด.ด. ใน การให้เหตุผล
การแบ่งครึ่งมุมที่กำหนด
การสร้างเส้นตั้งฉาก
การให้เหตุผล ลากส่วนของเส้นตรงให้เกิดรูปสามเหลี่ยมและใช้ความเท่ากัน�ทุกประการของรูปสามเหลี่ยมทั้งความสัมพันธ์แบบ ด.ด.ด. หรือ ด.ม.ด. ใน การให้เหตุผล
การสร้างเส้นตั้งฉากจากจุดภายนอก
มากยังเส้นตรงที่กำหนด
การสร้างเส้นตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่ง
บนเส้นตรงที่กำหนด
ด.ด.ด.
และ
ด.ม.ด.
ด.ด.ด.
การสร้างเส้นขนาน
การสร้างเส้นตรงที่ผ่านจุดภายนอกและขนานกับเส้นตรงที่กำหนด
วิธีที่ 1 สร้างโดยอาศัยหลักการสร้างมุมแย้งให้มีขนาดเท่ากัน
แล้วใช้สมบัติของเส้นขนานมาใช้ในการให้เหตุผล
วิธีที่ 2 สร้างรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูน แล้วใช้สมบัติของ
รูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนในการให้เหตุผล
หน่วยการเรียนรู้
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
การสร้างรูปเรขาคณิต
การสร้างรูปสามเหลี่ยม
การสร้างรูปสามเหลี่ยมให้มีมุมยอดมุมหนึ่งมีขนาด p องศา แขนแต่ละข้างของมุมยอดมีความยาว a และ b หน่วย โดยอาศัยหลักการสร้างส่วนของเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรงที่กำหนดและมุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนดในการสร้าง
การสร้างรูปสามเหลี่ยม
การสร้างรูปสามเหลี่ยม
การสร้างรูปสามเหลี่ยมให้มีฐานยาวเท่ากับ a หน่วย สูง b หน่วย และมุมที่ฐานมุมหนึ่งมีขนาดเท่ากับ k องศา โดยอาศัยหลักการสร้างส่วนของเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรงที่กำหนดและมุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนดในการสร้าง
การสร้างรูปสี่เหลี่ยม
การสร้างรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มุมมุมหนึ่งมีขนาด 60 องศา และกำหนดความยาวของด้านประกอบมุมมาให้ โดยอาศัยหลัก ดังนี้
การสร้างรูปสี่เหลี่ยม
1.
การสร้างส่วนของเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรงที่กำหนด
2.
มุมให้มีขนาดเท่ากับมุมที่กำหนด
3.
ทฤษฎีบทที่ว่าของรูปสี่เหลี่ยมด้านขนานยาวเท่ากัน
การสร้างรูปสี่เหลี่ยม
การสร้างรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนที่กำหนดความยาวของเส้นทแยงมุมมาให้ โดยอาศัยหลักการสร้างส่วนของเส้นตรงให้มีความยาวเท่ากับส่วนของเส้นตรงที่กำหนด การสร้างการแบ่งครึ่งส่วนของเส้นตรงที่กำหนด การสร้างเส้นตั้งฉากที่จุดจุดหนึ่งบนเส้นตรงที่กำหนด และสมบัติที่ว่าเส้นทแยงมุมแต่ละเส้นของรูปสี่เหลี่ยมขนมเปียกปูนแบ่งครึ่งและ�ตั้งฉากกันในการสร้าง
จบหน่วยการเรียนรู้
การให้เหตุผลทางเรขาคณิต
อย่าลืมทำแบบฝึกหัดทบทวนกันนะ