1 of 30

Μάθημα 1Ο �Σύνολα

Άλγεβρα Α΄Λυκείου

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος

2 of 30

Οι μαθητές αντιμετωπίζουν για πρώτη φορά με συστηματικό τρόπο την έννοια του συνόλου και των σχέσεων και πράξεων μεταξύ συνόλων. Επειδή η έννοια του συνόλου είναι πρωταρχική, δηλαδή δεν ορίζεται, χρειάζεται να τονισθούν οι προϋποθέσεις που απαιτούνται για να θεωρηθεί μια συλλογή αντικειμένων σύνολο μέσα από κατάλληλα παραδείγματα (π.χ. το σύνολο που αποτελείται από τα θρανία και τους μαθητές της τάξης, το «σύνολο» των ψηλών μαθητών της τάξης).��Η αναπαράσταση συνόλων, σχέσεων και πράξεων αυτών καθώς και η μετάβαση από τη μία αναπαράσταση στην άλλη, μπορούν να υποστηρίξουν την κατανόηση της έννοιας του συνόλου.��Οι πράξεις μεταξύ συνόλων είναι ένα πλαίσιο στο οποίο οι μαθητές μπορούν να δώσουν νόημα στους συνδέσμους «ή» και «και». Ειδικά, όσον αφορά στο σύνδεσμο «ή», να επισημανθεί η διαφορετική του σημασία στα Μαθηματικά από εκείνη της αποκλειστικής διάζευξης που του αποδίδεται συνήθως στην καθημερινή χρήση του.

Προτείνεται να διατεθούν 2 ώρες

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

2

3 of 30

Το σημείο, η ευθεία, το επίπεδο είναι αρχικές έννοιες και δεν έχουν ορισμό. Ως έννοιες μπορούμε όμως να τις περιγράψουμε και να γίνουν αντιληπτές και κατανοητές από όλους. Έτσι και η έννοια του συνόλου στα μαθηματικά είναι αρχική, δηλαδή δεν ορίζεται παρά μόνο περιγράφεται.

Η θεωρία των συνόλων οφείλεται στο μεγάλο μαθηματικό Γκέοργκ Κάντορ (Georg Cantor) οποίος απεικονίζεται στη διπλανή φωτογραφία.

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

3

4 of 30

Ορισμός Συνόλου κατά Cantor

Σύνολο στα μαθηματικά είναι κάθε συλλογή αντικειμένων που προέρχονται από την εμπειρία μας ή την διανόησή μας, είναι καλά ορισμένα και διακρίνονται το ένα από το άλλο.

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

4

5 of 30

1. Στοιχεία ή μέλη του συνόλου: �Είναι τα αντικείμενα που αποτελούν το σύνολο.��2. Καλώς ορισμένα: �Εννοούμε ότι τα στοιχεία μπορούμε να τα αναγνωρίσουμε με σιγουριά, δηλαδή να διακρίνονται το ένα από το άλλο. ��3. Συμβολισμός:�Για να συμβολίσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε κεφαλαία γράμματα του ελληνικού ή του λατινικού αλφάβητου ενώ για τα στοιχεία του συνόλου χρησιμοποιούμε τα μικρά γράμματα ��4. Ανήκει – δεν ανήκει:�Για να δηλώσουμε ότι το στοιχείο x είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε και το διαβάζουμε «το x ανήκει στο Α» ενώ για να δηλώσουμε ότι το στοιχείο δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α γράφουμε και διαβάζουμε «το x δεν ανήκει στο Α».��

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Επισημάνσεις - Παραδείγματα

  1. Αν θεωρήσουμε το σύνολο των γραμμάτων του ελληνικού αλφάβητου, τότε τα στοιχεία του συνόλου είναι τα γράμματα που το αποτελούν δηλαδή α, β, γ, δ,…, ω.
  2. Για παράδειγμα αν πούμε το σύνολο των «ψηλών παικτών» μίας ομάδας μπάσκετ, είναι λάθος να το θεωρήσουμε ως σύνολο στα Μαθηματικά διότι δεν είναι πλήρως καθορισμένη η έκφραση «ψηλός παίκτης», ενώ αν θεωρήσουμε το σύνολο των παικτών άνω από 2 μέτρα τότε αποτελεί σύνολο στα Μαθηματικά.
  3. Τα γνωστά σύνολα αριθμών είναι τα παρακάτω αλλά θα τα μελετήσουμε πιο αναλυτικά στην επόμενη παράγραφο:

• Το σύνολο των φυσικών αριθμών συμβολίζεται με

• Το σύνολο των ακεραίων αριθμών συμβολίζεται με

• Το σύνολο των ρητών αριθμών συμβολίζεται με

  • Το σύνολο των άρρητων αριθμών συμβολίζεται με

• Το σύνολο των πραγματικών αριθμών συμβολίζεται με

5

6 of 30

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Να αποδείξετε ότι

1.

2.

3.

4.

5.

Άσκηση 3 /σελ. 18 / Σχολικό βιβλίο

6

7 of 30

��

Προβληματισμός

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

Το π είναι ρητός αριθμός!

Ο αριθμός π ορίζεται ως το πηλίκο μήκος κύκλου προς διάμετρος του κύκλου, δηλαδή

π = (μήκος κύκλου) / (διάμετρος κύκλου)

επομένως είναι ρητός αριθμός! Συμφωνείτε;

Να αιτιολογήσετε την απάντησή σας.

​

7

8 of 30

Παράσταση Συνόλου

Με αναγραφή στοιχείων

Αν το πλήθος των στοιχείων του συνόλου είναι μικρό τότε μεταξύ δύο αγκίστρων γράφουμε τα στοιχεία του, από μία φορά το καθένα, με όποια σειρά θέλουμε και τα διαχωρίζουμε με κόμμα.

Με περιγραφή στοιχείων

Ορισμένες φορές είναι δύσκολο ή αδύνατο να αναγράψουμε τα στοιχεία ενός συνόλου τότε τα περιγράφουμε αναφέροντας μία κοινή (ή και περισσότερες) χαρακτηριστική ιδιότητα που έχουν τα στοιχεία του και μόνο αυτά.

Αν από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε εκείνα τα στοιχεία του που έχουν μία κοινή ιδιότητα I τότε γράφουμε:

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

8

1

2

9 of 30

Παραδείγματα

Το σύνολο των φωνηέντων του ελληνικού αλφάβητου είναι το σύνολο ….

Το σύνολο των αριθμών που έχει η οθόνη ενός τηλεφώνου είναι …

Το σύνολο των ψηφίων του αριθμού 11880 είναι ….

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

9

1

2

3

10 of 30

Παραδείγματα

Το σύνολο των γραμμάτων της λέξης «ΠΡΟΟΔΟΣ» είναι ….

Το σύνολο των τρόπων μετάβασης των επιβατών από Αθήνα – Κρήτη είναι ….

​

Το σύνολο των ακεραίων που είναι ανάμεσα στους αριθμούς 13,3 και 25, 4 είναι ….

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

10

4

5

6

11 of 30

Παραδείγματα

Το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών είναι …

​

Το σύνολο των θετικών ρητών είναι …

Το σύνολο των πραγματικών που βρίσκονται ανάμεσα στους αριθμούς 0 και 1 είναι …

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

11

7

8

9

12 of 30

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

12

13 of 30

Διάγραμμα Venn�

Το διάγραμμα Venn αποτελείται:

- Από ένα ορθογώνιο παραλληλόγραμμο το οποίο παριστάνει το βασικό σύνολο Ω.

Το σύνολο Ω μπορεί να είναι κάποιο από τα γνωστά σύνολα αριθμών ή κάποιο που ορίζει η άσκηση.

  • Κλειστές καμπύλες οι οποίες βρίσκονται μέσα στο παραλληλόγραμμο και παριστάνουν τα σύνολα στα εσωτερικά των οποίων γράφουμε τα στοιχεία του με τελείες.

​

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

13

14 of 30

Ίσα σύνολα�Δύο σύνολα Α και Β λέγονται ίσα αν και μόνο αν έχουν ακριβώς τα ίδια στοιχεία και γράφουμε δηλαδή κάθε στοιχείο που ανήκει στο σύνολο Α είναι και στοιχείο του Β και αντίστροφα κάθε στοιχείο που ανήκει στο σύνολο Β είναι και στοιχείο του Α. Άρα �

  • Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

14

15 of 30

Υποσύνολο�Ένα σύνολο Α λέγεται υποσύνολο ενός συνόλου Β όταν κάθε στοιχείο του Α είναι και στοιχείο του Β και γράφουμε . Άρα ����Στο διάγραμμα του Venn το Α παριστάνεται με το εσωτερικό μιας κλειστής καμπύλης που περιέχεται στο εσωτερικό της κλειστής καμπύλης που παριστάνει το Β. Το Α λέγεται υποσύνολο του Β και το Β υπερσύνολο του Α. �

  • Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

15

16 of 30

Ιδιότητες υποσυνόλου

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

16

17 of 30

Κενό σύνολο�Κενό ονομάζουμε το σύνολο το οποίο δεν έχει στοιχεία και συμβολίζεται�ή �Ισχύει για κάθε σύνολο Α.�Επίσης το κενό σύνολο είναι μοναδικό. �

  • Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

17

18 of 30

Πράξεις με Σύνολα

Ένωση συνόλων

Ένωση δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν τουλάχιστον σε ένα από τα σύνολα Α και Β και συμβολίζεται

Τομή συνόλων

Τομή δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν και στα δύο σύνολα Α, Β και συμβολίζεται

Συμπλήρωμα συνόλου

Συμπλήρωμα ενός συνόλου Α σε ένα βασικό σύνολο Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α και συμβολίζεται με

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

18

1

2

3

19 of 30

Πράξεις συνόλων με σχήμα Venn

Ένωση συνόλων

Τομή συνόλων

Συμπλήρωμα συνόλου

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

19

1

2

3

20 of 30

Διαφορά συνόλων

Α – Β

Διαφορά του συνόλου Β από το σύνολα Α, δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν στο σύνολο Α και δεν ανήκουν στο σύνολο Β. Συμβολίζεται

Β – Α

Διαφορά του συνόλου Α από το σύνολα Β, δύο υποσυνόλων Α, Β ενός βασικού συνόλου Ω λέγεται το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν στο σύνολο Β και δεν ανήκουν στο σύνολο Α. Συμβολίζεται

​

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

20

1

2

21 of 30

Ιδιότητες του συμπληρώματος

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

7

21

22 of 30

Ιδιότητες πράξεων της ένωσης συνόλων

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

7

22

23 of 30

Ιδιότητες πράξεων της τομής συνόλων

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

1

2

3

4

5

6

7

23

24 of 30

Παραδείγματα�από το βοήθημα�της lisari team

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

24

25 of 30

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

25

26 of 30

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

26

27 of 30

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

27

28 of 30

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

28

29 of 30

Παραδείγματα

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

29

30 of 30

19. Να βρείτε την ή τις περιοχές Ι, ΙΙ, ΙΙΙ και IV που περιέχουν τα παρακάτω σύνολα.�α) Α ι) �β) Β ια) �γ) Ω ιβ) �δ) ιγ) �ε) ιδ) �στ) ιε) �ζ) �η) �θ)

Επιμέλεια: Μάκης Χατζόπουλος - Πρότυπο ΓΕΛ Βαρβακείου Σχολής

30