หน่วยที่ 1 เซต (sets)

เซต และ การเขียนเซต

2

3

เกออร์ก คันทอร์ (Georg Cantor) นักคณิตศาสตร์ชาวเยอรมัน ผู้คิดค้นทฤษฎีนี้ ผลงานหลายเรื่อง เช่น Cantor cube, Cantor space, Cantor function, Heine-Cantor Theorem และ Cantor ที่ให้คำจำกัดความของ Infinite Set, Well-Ordered Set, Cardinal และ Ordinal Numbers เป็นต้น

George Ferdinand Ludwig Philipp Cantor เกิดเมื่อวันที่ 3 มีนาคม ค.ศ.1845 (ตรงกับรัชสมัยสมเด็จพระนั่งเกล้าอยู่หัว) ที่เมือง St.Petersburg (ปัจจุบัน คือเมือง Leningrad) ในรัสเซีย

​

4

1. เซต : Sets

เซต (Sets) ไม่มีคำนิยาม ไม่มีคำแปล เซตเกิดขึ้น

เมื่อเราสนใจที่จะจัดกลุ่มของสิ่งต่าง ๆ โดยกำหนดคุณลักษณะที่ชัดเจน

A set is a collection of objects.

ดังนั้น การจะจัดกลุ่มไม่ว่าจะเป็นการจัดวัตถุสิ่งของ คน สัตว์

จึงต้องมีคุณลักษณะที่จะบอกว่า กลุ่ม หรือ ประเภท

ที่จัดนั้นคืออะไร

5

ให้นักเรียนดูภาพต่อไปนี้ (ขออนุญาตเจ้าของภาพเหล่านี้ มาใช้ประกอบการเรียน)

จากภาพที่เห็น จะให้ชื่อกลุ่มนี้ว่า สัตว์อะไร

ลักษณะทีเหมือนกัน คือ สัตว์ที่มี 4 ขา

จึงเขียนว่า กลุ่มของสัตว์ที่มี 4 ขา

เขียนเป็นเซตว่า เซตของสัตว์ที่มี 4 ขา

6

ให้นักเรียนดูภาพต่อไปนี้ (ขออนุญาตเจ้าของภาพเหล่านี้ มาใช้ประกอบการเรียน)

จากภาพที่เห็น จะให้ชื่อกลุ่มสิ่งของนี้ว่าอะไร

ลักษณะทีเหมือนกัน คือ เป็นอุปกรณ์ ไอซีที

จึงเขียนว่า กลุ่มของอุปกรณ์ ไอซีที

เขียนเป็นเซตว่า เซตของอุปกรณ์ไอซีที

7

ดูสัญลักษณ์ต่อไปนี้

1 , 2 , 3 , 4 , ...

สัญลักษณ์ที่เขียน คือ จำนวนนับ

จึงจัดเป็นเซตได้ว่า เซตของจำนวนนับ

ก , ข , ค , ง , ...

สัญลักษณ์ที่เขียน คือ อักษรภาษาไทย

จึงจัดเป็นเซตได้ว่า เซตของอักษภาษาไทย

8

ฝึกคิด

ให้นักเรียนจัดกลุ่มของสิ่งต่อไปนี้..

โดยบอกลักษณะของกลุ่มที่จัดให้ชัดเจนพร้อมยกตัวอย่างสมาชิก

1. กลุ่มคน

2. กลุ่มสัตว์

3. กลุ่มสิ่งของ

4. กลุ่มนามธรรม

9

2. กลุ่มของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4/…ร.ร..

เซตของนักเรียนชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 4/…ร,ร...

3. ไก่ , เป็ด , ห่าน , นก

เซตของสัตว์ปีก

4. จำนวนนับ ( 1 , 2 , 3, ... )

เซตของจำนวนนับ

1. ครู ,ตำรวจ , ทหาร , พยาบาล

เซตของอาชีพที่รับราชการ

10

5. อุปกรณ์การเรียน

เซตของอุปกรณ์การเรียน

เซตถ้าเทียบกับภาษาไทย เซตจึงสามารถใช้แทนคำต่าง ๆ เช่น กลุ่ม คณะ ชุด หมู่ ฝูง เป็นต้น

11

เซตของผลไม้ที่อร่อยที่สุดในโลก 2 ชนิด

ไม่เกิดเป็นเซต เพราะเราหาข้อสรุปไม่ได้ ไม่มีลักษณะชัดเจน

เซตของคนสวยที่สุดในประเทศไทย 3 คน

การสร้างเซตมีกติกาว่า การจัดกลุ่มสิ่งต่างๆ

นั้นต้องมีลักษณะที่สรุปได้ ต่อไปนี้ ถือว่าไม่เป็นเซต

• A set is a collection of objects.
• The objects in a set are called elements of the set.
• A well – defined set is a set in which we know for sure if an element belongs to that set.

12

13

สิ่งที่อยู่ในเซตนั้น ๆ เรียกว่า สมาชิก ( element) สัญลักษณ์ที่ใช้ ∈ ถ้าไม่เป็นสมาชิกใช้ ∉

ตัวอย่าง 1. เซตจำนวนนับ

0 ∉ เซตจำนวนนับ

1 ∈ เซตจำนวนนับ

1 ∈ A แสดงว่า “ 1 เป็นสมาชิกของเซต A”

3 ∉ A แสดงว่า “ 3 ไม่เป็นสมาชิกของเซต A”

2. A เป็นสัญลักษณ์ของระบบตัวเลขฐานสอง

2. สมาชิก : element

A set is a collection of objects.

Objects in the collection are called elements of the set.

14

1. มีตัวเลขอยู่ชุดหนึ่ง ดังต่อไปนี้

1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 , 7, 8 , 9 , 10 , …

จงนำตัวเลขนี้สร้างเป็นเซต ..มีเซตอะไรได้บ้าง

2. จงจัดสัตว์บกเป็นเซตแบบต่าง ๆ

3. จงจัดสิ่งของในบ้านของนักเรียนเป็นเซตอะไรได้บ้าง

ฝึกคิด

Sets, elements

Referring to the sets

A = {a, b, c} and

B = { 1, 2, 3},

we observe, for example, that

“a is an element of A”

and “ 1 is an element of T.”

These statements are denoted symbolically, as follows:

a ∈ A , 1 ∈ B

15

16

1. กลุ่มสิ่งของต่อไปนี้ ถือได้ว่าเป็นเซตได้หรือไม่

1.1 กลุ่มของนักเรียนโรงเรียนแม่ทาวิทยาคม ที่อยู่ชั้น ม. 4

1.2 กลุ่มของนักเรียนโรงเรียนแม่ทาวิทยาคมที่อยู่ชั้น ม.4 สูงเกิน 2 เมตร

1.3 กลุ่มของนักเรียนที่เป็นคนดีของโรงเรียนแม่ทาวิทยาคม

​

กิจกรรมที่ 1 เซตและสมาชิก

2. จงเติมสัญลักษณ์ ∈ หรือ ∉ ลงในช่องว่างแต่ละข้อ

2.1 3………G เมื่อ G = { 1 , 3 , 5 , … , 109 }

2.2 100………M เมื่อ M = { 1 , 2 , 3 , … }

2.3 10…………N เมื่อ N = { x ∈ I | 5 < x < 10 }

2.4 -1………… O เมื่อ O = { x ∈ N | x < 5 }

2.5 แมว………… P เมื่อ P = { x | x เป็นสัตว์สี่ขา }

17

1) การเขียนเซตแบบแจกแจงสมาชิก

ตัวอย่าง 1. A = { ไก่ , เป็ด , ห่าน }

2. B = { a , e , i , o , u }

3. C = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

4. D = { 1 , 2 , 3 , ... , 100 }

3. การเขียนเซต

วิธีการเขียนเซตมี 2 แบบ (เขียนตามสัญลักษณ์ที่กำหนด)

18

โครงสร้างการเขียน

1. นิยมใช้อักษรภาษาอังกฤษ ตัวพิมพ์ ใหญ่แทน

ชื่อเซต

2. ใช้เครื่องหมาย = และ { } แทนเซต

คั่นด้วยเครื่องหมาย , เพื่อแยกสมาชิกแต่ละตัว

3. การใช้ จุดสามจุด ( … ) ใช้แทนสมาชิกที่มีปริมาณมาก ( รู้จบ , ไม่รู้จบ)

19

ข้อตกลง.การเขียนสมาชิกเซตไม่เขียนซ้ำ

2. C = { 1 , 2 , 3 }

1. C = { 1 , 2 , 3 , 2 , 3 , 3 , 1 }

สรุป การเขียนเซตในข้อ 1 คือ ข้อ 2

20

SETS

A = {1, 2, 3, 4 ,5 ,6}

n(A) = 4

Sets use “curly” brackets

The number of elements in Set A is 4

Sets are denoted by Capital letters

3 is an element of A

7 is not an element of A

21

2) การเขียนเซตแบบบอกเงื่อนไขของสมาชิก

ตัวอย่าง 1. A = { x | x เป็นสัตว์ปีก }

2. B = { x | x เป็นสระภาษาอังกฤษ }

3. C = { y | y เป็นจำนวนนับ }

22

โครงสร้างการเขียน

1. กำหนดตัวแปรแทนสมาชิกของเซต

2. ใช้ตัวอักษร และ เครื่องหมาย =และ { }

เหมือนการเขียนเซตแบบแจก

และมีเครื่องหมาย | คั่น อ่านว่า โดยที่

ชื่อเซต = { ตัวแปร | บรรยายลักษณ์สมาชิก }

Notation

• Set builder notation has the general form

​

Denote sets = {variable | descriptive statement }.

​

The vertical bar (in set builder notation) is always read as “such that”.

Set builder notation is frequently used when the roster method is either inappropriate or inadequate.

​

23

24

1. A = { ไก่ , เป็ด , ห่าน }

A = {x| x เป็นสัตว์ปีก }

2. B = { a , e , i , o , u }

B = {x| x เป็นสระภาษาอังกฤษ }

3. C = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , ... }

C = { y | y เป็นจำนวนนับ }

ตัวอย่าง การเขียนเซต 2 แบบ

25

กิจกรรมที่ 2 การเขียนเซต

1. จงเขียนเซตต่อไปนี้เป็นแบบแจกแจงสมาชิก

1.1 เซตของเดือนที่มี 31 วัน

1.2 เซตของชื่ออำเภอ ในจังหวัดลำพูน

1.3 เซตของจำนวนเต็มบวกที่มากกว่า 5

1.4 เซตจำนวนนับไม่เกิน 150 }

1.5 เซตจำนวนเต็มคู่

​

26

2.จงเขียนเซตต่อไปนี้เป็นแบบบอกเงื่อนไขสมาชิก

2.1 A = { ดินสอ , ปากกา , ไม้บรรทัด , ยางลบ}

2.2 B = { กุมภาพันธ์ }

2.3 C = { 2 , 4 , 6, ... }

2.4 D = { 1, 2, 3 , ... , 150 }

2.5 E = { −2 , −1 , 0 , 1 , 2 }

กิจกรรมที่ 2

27

3. จงเขียนเซตต่อไปนี้เป็นแบบแจกแจงสมาชิก

3.1 A = { y | y เป็นชื่อเดือนที่มี 30 วัน }

3.2 B = { x | x เป็นชื่อเพื่อนนักเรียนในห้อง ที่ขึ้นต้นด้วยตัว “ พ “}

3.3 C = { y | y เซตของจำนวนเต็มที่มากกว่า 5 }

3.4 E = { y | y∈ I และไม่เกิน 10 }

3.5 F = { x | x ∈ I และ -3 < x < 3 }

​

28

เซตและสัญลักษณ์เกี่ยวกับระบบจำนวน

จำนวนธรรมชาติ อักษรที่ใช้ N = {1, 2, 3, …}

(Natural numbers)

จำนวนเต็มลบ อักษรที่ใช้ I^- = {…, -3, -2, -1}

(Negative Integers numbers)

จำนวนนับ , เต็มบวก อักษรที่ใช้ I⁺ = {1, 2, 3, 4, …}

(Positive Integers numbers)

จำนวนเต็ม อักษรที่ใช้ I = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

(Integers numbers)

จำนวนที่รวมจำนวนนับกับศูนย์ (Whole numbers)

อักษรที่ใช้ W = { 0, 1, 2, 3, …}

29

จำนวนเฉพาะ อักษรที่ใช้ ( P )

จำนวนเต็ม อักษรที่ใช้ I

(Integers numbers)

I = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

จำนวนจริง อักษรที่ใช้ R

(Real Numbers)

R = {47.3, -12, π, …}

จำนวนตรรกยะ อักษรที่ใช้ Q

(Rational Numbers)

Q = {1.5, 2.6, -3.8, 15, …}

30

B = { x ∈ I | 5 ≤ x ≤ 10 }

B = { x | x เป็นจำนวนเต็ม ตั้งแต่ 5 ถึง 10 }

B = { 5, 6, 7 , 8 , 9 ,10}

A = { x ∈ I⁺ | 5 < x < 10 }

A = { x | x เป็นจำนวนนับที่อยู่ระหว่าง 5 กับ 10 }

A = { 6, 7 , 8 , 9 }

การเขียนเซตในระบบจำนวน

31

An inequality is a statement formed by placing an inequality symbol between two expressions.

< is less than 4 < 8

< is less than or equal to 4 < 8

> is greater than 20 > 5

> is greater than or equal to 20 > 5

inequality symbol meaning example

What’s the importance of is in each of the above?

It represents the verb in the statement. Without it you will have an expression not a statement.

32

กิจกรรมที่ 3 การเขียนเซตในระบบจำนวน

1.จงเขียนเซตต่อไปนี้เป็นแบบบอกเงื่อนไข

โดยใช้สัญลักษณ์คณิตศาสตร์

1. A = {…, -2, -1, 0, 1, 2, …}

2. B = { 1, 2, 3, 4 , … , 99}

3. C = { 1, 2, 3, 4 , 5 , 6 , 7 }

5. E = { 1, 4, 9, 16 , … }

4. D = { …, -3, -2, -1 , 0 }

33

2.จงเขียนเซตต่อไปนี้เป็นแบบระบบจำนวน

2.3 C = { x | x เป็นจำนวนนับคู่}

2.4 D = { x | x เป็นจำนวนนับ 1 ถึง 150}

2.5 E = { x | x เป็นจำนวนเต็ม ตั้งแต่ -2 ถึง 2}

3.จงเขียนเซตต่อไปนี้เป็นแบบระบบจำนวน

3.1 N = { x |x เป็นจำนวนนับคี่ 1 ถึง 3}

3.2 P = {x |x เป็นจำนวนเต็ม }

3.3 R = {x |x เป็นจำนวนนับที่คูณด้วยสิบ

34

3. ประเภทเซต

เซตจำกัด ( finite set)

เป็นเซตที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับศูนย์ (0)

หรือ จำนวนเต็มบวก (จำนวนนับ)

โดย ใช้สัญลักษณ์ n( ) แทน จำนวนสมาชิกของเซต

การแยกประเภทเซตใช้จำนวนสมาชิกในการแยกประเภท

แยกได้ 2 แบบ คือ เซตจำกัด และเซตอนันต์

35

2. B = { 1 , 2 , 3 , 4 , … , 100 }

n(B) = 100

3. C = { x ∈ I | –10 ≤ x ≤ 10 }

n(C) = 21

เซต B เป็นเซตจำกัด

เซต C เป็นเซตจำกัด

(เซต C เป็นเซตที่ x เป็นจำนวนเต็มตั้งแต่ -10 ถึง 10 )

ตัวอย่าง 1. A = { ไก่ , เป็ด , ห่าน }

n(A) = 3

เซต Aเป็นเซตจำกัด

36

4. C = { x ∈ I | –10 < x < 10 }

n(C) = 19

เซต C เป็นเซตจำกัด

(เซต C เป็นเซตที่ x เป็นจำนวนเต็มที่อยู่ระหว่าง -10 กับ 10 )

Cardinality

The cardinality of a set is the number of elements contained in that set.

For example, let A = {1, 2, 3} and B ={dog, cat}.

Then, the cardinality of A is 3,

and the cardinality of B is 2.

These facts are denoted symbolically, as follows:

n(A) = 3

n(B) = 2

​

​

​

37

More Terminology and Notation

(การให้ความหมาย)

• Definition: If there are exactly n distinct elements in a set S, with n a nonnegative integer, we say that:
• S is a finite set, and
• The cardinality of S is a . Notation: n(S) = a.
• Definition: A set that is not finite is said to be infinite set.

​

38

Cardinality of Sets

• If a set S contains n distinct elements, n∈N,�we call S a finite set with cardinality n.

Examples:

A = {Masda, Toyota, Honda}, n(A) = 3

39

B = {1, {2, 3}, {4, 5}, 6}

n(B) = 4

C = { }

n(C) = 0

D = { x∈ N | x ≤ 100 }

n(D) = 100

E = { x∈N | x > 50}

E is infinite!

40

3. E = { x | x เป็นชื่อของเดือนที่มี 32 วัน }

n(E) = 0

เซตในข้อนี้ เป็นเซตจำกัดที่มีจำนวนสมาชิกเท่ากับ 0

หรือไม่มีสมาชิก เรียกว่า เซตว่าง

สัญลักษณ์ที่ใช้ ∅ แต่ถ้าเขียน { } แสดงว่า ไม่มีสมาชิก

“empty set/null set”

เป็นเซตจำกัด

The set with no elements is called the empty set or the null set and is designated with the symbol ∅.

{ } ←This set is known as the empty set.

41

4. F = { x | x จำนวนพลเมืองประเทศไทย

ณ วันที่ 22 พ.ค. 2556 }

เป็นเซตจำกัด ถึงแม้ไม่สามารถนับได้ แต่มีจำนวนที่แน่นอน

ฝึกคิด

จงยกตัวอย่างเซตที่เป็นเซตจำกัด

1. แบบแจกแจงสมาชิก

2. แบบบอกเงื่อนไข ที่เป็นวัตถุต่าง ๆ

3. ที่เป็นระบบจำนวน

42

เซตที่ไม่ใช่เซตจำกัด เรียกว่า เซตอนันต์ (infinite set)

1. B = { x | x เป็นจำนวนนับ }

เป็นเซตอนันต์ เพราะจำนวนนับไม่มีที่สิ้นสุดตรงจำนวนใด

เมื่อเขียนแบบแจกแจงสมาชิก จะได้ว่า

B = { 1 , 2 , 3 , 4 , . . . }

2. C = { x ∈ I | x > 10 }

C = {… ,-3 , -2 , -1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . , 9 }

เป็นเซตอนันต์

43

5. A = { x | x เป็นเซตของพลเมืองในประเทศไทย }

เซตอนันต์ ไม่ระบุเวลา จึงมีจำนวนไม่แน่นอน

ฝึกคิด

จงยกตัวอย่างเซตที่เป็นเซตอนันต์

1. แบบแจกแจงสมาชิก

2. แบบบอกเงื่อนไข ที่เป็นวัตถุต่าง ๆ

3. ที่เป็นระบบจำนวน

44

D = { x | x เป็นจำนวนเต็ม }

D เป็นเซตจำกัด หรือ เซตอนันต์

n(D) = ∞

B = { x | x = D }

B เป็นเซตจำกัด หรือ เซตอนันต์

B = { { x | x เป็นเซตจำนวนเต็ม } }

n(B) = 1

ฝึกคิด

45

กิจกรรมที่ 4 เซตจำกัด เซตอนันต์

1. จงบอกจำนวนสมาชิกของเซตต่อไปนี้ และบอกประเภทเซต

1.1 A = { 12345 }

1.2 B = { 12, 345 , 6789 }

1.3 C = { }

1.4 D = {0}

1.5 D = ∅

1.6 A = { x ∈ N | x ≤ 5 }

1.7 B = { x ∈ I | x ≤ 5 }

1.8 C = { x | x จำนวนสุนัขในประเทศไทย }

1.9 D = { x | x เป็นจำนวนนับคู่ }

1.10 E = { x ∈ N | x² > 0 }

46

2. จงพิจารณาข้อต่อไปนี้ ถูก หรือ ผิด

2.1 A = {} แสดงว่า 0 ∈ A

2.2 B = ∅ แสดงว่า B มีจำนวนสมาชิก 0 ตัว

2.3 เซตว่างไม่เป็นเซตอนันต์

2.4 ถ้า A เป็นเซตอนันต์ แล้ว C = { x | x = A } เป็นเซตอนันต์

2.5 ถ้า A เป็นเซตจำกัด แล้ว C = { x | x = A } เป็นเซตจำกัด

2.6 C = { x ∈ I | 0 ≤ x ≤ 1 } ดังนั้น C เป็นเซตว่าง

2.7 E = { x ∈ I | 0 < x < 1 } ดังนั้น E เป็นเซตว่าง

2.8 D = { x | x เป็นอักษรสูงในคำว่า “ แม่ทาวิทยาคม ” }

ดังนั้น D เป็นเซตว่าง

2.9 A = { {} } แสดงว่า A เป็นเซตว่าง

2.10 F = { x ∈ I+ | x < – 10 } ดังนั้น F เป็นเซตว่าง

​