Mata Kuliah : Metode Numerik�Minggu ke 5

Mahasiswa dapat melakukan komputasi untuk menyelesaikan sistem persamaan linier menggunakan Eliminasi Gauss

Tujuan perkuliahan

Definisi Persamaan Linier

• Persamaan linier adalah suatu persamaan yang pangkat tertinggi dari variabelnya adalah satu
• Persamaan linier dalam n variable x1, x2, …, xn adalah sebuah persamaan yang dapat dinyatakan dalam bentuk:

a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b

dimana a1, a2, …, an, b adalah konstanta-konstanta riil.

Menyelesaikan Persamaan Linier

Pemecahan persamaan linier:

​

a1 x1+ a2 x2 + … + an xn = b

​

adalah sebuah urutan dari n bilangan s1, s2, …, sn sehingga persamaan tersebut dipenuhi bila kita mensubstitusikan

​

x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.

​

Himpunan semua pemecahan persamaan tersebut dinamakan himpunan pemecahannya.

Example

Tentukan selesaian dari persamaan- persamaan berikut:

​

2x + 3 = -7

2x + 3y -2 = 10

2x + 3y + 5z + 10 = 15

Sistem Persamaan Linier

Sebuah himpunan berhingga dari persamaan linier dalam variable-variabel x1, x2, …, xn dinamakan sebuah system persamaan linier atau sebuah system linier.

Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Sebuah urutan bilangan-bilangan s1, s2, …, sn dinamakan sebuah pemecahan system tersebut jika x1= s1, x2 = s2, …, xn = sn.adalah sebuah pemecahan dari tiap-tiap persamaan di dalam system tersebut.

Example

Perhatikan sistem persamaan linier berikut:

​

2x + 3y – 5z = -8 -x –y + 15z = 42 5x -2y + z = 11

​

Hp: {(x, y, z)/ x = 2, y = 1, z = 3}

Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier

Ada beberapa cara menentukan pemecahan system persamaan linier, yaitu:

1. Eliminasi Gauss
2. Eliminasi Gauss-Jordan
3. Kaidah Cramer
4. Perkalian Matrik

Eliminasi Gauss

Eliminasi Gauss adalah suatu metode yang digunakan untuk menyelesaikan sistem persamaan linier, yang meliputi langkah- langkah sbb:

1. Mengubah system persamaan linier ke bentuk matriks yang diperbesar (augmented matrix), yaitu matriks yang entri-entrinya adalah koefisien dari variable dan konstanta dari persamaan dalam system;
2. Dengan menggunakan OBE, mengubah bentuk matriks yang diperbesar menjadi matriks bentuk eselon baris (row-echelon form).
3. Mengubah matrik eselon baris ke bentuk sistem persamaan.
4. Menyelesaikan tiap persamaan dalam sistem.

Operasi Baris Elementer (OBE)

Operasi Baris Elementer (OBE) adalah suatu operasi yang dikenakan pada suatu baris matriks, yaitu:

1. Kalikan suatu baris dengan sebuah konstanta yang bukan 0.
2. Pertukarkan sebarang dua baris.
3. Tambahkan kelipatan dari suatu baris kpd baris yang lain.

Matrik Eselon Baris (Row-echelon form)

Sifat-sifat matriks bentuk eselon baris adalah sebagai berikut:

1. Jika sebuah baris tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka bilangan tak 0 pertama di dalam baris tersebut adalah 1(dinamakan 1 utama).
2. Jika ada suatu baris yang terdiri seluruhnya dari 0, maka semua baris seperti itu dikelompokkan bersama-sama di bawah matriks.
3. Di dalam sebarang dua baris yang berturutan, yang tidak terdiri seluruhnya dari 0, maka 1 utama di dalam baris yang lebih rendah terdapat lebih jauh ke kanan daripada 1 utama di dalam baris yang lebih tinggi.

Example

1. Manakah yg merupakan matrik bentuk eselon baris?

​

​

​

​

• Dengan OBE, ubahlah matrik berikut menjadi matrik bentuk eselon baris.

THANK YOU

FOR YOUR ATTENTION