FERNANDO NETO

DETERMINANTES

A toda matriz quadrada associa-se um número, denominado determinante da matriz, que é obtido por meio de operações entre os elementos da matriz.

Determinante de uma matriz

Para representar o determinante de uma matriz A (indicado por det A), substituímos os parênteses ou colchetes da matriz por barras simples: 

• A = e det A =

• A = [4] e det A = |4| 

• A = e det A =

16.31

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 1,

A = (a₁₁), é o próprio elemento de A.

det A =|a₁₁|= a₁₁ 

Determinante de uma matriz de ordem 1

a) A = (4) ⇒ det A = |4| = 4

b) B = ⇒ det B = | | = 

16.32

Exemplos

O determinante de uma matriz quadrada de ordem 2,

A = , é a diferença entre o produto dos elementos da diagonal principal e o produto dos elementos da diagonal secundária.

det A = = 

Determinante de uma matriz de ordem 2

a) A = det A =  

b) B = det B =

16.33

Exemplos

Dada uma matriz A, quadrada de ordem 3, o determinante�de A pode ser calculado pela regra de Sarrus, conforme o procedimento explicado a seguir.

Determinante de uma matriz de ordem 3

Considere a matriz: A =

16.34

16.34

1^o) Ao lado da matriz, copiam-se suas duas primeiras colunas.

2^o) Multiplicam-se os elementos da diagonal principal e, na mesma direção dessa diagonal, multiplicam-se os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita.

Determinante de uma matriz de ordem 3

16.34

3^o) Multiplicam-se os elementos da diagonal secundária e, na mesma direção dessa diagonal, os elementos de cada uma das duas paralelas à sua direita.

4^o) O determinante da matriz é obtido pela diferença entre as somas dos produtos do 2^o e do 3^o passo, nessa ordem.

Determinante de uma matriz de ordem 3

Exemplo

a) Considerando a matriz A = , temos:

​

–6 12 0 10 –8 0

Assim:

det A = (10 – 8 + 0) – (–6 + 12 + 0) = –4

16.35

Determinante de uma matriz de ordem 3

b) Considerando a matriz B = , temos:

–12 –72 54 –108 –18 24 

Assim:

det B = (–108 – 18 + 24) – (–12 –72 + 54) = –72

16.35

Determinante de uma matriz de ordem 3

Exemplo

Resolução

Exercício resolvido

R12. Determinar x para que a igualdade a seguir seja verdadeira.

Pela regra de Sarrus:

= 0

​

2x² + 2x – 12 = 0

x² + x – 6 = 0

x = 2 ou x = –3

16.36

 Assim, temos:

(–8 – x + 3x) – (–2x² – 2 + 6) = 0

Portanto, a igualdade�é verdadeira para:

x = 2 ou x = –3 

Exercício resolvido

R13. Dado um triângulo RST, com coordenadas cartesianas

dos vértices, pode-se calcular sua área por meio da fórmula:

A_RST = , em que D =

Nessa fórmula, |D| é o módulo do determinante de ordem 3 tal que: a 1^a coluna é formada pelas abscissas dos pontos, �a 2^a, pelas ordenadas e a 3^a por 1.

Determinar a área do triângulo RST, dados os pontos

R(–2, 2), S(4, 3) e T(5, –3).

16.37

Exercício resolvido

D = = (–6 + 10 –12) – (15 + 6 + 8) = –37

A_RST = = 18,5

Logo, a área do triângulo é 18,5 unidades de área. 

16.37

Resolução

R13.

Seja A uma matriz quadrada de ordem n ≥ 2. Chama-se cofator de um elemento a_ij de A o número real �A_ij = (–1)^{i + j}D_ij, em que D_ij é o determinante obtido da matriz A quando se eliminam a linha e a coluna que contêm o elemento a_ij.

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

Cofator de uma matriz

16.38

Exemplos

a) Seja A =

​

Eliminando a 1^a linha e a 2^a coluna de A, obtemos

A₁₂ = (–1)¹⁺² ∙

​

Logo, A₁₂ = –7 é cofator do elemento a₁₂.

16.38

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

Cofator de uma matriz

b) Seja B =

Eliminando a 3^a linha e a 4^a coluna de B, obtemos

B₃₄ = (–1)³⁺⁴ ∙

​

Logo, B₃₄ = 108 é cofator do elemento b₃₄.

16.38

Exemplos

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

Cofator de uma matriz

O determinante de uma matriz A, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna) pelos respectivos cofatores.

Teorema de Laplace

16.39

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

A =

​

Exemplo

Escolhendo a 1^a linha, temos:

det A = 1 ∙ A₁₁ + 2 ∙ A₁₂ + (–3) ∙ A₁₃ + 0 ∙ A₁₄

det A = 1 ∙ (–1)² ∙ + 2 ∙ (–1)³ ∙ +

+ (–3) ∙ (–1)⁴ ∙ + 0 ∙

16.39

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

Não é necessário calcular A₁₄, pois: 0 ∙ A₁₄ = 0

Portanto: det A = 1 ∙ 37 + 2 ∙ 48 – 3 ∙ 30 = 43

​

​

Ao aplicar o teorema, podemos optar por qualquer linha ou coluna que o resultado será o mesmo, mas convém optar pela linha ou coluna que tiver mais zeros.

16.39

Observação

Exemplo

Determinante de uma matriz de ordem maior que 3

Exercício resolvido

R14. Calcular o determinante da matriz A =

Vamos usar o teorema de Laplace para calcular o det A. Para isso, é conveniente escolher a coluna 1 ou a coluna 4, pois elas têm a maior quantidade de zeros. Escolhendo, por exemplo, a coluna 1:

det A = 1 ∙ (–1)³ ∙ + (–1) ∙ (–1)⁵ ∙

det A = –40 + 52 = 12

16.40

Resolução

Se todos os elementos de uma fila (linha ou coluna) de uma matriz quadrada A forem nulos, então det A = 0.

Simplificação do cálculo de �determinantes

16.41

1^a propriedade: Fila nula

Exemplo

A = ⇒ det A =

det A = 0 ⋅ (–1)²⁺¹ + 0 ⋅ (–1)²⁺² ⋅ + 0 ⋅ (–1)²⁺³

+ 0 ⋅ (–1) ²⁺⁴ ⋅

det A = 0 + 0 + 0 + 0 = 0 

Simplificação do cálculo de �determinantes

1^a propriedade: Fila nula

16.41

Se duas filas paralelas (duas linhas ou duas colunas) de uma matriz quadrada A forem iguais ou proporcionais, então det A = 0.

2^a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais

16.42

Simplificação do cálculo de �determinantes

a) Seja A =

det A = –28 + 252 + 240 – (252 + 240 – 28) = 0

​

b) Considerando a matriz B = , temos:

det B = 18 + 24 + 16 – (18 + 16 + 24) = 0 

16.42

Simplificação do cálculo de �determinantes

2^a propriedade: Filas paralelas iguais ou proporcionais

Exemplo

Se uma fila de uma matriz quadrada A for uma combinação linear de outras filas paralelas, então det A = 0.

3^a propriedade: Combinação linear

16.43

Simplificação do cálculo de �determinantes

Seja a matriz A =

Temos: det A = 10 – 2 + 0 – (0 – 0 + 8) = 0.

Observe que nessa matriz a 3^a coluna é uma combinação linear das outras duas colunas (os elementos dessa coluna são iguais a 2 vezes os elementos da 1^a coluna somados aos opostos dos elementos da 2^a coluna).

16.43

Simplificação do cálculo de �determinantes

3^a propriedade: Combinação linear

Exemplo

O determinante de uma matriz quadrada A é igual ao determinante de sua transposta. 

4^a propriedade: Determinante da matriz transposta

16.44

Simplificação do cálculo de �determinantes

Exemplo

Seja A =

Então: det A = 16 + 0 – 20 – (–3 + 0 + 0) = – 1

A^t =

det A^t = 16 – 20 + 0 – (–3 + 0 + 0) = –1

16.44

4^a propriedade: Determinante da matriz transposta

Simplificação do cálculo de �determinantes

Em uma matriz quadrada, multiplicando todos os elementos de uma fila por um mesmo número real k, o determinante da matriz obtida fica multiplicado por k. 

5^a propriedade: Produto de uma fila por uma constante

16.45

Simplificação do cálculo de �determinantes

Exemplo

Multiplicando a 2^a coluna de A por –3, temos:

B =

Assim: det B = –30 + 60 + 0 – (9 + 0 + 0) = 21.

Logo: det B = (–3) ∙ det A 

16.45

5^a propriedade: Produto de uma fila por uma constante

Simplificação do cálculo de �determinantes

Trocando de posição duas filas paralelas de uma matriz quadrada A, o determinante da matriz obtida é o oposto do determinante de A.

6^a propriedade: Troca de filas paralelas

16.46

Simplificação do cálculo de �determinantes

Exemplo

Se A = , então: det A = 21 + 40 – 0 – (12 – 5 + 0) = 54

Trocando a 1^a e a 3^a linhas de posição, temos:

B =

Assim: det B = 12 – 5 + 0 – (21 + 40 – 0) = –54

Logo: det B = –det A

16.46

6^a propriedade: Troca de filas paralelas

Simplificação do cálculo de �determinantes

Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada A são nulos, �o determinante de A é igual ao produto dos elementos �dessa diagonal.

7^a propriedade

16.47

Simplificação do cálculo de �determinantes

Exemplo

7^a propriedade

Considerando a matriz A = , temos:

det A = 1 ∙ 2 ∙ 4 + 0 + 0 – 0 – 0 – 0 = 1 ∙ 2 ∙ 4 = 8

16.47

Simplificação do cálculo de �determinantes

Em uma matriz quadrada A de ordem n, se multiplicarmos os elementos de uma fila por uma constante qualquer e adicionarmos os resultados aos elementos correspondentes �de uma fila paralela, obteremos uma matriz B tal que �det B = det A.

Teorema de Jacobi

16.48

Simplificação do cálculo de �determinantes

Exemplo

Dada a matriz M = , temos:

det M = 0 + 10 + 6 – (–10 – 2 + 0) = 28

• Triplicando os elementos da 3^a coluna de M e somando aos da 1^a coluna de M, obtemos:

N =

det N = 0 + 10 + 12 – (–10 + 4 + 0) = 28

16.48

Teorema de Jacobi

Simplificação do cálculo de �determinantes

Exemplo

P =

det P = –20 – 50 + 18 – (–30 + 10 – 60) = 28

16.48

• Calculando o oposto do dobro dos elementos da 1^a coluna de M e somando aos da 3^a coluna de M, obtemos:

Teorema de Jacobi

Simplificação do cálculo de �determinantes

Se A e B são matrizes quadradas de mesma ordem n, então det (A ∙ B) = det(A) ∙ det(B)

Teorema de Binet

16.49

Exemplo

Sendo A = e B = , temos:

det A = 10, det B = 6 e det A ∙ det B = 10 ∙ 6 = 60

A ∙ B = = , logo det (A ∙ B) = 13 ∙ 6 – 2 ∙ 9 = 60

Assim: det A ∙ det B = det (A ∙ B)

Simplificação do cálculo de �determinantes

Seja A uma matriz quadrada de ordem n e A^–1 a sua inversa:

Determinante da matriz inversa

A ∙ A^–1 = I_n e det (A ∙ A^–1) = det I_n

Pela 7^a propriedade, sabemos que: �det I_n = 1ⁿ = 1

Aplicando o teorema de Binet, temos:

det A ∙ det A^–1 = 1

16.50

Simplificação do cálculo de �determinantes

Como o produto dos determinantes é não nulo, cada fator é não nulo, isto é, det A ≠ 0; assim:

det A^–1 =

Determinante da matriz inversa

Verificamos também que, se det A ≠ 0, então A é uma �matriz invertível.

16.50

Simplificação do cálculo de �determinantes

Exemplo

Determinante da matriz inversa

Sendo A = , então:

det A = 0 + 20 + 0 – (8 + 15 + 0) = –3 

Portanto: det A^–1 =

16.50

Simplificação do cálculo de �determinantes

Propriedades Determinantes

Propriedades Determinantes

Propriedades Determinantes

Propriedades Determinantes

Resolução

Exercício resolvido

R15. Seja A uma matriz quadrada de ordem 4 tal que

det A = 3. Sabendo que a matriz B é da forma B = 2 ∙ A, calcular seu determinante. 

Se A = , então: B =

​

Como cada uma das 4 linhas de B foi obtida multiplicando-se a respectiva linha de A por 2, pela 5^a propriedade temos: 

det B = det (2 ∙ A) = 2⁴ ∙ det A = 16 ∙ 3

det B = 48

16.51

Matriz associada a um sistema

Exemplo

​

a)

​

• Chamamos de matriz associada incompleta a matriz� , formada apenas pelos coeficientes das incógnitas �do sistema.

• Chamamos de matriz associada completa a matriz� , formada pelos coeficientes das incógnitas e pelos termos independentes. 

17.17

Todo sistema linear pode ser associado a matrizes.

​

Matriz associada a um sistema

Exemplo

​

b)

​

matriz associada �incompleta

matriz associada completa

17.17

⇒

Representação matricial de um sistema

17.18

Exemplo

​

a)

​

A representação matricial associada a esse sistema �é dada por:

Podemos verificar se essa representação matricial está correta efetuando a multiplicação de matrizes:

7 –4 ∙ x ⟶ 7x – 4y = –1

y

1. 3 ∙ x ⟶ 1x + 3y = 7

y

Exemplo

​

b)

​

Representação matricial:

​

Podemos verificar essa representação matricial efetuando a multiplicação de matrizes:

17.18

Representação matricial de um sistema

1 0 2 ∙ x ⟶ 1x + 0y + 2z = 1

y

z

1 –2 1 ∙ x ⟶ 1x – 2y + 1z = 3

y

z

Exercício resolvido

R4. Resolva o sistema linear associado à equação matricial:

Resolução

Resolvendo a multiplicação matricial, obtemos o sistema correspondente à equação:

​

Pelo método da adição, temos: 5x = 5

Então: x = 1 e y = 2 

Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 2)} 

17.19

Sendo D o determinante da matriz associada incompleta de um sistema linear de n equações e n incógnitas:

• D ≠ 0 ⇒ sistema possível e determinado (SPD);
• D = 0 ⇒ sistema possível e indeterminado (SPI) ou sistema impossível (SI).

Aplicação do determinante

Se a matriz associada incompleta de um sistema linear não é uma matriz quadrada (n × n), não é possível calcular seu determinante, por isso aplicamos o método do escalonamento para discutir esse sistema. 

17.33

Exemplo

a) Para discutir o sistema em função de k, calculamos: 

D = = k – 3 

​

• D ≠ 0 ⇒ k – 3 ≠ 0 ⇒ k ≠ 3 SPD 
• D = 0 ⇒ k – 3 = 0 ⇒ k = 3 SPI ou SI 

Para saber o que ocorre com o sistema quando k = 3, ou seja, para saber se o sistema é SPI ou SI, substituímos k por 3 no sistema original e prosseguimos a análise: 

17.34

Aplicação do determinante

Exemplo

a) Dividindo todos os termos da 2^a equação por 3, obtemos:

​

Substituindo I em II, obtemos 2 = 1, o que é absurdo!

Logo, o sistema é impossível (SI). 

Conclusão:  

17.34

Aplicação do determinante

(I)

​

(II)

Exemplo

b) Para discutir o sistema em função de m, calculamos: 

D = = 1 – m² 

• D ≠ 0 ⇒ 1 – m² ≠ 0 ⇒ m ≠ ±1 ⇒ SPD 

m = 1 ⇒ ⇒ SPI

• D = 0 ⇒ m = ±1

m = –1 ⇒ ⇒ SI

​

17.34

Aplicação do determinante

Resolução

​

D = = k² + 3k – 4

​

• Se D ≠ 0, então: k² + 3k – 4 ≠ 0 ⇒ k ≠ –4 e k ≠ 1 ⇒ SPD 
• Se D = 0, então: k² + 3k – 4 = 0 ⇒ k = –4 ou

k = 1 ⇒ SPI ou SI

Exercício resolvido

R10. Discutir o sistema em função de k.

17.35

Exercício resolvido

17.35

Para k = −4, temos:

​

​

​

​

Podemos observar que não há nenhum valor real para z que

satisfaça a 3^a equação; então para k = −4, o sistema é SI.

Para k = 1, temos:

​

17.37

Resolução

R10.

Exercício resolvido

17.35

Nesse caso, pela 3^a equação, concluímos que z pode assumir qualquer valor real; logo, o sistema é SPD. 

​

Portanto: 

SPD

SI

SPI

Resolução

R10.

Considere o sistema de equações:

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3×3

​

17.20

1^o) Montamos a matriz associada incompleta e calculamos seu determinante D.

• É importante observar que a regra de Cramer só pode ser aplicada a sistemas n × n (com n equações e �n incógnitas) com D ≠ 0; portanto, se D = 0, não podemos aplicá-la.

2^o) Calculamos o determinante D_x, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes.

D =

D_x =

Descrição do procedimento

Aplicação do procedimento

​

17.20

3^o) Calculamos o determinante D_y, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes.

D_y =

4^o) Calculamos o determinante D_z, substituindo, na matriz dos coeficientes, a coluna dos coeficientes de z pela coluna dos termos independentes.

5^o) A solução do sistema é dada pela regra de Cramer:

D_z =

x =

y =

z =

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 3×3

17.21

1^o) Resolvendo o sistema

​

​

pelo método da adição, temos:

2^o) Substituindo x em qualquer das equações, encontramos:

x = , se ad – bc ≠ 0

y = , se ad – bc ≠ 0

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2

17.21

3^o) Observe agora os determinantes de algumas matrizes obtidas do sistema:

4^o) Observando as equações dos dois primeiros passos e os determinantes, concluímos que, se D ≠ 0, a solução do sistema é dada por:

• D = = ad – bc

​

• D_x = = k₁d – k₂b

​

• D_y = = k₂a – k₁b

x = �

y =

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2

Exemplo

a) Vamos resolver o sistema pela regra de Cramer.

Primeiro, reescrevemos o sistema:

Depois, calculamos:

D = = –2, D_x = = –2 e D_y = = –6 

​

Agora, usando a regra de Cramer, temos:

​

x = = 1 e y = = 3

​

Logo, o conjunto solução do sistema é: S = {(1, 3)} 

​

​

17.22

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2

Exemplo

b) Vamos encontrar a solução do sistema ,

usando a regra de Cramer:

​

D = = 62,

​

D_x = = 62, D_y = = –62 e D_z = = 0

​

Logo:

​

x = = 1, y = = –1 e z = = 0 

​

Portanto, a solução do sistema é S = {(1, –1, 0)}

coluna dos termos independentes

17.22

Conceito da regra de Cramer aplicado na resolução de um sistema linear 2×2

Exercício resolvido

R5. Consumo. Em um supermercado, há três marcas de cestas básicas, A, B e C, cada uma contendo macarrão, arroz e feijão. As cestas diferenciam-se não pelo conteúdo, mas pela quantidade desses produtos. Veja a seguir a composição de cada cesta:

• cesta A: 3 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 2 de feijão;
• cesta B: 5 pacotes de macarrão, 2 de arroz e 3 de feijão;
• cesta C: 2 pacotes de macarrão, 1 de arroz e 3 de feijão.

Se os preços das cestas são, respectivamente, R$ 20,00,

R$ 35,00 e R$ 21,00, qual é o valor do pacote de cada �produto citado?

17.23

Representando os preços dos pacotes de macarrão, arroz e feijão por m, a e f, respectivamente, construímos o sistema: 

​

​

​

Calculando os determinantes, temos:

​

D = = 2 D_a = = 16

​

D_m = = 4 D_f = = 6

Exercício resolvido

Resolução

R5.

17.23

Exercício resolvido

Portanto, pela regra de Cramer:

​

m = = 2, a = = 8, f = = 3 

​

Logo, os preços dos pacotes de macarrão, de arroz e de feijão são R$ 2,00, R$ 8,00 e R$ 3,00, respectivamente. 

Resolução

R5.

17.23

Exercício resolvido

R6. Medição. Para se inscreverem em um concurso,

Bruna, Paula e Carla deviam informar, com exatidão,

quanto pesavam. Como não sabiam, precisaram usar uma balança que estava no local da inscrição. No entanto, a balança indicava apenas valores acima de 80 kg. Para resolver o problema, elas se pesaram duas a duas. Descobriram que Bruna e Paula pesavam, juntas, 95 kg; Paula e Carla, 110 kg; e Bruna e Carla, 106 kg. Determine quanto cada uma pesava no �ato da inscrição. 

17.24

Exercício resolvido

Representando as massas de Bruna, Paula e Carla por x, y e z, respectivamente, construímos o seguinte sistema:

​

​

Pela regra de Cramer:

17.24

D_y = = 99

D_z = = 121

D = = 2

D_x = = 91

Resolução

R6.

Exercício resolvido

17.24

Portanto:

x = = 45,5, y = = 49,5, z = = 60,5 

Logo, Bruna, Paula e Carla pesam 45,5 kg, 49,5 kg e 60,5 kg, respectivamente. 

Resolução

R6.

Exercício resolvido

R16. Calcular o determinante da matriz A =

Vamos considerar a matriz B que é obtida da seguinte forma:

• adicionamos aos elementos da 3^a coluna de A os elementos da 1^a coluna multiplicados por –3; 
• a seguir, adicionamos aos elementos da 4^a coluna de A os elementos da 1^a coluna multiplicados por 2. 

16.52

Resolução

Exercício resolvido

Pelo teorema de Jacobi: det A = det B  

16.52

R16.

Resolução

Exercício resolvido

Observe que, com as operações realizadas entre as colunas de A, obtivemos uma matriz B em que três dos quatro elementos de uma linha são zero. Portanto, esse procedimento simplificará o cálculo do determinante da matriz A.

​

Assim:

det A = det B =

16.52

R16.

Resolução

Exercício resolvido

Pelo teorema de Laplace, escolhendo a 1^a linha:

det A = 1 ∙ (–1)¹⁺¹ + 0 ∙ (–1)¹⁺² +

Logo:

det A = 1 ∙ (–1)² =

= 210 + 35 – 112 – (56 + 147 – 100) = 30

16.52

Resolução

R16.

+ 0 ∙ (–1)¹⁺³ + 0 ∙ (–1)¹⁺⁴